2019高中数学 第三章 变化率与导数 3.3 计算导数课件 北师大版选修1-1

1、3 计算导数 1.导数(导函数) 对于函数f(x)在区间上的每一点x处,满足: (1)导数f(x)存在; 称f(x)为f(x)的导函数,简称为导数. 名师点拨名师点拨导数与导函数都称为导数,这要加以区分:求一个函数 的导数,就是求导函数;求一个函数在给定点处的导数,就是求函数 在某点处的导数值.它们之间的关系是函数y=f(x)在x0处的导数就 是导函数f(x)在x0处的函数值. 【做一做1】若f(x)=2x2+3x+1,则f(x)=,f(1)= ,f(-2)=. 解析:y=f(x+x)-f(x)=2(x+x)2+3(x+x)+1-2x2-3x- 1=2(x)2+4xx+3x, 当x=1时,f(

2、1)=7,当x=-2时,f(-2)=-5. 答案:4x+37-5 2.导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度) 名师点拨名师点拨由于根式函数可以转化为幂函数的形式,因此可以利用 幂函数的导数公式解决根式函数的求导问题.一般地,对于函数 思考辨析思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的 打“”. (1)若f(x)=x3,则f(1)=1.() 答案:(1)(2)(3)(4) 探究一探究二 【例1】 已知直线y=kx-4是曲线y=x2的一条切线,求实数k的值. 分析根据导函数的几何意义,曲线上某点处的导数值即为曲线在 该点处的切线的斜率. 探究三思维辨析 探究一探究二

3、反思感悟反思感悟1.函数的导数与在点x0处的导数不是同一概念,在点x0 处的导数是函数的导数在x=x0处的函数值. 2.求函数的导数共三个步骤: (1)求函数的增量x=f(x+x)-f(x); 探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二 【例2】 求出下列函数的导数. 分析分清函数类型,按求导公式求解,其中(3)(4)要先变形,再利用 公式. 解(1)y=(ex)=ex. (2)y=(10 x)=10 xln 10. (3)y=(x2x3)=(x5)=5x4. 探究三思维辨析 探究一探究二 反思感悟反思感悟利用求导公式求函数的导数的两个关注点 (1)解决函数的求导问题,要牢记求导

4、公式,这是保证计算正确的 前提. (2)对较为复杂的函数应先利用代数恒等变换对函数解析式进行 化简或变形,如根式化成分数指数幂的形式等. 探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 分析先求切线方程求切线的横纵截距利用面积公式列方程 求a 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟反思感悟导数的综合应用的解题策略 (1)导数在实际问题中的应用非常广泛,如运动物体在某一时刻的 瞬时速度等,解决此类问题的关键是正确理解导数的实际意义,准 确求出导数. (2)利用基本初等函数的求导公式,结合导数的几何意义可以解决 一些与距

5、离、面积相关的几何的最值问题.解题的关键是正确确定 切线的斜率,进而求出切点坐标. 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练变式训练3已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程. 解由f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,令x=2-x,得f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8, 即2f(x)-f(2-x)=x2+4x-4, 联立f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,得f(x)=x2, f(x)=2x,f(2)=4,即所求切线斜率为4, 切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0. 探究一

6、探究二探究三思维辨析 因记错公式导致求导失误 【典例】 给出下列结论: (cos x)=sin x; 其中正确的有. 易错分析此类问题出错的主要原因是基本初等函数的导数公式 记忆有误,关键是不能熟练掌握和应用导数公式,故需加强记忆,求 导问题先要对函数式进行合理变形,再套用求导公式求解. 探究一探究二探究三思维辨析 答案: 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练变式训练给出下列结论: (3)若f(x)=3x,则f(1)=3. 其中正确的有() A.0个 B.1个 C.2个D.3个 答案:C 1 2 3 4 5 答案:D 1 2 3 4 5 2.观察(x2)=2x,(x4)=4x3,(cos x)=-sin x,可得:若定义在R上的函数f(x) 满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)等于() A.f(x)B.-f(x) C.g(x)D.-g(x) 解析:观察上述式子,可知偶函数的导函数是奇函数,因为f(-x)=f(x), 所以f(x)是偶函数,所以g(x)为奇函数,故g(-x)=-g(x). 答案:D 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5.求过点Q(2,9)且与曲线y=2x2+3相切的直线方程. 解点Q(2,9)不在曲线上,故设过点Q的切线的切点为T(x0,y0), 由已知得y=4x,则