MATLAB离散系统z域分析

1、实验八离散系统的Z域分析目的(1) 掌握利用MATLAB绘制系统零极点图的方法(2) 掌握离散时间系统的零极点分析方法(3) 掌握逆Z变换概念及MATLAB实现方法二、离散系统零极点线性时不变离散系统可用线性常系数差分方程描述，即NM(8-1) ay(门i)=扛 bjX(n-j)i =QjzO其中y(k)为系统的输出序列，x(k)为输入序列。将式(8)两边进行Z变换的Mx bjZ-j(8-2)YZ1 oB(Z1H(Z) =_-NX(Z) x BiZi A(Z)i=0将式(82)因式分解后有：M(z-qj) H(Z) =C 怡(8-3)I I(z Pi)其中c为常数，qj(j为H(Z)的M个零点

2、，p(i =1,2/ ,N)为H(Z)的N个极点。系统函数H (Z)的零极点分布完全决定了系统的特性，若某系统函数的零极点已知，则 系统函数便可确定下来。因此，系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。通过对系统 函数零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性：系统单位样值响应h(n)的时域特性；离散系统的稳定性；离散系统的频率特性；三、离散系统零极点图及零极点分析1零极点图的绘制设离散系统的系统函数为H(Z)二眈A(Z)则系统的零极点可用MATLAB的多项式求根函数roots()来实现，调用格式为：p=roots(A) 其中A为待求多项式的系数构成的行矩阵，返回向量P则

3、是包含多项式所有根的列向23 1量。如多项式为B(Z)=ZZ,则求该多项式根的MATLAB命令为：48A=1 3/4 1/8;P=roots(A)63运行结果为：P =-0.5000-0.2500需注意的是，在求系统函数零极点时，系统函数可能有两种形式：一种是分子、分母 多项式均按Z的降幕次序排列；另一种是分子、分母多项式均按ZJ的升幕次序排列这两种方式在构造多项式系数向量时稍有不同。(1) H(Z)按Z的降幕次序排列：系数向量一定要由多项式最高次幕幵始，一直到常数 项，缺项要用o补齐；如ZA 2Z H(Z) Z4 SZ3 2z2 2Z 1其分子、分母多项式系数向量分别为A=1 0 2 0、B

4、=1 322 1(2) H(Z)按0的升幕次序排列：分子和分母多项式系数向量的维数一定要相同，不足的要用0补齐，否则z = 0的零点或极点就可能被漏掉。如1 2ZJH(Z)=其分子、分母多项式系数向量分别为 A=1 2 0、B=1 1/2 1/4。用roots()求得H的零极点后，就可以用plot()函数绘制出系统的零极点图。下面是求系统零极点，并绘制其零极点图的MATLAB实用函数Ijdto ,同时还绘制了单位圆 function ljdt(A,B)% The fun Cti On to draw the pole-zero diagram for discrete SyStem p=roo

5、ts(A); %求系统%求系统零点%将极点列向量转置为行向量%将零点列向量转置为行向量 %确定纵坐标范围%确定横坐标范围极点q=roots(B);P=P*；q=q; x=max(abs(p q 1); x=x+0.1; y=x；elf hold on axis(-x X -y y) w=0:pi/300:2*pi; t=exp(i*w);%确定坐标轴显示范围plot(t)%画单位园%画横坐标轴%画纵坐标轴axis(*square) plot(-x x,0 0)plot(0 0,-y y) text(0.1 ,x,jlmz) text(y,1/10,Rez) plot(real(p),imag(

6、p)；x,) plot(real(q),imag(q)；o,)title(pole-zero diagram for discrete system1) hold off%画极点%画零点%标注标题例1:绘制如下系统函数的零极点643Z3 5Z2 10ZH(Z) 32Z -3Z 72-5H(Z)=严二48解：MATLAB命令如下(1) A=1 -3 7-5; B=3 -5 10 0; ljdt(A,B)绘制的零极点图如图(a)所示(2) A=1 3/4 1/8; B=1 0.5 0; ljdt(A,B)绘制的零极点图如图(b)所示pole-zero diagram for discrete sy

7、stemPOIe-ZerO diagram for discrete System(a)(b)图8-1离散系统的零极点图2.离散系统零极点分析(1)离散系统零极点分布与系统稳定性信号与系统课程已讲到离散系统稳定的条件为：QQ时域条件：离散系统稳定的充要条件为工h(n) | “，即系统单位样值响应绝nZ3:对可和；Z域条件：离散系统稳定的充要条件为系统函数H(Z)的所有极点均位于Z平面的 单位圆内。对于三阶以下的低阶系统，可以利用求根公式求出系统函数的极点，从而判断系统的稳定性，但对于高阶系统，手工求解则显得十分困难，这时可以利用MATLAB来实现。实现方法是调用前述的函数Ijdto绘出系统的零

8、极点图，然后根据极点的位置判断系统 的稳定性。例2：系统函数如例1所示，判断两个系统的稳定性。解：由例1绘出的零极点图可以看出两个系统的稳定性分别为：第(1)个系统不稳定；第 (2)个系统稳定。65(2)零极点分布与系统单位样值时域特性的尖系从信号与系统课程中已经得知，离散系统的系统函数H(Z)与单位样值响应h(n)是一 对Z变换对；因而，H (Z)必然包含了 h(n)的固有特性。离散系统的系统函数可以写成M丨【(z-qi)H(Z)二CF( 8-4)丨丨(z- Pi)i4若系统的N个极点均为单极点，可将H(Z)进行部分分式展开为：NkzH(Z)- ( 8-5)i j Z - Pi由Z逆变换得：

9、Nh(n Wi ki PinU n()(8-6)i 二从式(85)和(8七)可以看出离散系统单位样值响应h(n)的时域特性完全由系统函数H(Z)的极点位置决定。从信号与系统的学习中已经得出如下规律：H(Z)位于Z平面单位圆内的极点决定了 h(n)随时间衰减的信号分量；H(Z)位于Z平面单位圆上的一阶极点决定了 h(n)的稳定信号分量；H (Z)位于Z平面单位圆外的极点或单位圆上高于一阶的极点决定了h(n)的随时间增长的信号分量；下面以例子证明上述规律的正确性：性。1(1)H(Z)=，早位圆上的一阶头极点；Z-1例3：已知如下系统的系统函数H(Z),试用MATLAB分析系统单位样值响应h(n)的

10、时 域特(2) H(Z)=2兀z2 -2zcos() 18，单位圆上的一阶共辄极点；(3)(4)H(Z)z2，单位圆上的二阶实极点；(z-1)21H(Z)=，单位圆内的一阶实极点；z-0.8(5) H(Z)丄2，单位圆内的二阶实极点；(z-0-5)21(6)H(Z)=，单位外的一阶实极点；Z-1.2解：利用MATLAB提供的函数impz()绘制离散系统单位样值响应波形，impz()基本调用方式 为(其他方式，请读者参看MATLAB帮助)：impz(b,a,N),其中小为系统函数 分子多项式 的系数向量，a为系统函数分母多项式的系数向量，N为产生序列的长度；66需要注意的是，b和a的维数应相同，

11、不足用。补齐，例如H(Z)二 命 三看b=0 01, a=1 1o下面是求解个系统单位样值响应的 MATLAB命令：67(1) a=1 -1; b=0 1; impz(b,a,10)运行结果如图8-2 (a)所示(2) a=1 -2*cos(pP8) 1; b=0 0 1; impz(b,a,50)运行结果如图8-2 (b)所示(3) a=1 -2 1; b=0 1 0; impz(b,a,10)运行结果如图82(C)所示(4) a=1 -0.8; b=0 1; impz(b,a,10)运行结果如图8-2 (d)所示(5) a=1 -1 0.25; b=0 0 1; impz(b,a,10)运行结果如图8-2 (e)所示(6) a=1 -1.2; b=0 1; impz(b,a,10)运行结果如图8-2 (f)所示PI %amo | es)c/(SalrlPleS)(a)(b)图8-2系统的单位样值响应68104en f58HD | EI5)(C)n (samples)I)広6on 40.2PI %amo | es)(d)46H(Samt)lse)(f)图8-2