高中数学函数奇偶性专题复习总结

1、x 都必须成立；高中数学函数奇偶性专题复习总结【函数的奇偶性】专题复习一、关于函数的奇偶性的定义定义说明： 对于函数f ( x) 的定义域内任意一个x ： f (x)f ( x)f ( x) 是偶函数； f (x)f ( x)f ( x) 奇函数；函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。二、函数的奇偶性的几个性质对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个可逆性：等价性：f (x)f (x)f (x) 是偶函数；f (x)f (x)f ( x) 是奇函数；f (x)f (x)f (x)f ( x)0 ； f (x)f (x)

2、f (x)f ( x)0奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。三、函数的奇偶性的判断判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法 ：利用奇、偶函数的定义，考查f ( x) 是否与f (x) 、 f ( x)相等，判断步骤如下：定义域是否关于原点对称；数量关系f (x)f (x) 哪个成立；例 1：判断下列各函数是否具有奇偶性（1）342）x3x 2f ( x) x 2x （ ）f (x) 2x3xf ( x)2( 31x（4） f ( x) x2x1,2（ 5）（7） f (x)x2

3、1 1 x 2 （ 8）f (x)x 22 x（ 6）f ( x) lg x2lg 12 ；（ 9）xf ( x)1x2；2 | x2f ( x) (1x)1x1xx2 ( x0)例 2：判断函数 f ( x)的奇偶性。x2 ( x0)两个奇函数的代数和是奇函数；第二种方法： 利用一些已知函数的奇偶性及下列准则两个偶函数的和是偶函数；（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）： 奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；x x3x5x7x2 k1 (kZ ).两个偶函数的积为偶函数；常见的奇函数： k (k0);x1(耐克函数 )奇函数与偶函数的积是奇函数。xxsin

4、x;tanxx2 x4x6x8x2k (kZ ).常见的偶函数： ax2c(b0);x ; f ( x )cosx;y为常数)C(C常见的非奇非偶函数:a x ;loga x; kxb(k0,b 0)yxa (a0)y定义域关于原点对称)常见的既奇又偶函数：0(y1 x221(x两个点的函数x1)四、关于函数的奇偶性的6 个结论。1 / 5高中数学函数奇偶性专题复习总结结论 1函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。结论 2两个奇函数的和仍是奇函数；两个偶函数的和仍是偶函数。结论 3f (x) 是任意函数，定义域关于原点对称，那么f ( x ) 是偶函数。结论 4函数

5、 f ( x) f ( x) 是偶函数，函数f ( x) f (x) 是奇函数。结论 5已知函数 f ( x) 是奇函数，且 f (0)有定义，则f ( 0) 0 。结论 6已知 f ( x) 是奇函数或偶函数，方程f ( x) 0有实根，那么方程 f ( x)0 的所有实根之和为零；若 f ( x) 是定义在实数集上的奇函数，则方程f ( x) 0 有奇数个实根。五、关于函数按奇偶性的分类： 全体实函数可按奇偶性分为四类：奇偶数、偶函数、既是奇函数也是偶函数、非奇非偶函数。六、关于奇偶函数的图像特征例 1：偶函数yf ( x) 在 y 轴右则时的图像如图（一），则y 轴右侧的函数图像如图（二

6、）。YY11012X-2-112X图（一）图（二）七、关于函数奇偶性的简单应用1、利用奇偶性求函数值例 1：（ 1）已知 f ( x)x 5ax 3bx8 且 f ( 2)10 ，求 f ( 2) 的值（）已知 f ( x)5x53x3x1 ( x 1 , 1 ) 的最大值最小值为求Mm的值222M ,m ,2、利用奇偶性比较大小例 2：（ 1）已知偶函数f (x) 在,0上为减函数，比较f (5)， f(1) ， f (3) 的大小。（ 2）已知函数 yf x是 R 上的偶函数， 且 fx 在 0,上是减函数， 若 f af2 ，求 a 的取值范围 .（ 3）定义域为 R 的函数 f x在

7、8,上为减函数，且函数yfx8 为偶函数，则A.f 6f 7B.f 6f 9C.f 7f 9D.f 7f 103.利用奇偶性求解析式例 3：（ 1）已知 f ( x) 为偶函数， 当0x 1时 , f ( x)1 x, 当1x0时 ，求 f ( x) 解析式？（ 2）已知 f (x) 为奇函数，当x0 时 , f ( x)x22x ，当 x0 时，求 f ( x) 解析式？4、利用奇偶性讨论函数的单调性例 4：若 f ( x)(k 2)x 2(k3) x3是偶函数，讨论函数f ( x) 的单调区间？2/ 5高中数学函数奇偶性专题复习总结5、利用奇偶性判断函数的奇偶性例 5：已知 f (x) a

8、x3bx 2cx( a0) 是偶函数，判断 g( x)ax 3bx 2cx 的奇偶性。6、利用奇偶性求参数的值例 6：（ 1）定义R上的偶函数 f (x) 在 (,0) 单调递减 ,若f(2a2a1)f( 3 22a1)恒成立， 求 a 的范围 .a（ ）定义R上单调递减的奇函数f ( x) 满足对任意 tR ，若f (t22t )f (2 t2k)0 恒成立 ,求 k 的范围 .2（ 3 ）已知f x 在定义域 0,上为增函数，且满足f xyfxf y, f 3 1，求不等式f x f x82 解 .7、利用图像解题例 7：（1）设奇函数 f(x) 的定义域为 -5,5. 若当 x 0,5

9、时 ,f(x) 的图象如右图 ,则不等式 f x0 的解是.（ 2）若函数 f ( x) 在 (,0)(0, ) 上为奇函数，且在 (0,) 上单调递增 , f ( 2)0,则不等式 xf (x)0 的解集为 _.8.利用定义解题例 8：已知f (x)a1为奇函数，则 a _。2x 1已知 f (x)x21为偶函数，则 a _。(3x 2)(xa)9.利用性质选图像例 9：（ 1）设 a 1 ，实数 y10xAexe x（ 2）函数 yexe xx, y 满足 | x | log a10 ，则 y 关于 x 的函数的图像形状大致是yyyy10010 1 xxxBCD的图象大致为（ A ）（B

10、）（ C）（ D）【奇偶性专题】训练1、判断下列函数的奇偶性（1） y1( x 0) ；（ 2） yx 41 ； （ 3） y2 x ； （ 4）； y log 2 ( xx21)x3 / 5高中数学函数奇偶性专题复习总结（ 5）； f (x)ln(1e2 x )x（ 6）； f (x)x(1x)( x0)x(1x)( x0)【变题】已知 f ( x) 对一切实数 x, y 都有 f (x y)f ( x)f ( y) ，则 f ( x) 的奇偶性如何？2、（ 1）如果定义在区间 3a,5上的函数 f (x) 为奇函数，则 a =_2f (x)xxlg aa_22为奇函数，则实数（ ）若（ 3

11、）若函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且当x(0,) 时， f ( x)x(13 x ) ，那么当 x(,0) 时， f ( x) =_（ 4）已知函数yf ( x) 在 R 是奇函数，且当 x0时， f ( x)x 22x，则 x 0 时， f ( x) 的解析式为 _（ 5）定义在 ( 1,1) 上的奇函数f ( x)x m，则常数 m_, n_x 2nx1（ 6）函数 yax 2bxc 是偶函数的充要条件是_（ 7）已知 f (x)ax7bx5cx3dx5，其中 a,b,c,d 为常数，若 f ( 7)7，则 f (7)_3、若 f ( x) ( xR) 是奇函数，则下列各点中

12、，在曲线yf (x) 上的点是A. ( a, f (a)B. (sin,f (sin)C.( lg a,f (lg 1 )D. (a,f (a)a4、设 f ( x) 是 (,) 上的奇函数，f ( x2)f (x) ，当 0x1 时， f ( x)x ，则 f (47.5) 等于A. 0.5B.0.5C. 1.5D.1.54、若函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，则函数F (x)f ( x)f ( x ) 的图象关于A. x 轴对称B.y 轴对称C. 原点对称D. 以上均不对6、函数 F (x)(12) f ( x)( x0) 是偶函数，且f ( x) 不恒等于零，则f ( x)2

13、 x1A. 是奇函数B. 是偶函数C. 可能是奇函数也可能是偶函数D. 不是奇函数也不是偶函数7、下列函数既是奇函数，又在区间1,1 上单调递减的是A. f ( x)sin xB. f ( x)x 1C.f ( x)1axa xD.f ( x)ln 2x22x8、已知函数 f (x)lg1xb.则 f ( a)1.若 f (a)xA bB b11CD bb9、设 f ( x) 是定义在实数集R 上的函数，且满足f (x2)f (x1)f ( x) ，如果 f (1)lg3， f (2) lg 15 ，求 f ( 2001)210、设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，且f ( x2)f

14、(x) ，又当1x1 时， f ( x)x 3 ，（ 1）证明：直线x1是函数 f ( x) 图象的一条对称轴： （ 2）当 x1,5时，求 f ( x) 的解析式。【变题】设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，且它的图象关于直线x1对称，求证：f ( x) 是周期函数。11、已知 f (x)x(11x1) ，22（ 1）判断 f ( x) 的奇偶性；（ 2）证明： f ( x)04 / 5高中数学函数奇偶性专题复习总结12、定义在 1，1 上的函数 yf (x) 是减函数，且是奇函数，若 f (a 2a1)f (4a5) 0 ，求实数 a 的范围。13、设 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线x 1对称，对任意x1 , x20,1 ，都有 f ( x1x2 )f (x1 ) f (x2 ) .2（ 1）设 f (1)211，求 f (), f ( ) ；（ 2）证明 f ( x) 是周期函数。24答案：基本训练： 1、（1）（5）；（2）；（3）（4）变题：奇函数2、 b03、174 、B5 、 A例题： 1