高中文科数学导数练习题

1、专题 8：导数（文）经典例题剖析考点一：求导公式。例 1.f (x) 是 f (x)1 x32x 1 的导函数，则f ( 1) 的值是。3解析： f xx 22，所以 f 1 1 23答案： 3考点二：导数的几何意义。例 2.已 知 函 数 yf ( x) 的 图 象 在 点 M (1， f (1) 处 的 切 线 方 程 是 y1 x 2 ， 则2f (1)f (1)。解析：因为 k1，所以25 ，所以 f 15，所以221f 1，由切线过点 M (1， f (1) ，可得点 M 的纵坐标为 2f 1f 13答案： 3例 3.曲线 y x32x24x2 在点 (1， 3) 处的切线方程是。解

2、析： y3x24x4 ， 点 (1， 3) 处切线的斜率为 k3 4 4 5 ，所以设切线方程为 y5xb ，将点 (1， 3) 带入切线方程可得 b2 ，所以，过曲线上点 (1， 3)处的切线方程为：5xy 2 0答案： 5xy 20点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三：导数的几何意义的应用。例4.已知曲线C ： y x 33x 22x，直线 l : ykx ，且直线l 与曲线 C 相切于点x0 , y0 x00 ，求直线 l 的方程及切点坐标。解 析 ：直 线 过 原 点 ， 则 ky0 x0 0 。 由 点 x0 , y0在 曲 线 C 上 ， 则x0y0x0 33x0 2

3、2x0 ，y0x0 23x02。又 y 3x26x2 ，在x0x0 , y0处 曲 线 C的 切 线 斜 率 为 kf x03x0 26x02 ，23x0226x02 ，整理得： 2 x03x0 0 ，解得： x030x03x0或 x02（舍），此时，y03， k1。所以，直线l 的方程为 y1 x ，切点坐标是8443,3。28答案：直线 l 的方程为 y1 x ，切点坐标是3 ,3428点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。考点四：函数的单调性。例 5.已知 f

4、xax33x2x 1在 R 上是减函数，求a 的取值范围。解析：函数f x的导数为fx326x1 。对于x R都有f x0时，f xax为减函数。由 3ax 26x10 x R 可得a012a，解得 a3 。所以，360当 a3 时，函数 fx对 xR 为减函数。x 1 3 x 138 。（ 1） 当 a3时， f x3x33x 239由函数 y x3 在 R 上的单调性，可知当a3 是，函数 f x对 xR 为减函数。（ 2）当 a3时，函数 fx在 R 上存在增区间。 所以， 当 a3 时，函数 fx 在R上不是单调递减函数。综合（ 1）（ 2）（ 3）可知 a3 。答案： a3点评：本题

5、考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。考点五：函数的极值。例 6. 设函数f (x)2x33ax 23bx8c 在 x1 及 x2 时取得极值。（1）求 a、b 的值；（2）若对于任意的x0，3 ，都有 f ( x)c2 成立，求 c 的取值范围。解析： （ 1 ） f (x)6x26ax3b ，因为函数f (x) 在 x1 及 x 2 取得极值，则有66a3b，f (1)0 ， f(2)003 ， b4 。即12a3b，解得 a240（2）由（）可知， f (x)2x39x212 x8c ， f( x)6x218x126( x1)(x 2) 。当 x(01)，

6、时， f (x)0；当 x(12)， 时， f ( x)0；当 x(2，3)时， f( x)0 。所以，当 x1 时， f ( x) 取得极大值 f (1)58c ，又 f (0)8c ， f (3)9 8c 。则当 x0，3时， f (x) 的最大值为 f (3) 98c 。因为对于任意的x0，3 ，有 f (x)c2 恒成立，所以9 8c c2 ，解得c1 或 c9，因此 c 的取值范围为 (， 1) U (9，) 。答案：（ 1 ） a3 ， b4 ；（ 2） (， 1) U (9，) 。点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数fx 的极值步骤： 求导数 f x ；求 f x0 的

7、根；将f x0的根在数轴上标出，得出单调区间，由f x 在各区间上取值的正负可确定并求出函数fx的极值。考点六：函数的最值。例 7. 已知 a 为实数， fxx24 xa 。求导数 f x ；（ 2）若 f 10 ，求 f x在区间2,2 上的最大值和最小值。解析： （ 1） f xx3ax 24x4a ，f x3x 22ax4 。（2） f 1 32a 4 0 ， a1 。 f x3x2x 43x 4 x 12令 f x0 ，即3x4x10 ，解得 x1 或 x4x 和 f x在区间2,2，则 f上随 x 的变化情况如下表：3x22,111, 444 ,22333f x00fx0增函数极大值

8、减函数极小值增函数0f19， f450。所以， fx在区间2,2 上的最大值为 f 450，最2327327小值为 f19。2答案：（ 1 ）fx3x22ax4 ；（ ）最大值为f450，最小值为f19。23272点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数fx 在区间 a,b 上的最值， 要先求出函数 fx在区间 a, b上的极值， 然后与 fa 和 fb进行比较， 从而得出函数的最大最小值。考点七：导数的综合性问题。例8. 设函数f ( x)ax3bx c (a 0) 为奇函数，其图象在点(1, f (1) 处的切线与直线x6 y 70 垂直，导函数 f ( x) 的最小值为12 。（ 1

9、）求 a ， b ， c 的值；（2）求函数 f (x) 的单调递增区间，并求函数f ( x) 在 1,3 上的最大值和最小值。解析： （ 1） f (x) 为奇函数， f ( x)f ( x) ，即 ax3bx cax 3bxc c0 ， f ( x)3ax2b 的最小值为12， b12，又直线 x6 y70的斜率为 1 ，因此， f (1)3a b6 ， a2 ， b12 ， c0 6（2） f ( x)2 x312x 。f (x)6x2126( x2)( x2)，列表如下：x(,2)2(2, 2)2( 2,)f ( x)00f ( x)增函数极大减函数极小增函数所 以 函 数 f ( x

10、) 的 单 调 增 区 间 是 (,2) 和 ( 2,) ， f ( 1)10 ，f (2)82， f (3)18 ， f ( x) 在 1,3 上 的 最 大 值 是 f (3) 18， 最 小 值 是f (2)82。答案：（1 ） a2 ，b12，c0 ；（ 2）最大值是 f (3) 18 ，最小值是 f (2)8 2 。点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。导数强化训练（一）选择题1.已知曲线 yx2的一条切线的斜率为1 ，则切点的横坐标为（A）42A 1B 2C 3D 42.曲线 yx33x21在点（ 1， 1）处的切线方程为

11、（B）A y 3x 4 B y3x 2 C y4x 3 D y 4x 53.函数 y( x1) 2 ( x1) 在 x1处的导数等于（ D）A 1B 2C 3D 44.已知函数 f ( x)在 x1处的导数为 3,则 f ( x) 的解析式可能为（A）A f (x)(x1) 23( x1)B f ( x)2( x1)C f (x)2( x 1) 2D f ( x)x 15.函数 f ( x)x 3ax 23x9 ，已知 f (x) 在 x3 时取得极值，则a =（ D）（ A ） 2（B ） 3（ C） 4（D ） 56.函数 f ( x)x33x21是减函数的区间为 ( D)（） (2,)

12、（） (, 2) （） (,0) （） (0, 2)7.若函数 fxx 2bxc 的图象的顶点在第四象限，则函数f x 的图象是（A）8.y2x213yyy函数 f ( x)x在区间 0 , 6 上的最大值是（A ）33216C 12D 9A xB oxo3o 3xxo9.函数 y x33x 的极大值为 m ，极小值为 n ，则 mn 为（A）ABC 2CDA 0B 1D 410. 三次函数 fxax 3x 在 x,内是增函数，则（A）A a 0B a 0C a 11D a311.在函数 yx38x的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数4是（ D）A 3B 2C 1D 012

13、. 函数 f (x) 的定义域为开区间(a, b) ，导函数f ( x) 在开区间 (a, b) 内有极小值点（A）A 1 个B 2 个C3 个D 4 个f ( x) 在 (a, b) 内的图象如图所示，则函数y?y f (x)Obax（二）填空题13.曲 线 yx3在 点 1,1处 的 切 线 与 x 轴 、 直 线 x 2所 围 成 的 三 角 形 的 面 积 为_。14.已 知 曲 线 y1 x34， 则 过 点 P(2, 4) “ 改 为 在 点 P(2, 4)” 的 切 线 方 程 是33_15.已知 f ( n ) ( x) 是对函数 f ( x) 连续进行 n 次求导，若 f (

14、 x)x6x5，对于任意 x R，都有 f (n) (x) =0，则 n 的最少值为。16. 某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，运费为 4 万元次，一年的总存储费用为 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x吨（三） 解答题17. 已知函数 f xx 3ax 2bx c ，当 x1时，取得极大值7；当 x3 时，取得极小值求这个极小值及a,b,c 的值 .18. 已知函数f ( x)x33x 29xa.（1）求 f ( x) 的单调减区间；（2）若 f ( x) 在区间 2， 2. 上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.19. 设 t0 ，点 P（ t

15、， 0）是函数f (x)x3ax与 g (x)bx 2c 的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线。（1）用 t 表示 a, b, c ；（2）若函数yf (x)g (x) 在（ 1， 3）上单调递减，求t 的取值范围。20. 设函数fxx3bx2cx( xR) ，已知 g (x)f (x)f (x) 是奇函数。（ 1）求 b 、 c 的值。（ 2）求 g( x) 的单调区间与极值。21. 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架， 要求长方体的长与宽之比为 2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？22. 已知函数 f ( x)1 x31

16、ax 2bx 在区间 11)， ， (13， 内各有一个极值点32（1）求 a24b 的最大值；（1） 当 a24b8 时，设函数 yf ( x) 在点 A(1， f (1) 处的切线为 l ，若 l 在点 A 处穿过函数 yf (x) 的图象（即动点在点 A 附近沿曲线 yf ( x) 运动，经过点A 时，从 l 的一侧进入另一侧），求函数f ( x) 的表达式强化训练答案：1.A 2.B 3.D4.A5.D 6.D7.A8.A9.A 10.A 11.D 12.A（四）填空题813.14.y4x4015.716.203（五）解答题17. 解： f x3x22axb 。据题意， 1，3 是方程

17、3x22axb0 的两个根，由韦达定理得132a3b133 a3, b9 fxx 33x 29xc f17 ， c2极小值 f 33333293225极小值为 25， a3,b9 ， c2 。18. 解：（ 1） f(x)3x 26x9.令 f( x) 0 ，解得 x1或 x3,所以函数 f (x) 的单调递减区间为(,1), (3,).（2）因为 f ( 2)81218 a2a,f ( 2)8 1218a22a,所以 f ( 2)f (2). 因为在（ 1，3）上 f( x)0 ，所以 f ( x) 在 1，2上单调递增，又由于 f ( x) 在 2， 1 上单调递减，因此 f(2)和 f

18、( 1)分别是 f ( x) 在区间2,2上的最大值和最小值. 于是有 22a20 ，解得 a2.故f(x)x3329x2.因此f ( 1) 1 3 9 27,x即函数 f ( x) 在区间2,2上的最小值为 7.19. 解：（ 1）因为函数f ( x) ， g( x) 的图象都过点（t ， 0），所以f(t)0 ，即 t 3at0. 因为 t0, 所以 at 2. g(t)0,即 bt 2c0,所以 c ab.又因为 f (x) ， g( x) 在点（ t ，0）处有相同的切线，所以 f(t )g (t).而 f ( x)3x2a, g (x) 2bx, 所以 3t 2a2bt .将 at

19、2代入上式得bt.因此 cabt 3. 故 at 2， bt ， ct 3 .（2） yf ( x)g( x)x3t 2 x tx 2t 3 , y3x22tx t 2(3x t )( x t) .当 y(3xt)( xt )0 时，函数 yf ( x)g (x) 单调递减 .由 y0 ，若 t0, 则tx t ；若 t0,则 txt .33由题意，函数 yf ( x)g ( x) 在（ 1， 3）上单调递减，则(1,3)(t , t)或 (1,3)(t ,t ). 所以 t3或t3.即 t9或 t3.333又当9t3时，函数 yf ( x)g (x) 在（ 1， 3）上单调递减 .所以 t

20、的取值范围为 (, 93,).20. 解：（ 1） fxx3bx2cx， fx3x22bxc 。从而g( x) f ( x) f( x)x3bx 2cx(3x22bx c) x3(b 3) x2(c2b) xc 是一个奇函数，所以 g(0)0 得 c0 ，由奇函数定义得b3 ；（2）由（）知 g (x)x36 x，从而 g (x)3x26 ，由此可知，(,2) 和 (2,) 是函数 g( x) 是单调递增区间；(2,2) 是函数 g( x) 是单调递减区间；g( x)在x2时，取得极大值，极大值为4 2 g(x)在x2时，取得极小值，极小值为4 2。，21. 解：设长方体的宽为 x （m），则

21、长为 2x (m)，高为1812 xxx3h4.53 (m)0.42故长方体的体积为V x 2x 2 4.5 3x 9x 26x3 m30 x32从而 V (x)18 x18 x 2 (4.53x)18 x(1x).令 V x0 ，解得 x0（舍去）或 x1 ，因此 x 1.当 0 x1 时， V x0 ；当 1 x30 ，时， V x2故在 x 1 处 V x 取得极大值，并且这个极大值就是V x 的最大值。从而最大体积 VV x9 12613 m3，此时长方体的长为2 m，高为 1.5 m.答：当长方体的长为 2 m 时，宽为1 m，高为 1.5 m 时，体积最大，最大体积为3m 3。22.解：（ 1）因为函数f (x)1 x31 ax2bx 在区间 11)， ， (1，3内分别有一个极值点，所以32f(x)x2ax b0 在 11)， ， (13， 内分别有一个实根，设两实根为x1，x2 （ x1x2 ），则 x2x1a24b ，且0 x2 x1 4 于是0a24b 4 ，0a24b 16 ，且当 x11，x23 ，即 a2 ，b3 时等号成立 故a24b 的最大值是