高三数学周练12

1、高三数学周练12一、选择题: 本大题共4 小题1 27.如图 ,已知正六边形PP12 P3 P4 P5 P6 ，下列向量的数量积中最大的是（A ）（A ）uuuuruuuur（）uuuuruuuur（ C）uuuuruuuur（ D）uuuuruuuurB1 21 5PP ? PP1 21 31 21 4PP ? PPPP ? PPPP ? PP1 21 62 (理 ) 已知定义域为R 的函数f(x) 满足f (x)f ( x4)，且当x2时，f(x) 单调递增，如果x1x24且x12 x220,则 f ( x1 )f ( x2 )的值（ A ）A. 恒小于0B. 恒大于0C.可能为0D. 可

2、正可负2.(文 ) 设函数则导函数f(x)在定义域内可导， y= f(x)的图象可能为y= f(x)的图象如右图所示，（D）（）（）（）（）3.若不等式1 a na lg a0 对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是（C）A. a | a 1B. a | 0 a1C.a | 0 a1 或 a 1 D.a | 0 a1 或 a 1234( 理 ) 某学生对函数f ( x)x sin x 进行研究，得出如下四个结论：函数f ( x) 在,上单调递增； 存在常数 M0 ，使 f ( x)M x 对一切实数 x 均成立； 函数22f ( x) 在 (0,) 无最小值，但一定有最大值；点( ,0

3、)是函数 yf ( x) 图象的一个对称中心。其中正确的是( B)A BC D 4(文 ) 已知函数 f (x)3 sinx 图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆Rx2y2R2 上，则 f (x ) 的最小正周期为（ D）A 1B 2C 3D 4二、填空题5对于定义在R 上的函数f ( x) ，若存在实数x0 满足 f ( x 0 ) = x0，则称 x0 为函数f (x ) 的一个不动点 若二次函数 f ( x ) =x22ax1 在其定义域R上至多有一个 不动点， 则实数 a 的取值范围是 51a3 226已知anlogn 1 (n我们把使乘积 a1 a2 a3 an 为整数

4、的数n 叫做2)(n N )“劣数”，则在区间（ 1， xx ）内的所有劣数的和为6 a1a2an log2 3 log3 4logn 1 (n 2) log2 (n 2) k时，k，由 n 2k 2n2 2 (1，xx) 有 2 k 10(k Z)故所有劣数的和为 （ 22 23 210） 2 9 4 (129 )12 182026三、解答题7如图 2，在长方体 ABCDA1 B1C1D1中, AD AA1 1, AB1 ，点 E 在棱 AB 上移动，小蚂蚁从点 A 沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为 22 。（ 1）求证： D1E A 1D；（ 2）求 AB 的长度；（ 3）在线段

5、 AB 上是否存在点 E，使得二面角 D1 ECD 的大小为 。若存在，确4定点 E 的位置；若不存在，请说明理由。7解一：（ 1）证明：连结 AD1，由长方体的性质可知：AE平面 AD 1， AD1 是 ED 1 在平面 AD1 内的射影。又 AD=AA 1= 1， AD1 A1 D D1E A1 D1（三垂线定理）（ 2）设 AB=x ，四边形 ADD 1A 是正方形，小蚂蚁从点 A 沿长方体的表面爬到点 C1可能有两种途径，如图甲的最短路程为| AC1 |x24如图乙的最短路程为| AC1( x1) 21x 22x 2x1x 22x 2 x22 2 x 24x 24 2 2x 2 9 分

6、（ 3）假设存在连结 DE ，设 EB=y ，过点 D 在平面 ABCD 内作 DH EC，连结 D 1H，则 D 1HD 为二面角 D1 EC D 的平面角，D1HD11 分4DHDD11在R EBC内, ECy 21, 而EC DHDCAD即y 212解得 y3即存在点 E，且了点 B为3 时, 二面角 D1ECD 的大小为解法二：（ 1）如图建立空间坐标系设AE=a则 E（ 1,a,0）， D1（ 0,0,1） ，A 1（ 1，0， 1）DA1 D1 E1 10a1( 1)0D1 EA1D 4 分（ 2）同解法一（ 3）假设存在，平面DEC 的法向量 n1 (0,0,1)D1C(0,2,

7、 1)4设平面 D1EC 的法向量 n2(x, y, z) ，则D1C n200 x 2 y z 0即, 解得 :D1E n20x ayz 0z2 yn2(2 a,1,2) 12 分x(2a) y由题意得： cosn1 , n222(2a) 212222解得： a23或 a23 （舍去）即当点 E离B为时 ，二面角 DED D的大小为 14 分314.8 .( 理 ). 已 知 2 f ( x) f ( 1 ) 4x21, 数 列 an、bn满 足 下 列 条 件 ： a11 ，xxan 12anf (n) ， nn1an(n N*)( 1 )求f ( x)的解析式；b a（ 2）求 bn 的

8、通项公式；（ 3）试比较2an 与 bn 的大小，并加以证明 .8.解：（ 1）Q 2 f ( x)f ( 1 )4x212 f ( 1)f (x)42x1xxxx由可得，f (x)2x1（ 2） Q an 12an2n1,则 an2an 12n1，两式相减得 an 1an（2 an an1）2 ，即 bn2bn 12 ，则有 bn22(bn12)且 b1a2a14bn2 是首项为 6，公比为 2的等比数列 ，bn26 2n 1 ，则 bn32 n2 （ 3）Q an 1 2an2n 1,又 a n 1 anbn3 2 n2由可得， an3 2n2n32 anbn32 n（4 n+1)当时，b

9、12 0 2a1b1;当时，b20 2a2b2n 1 2a1n 2 2a2当时，b38 0 2a3b3 ;猜测当时，bn 0n 3 2a3n 3 2an8 (文 )设数列 an 是首项为6，公差为1 的等差数列；Sn 为数列 bn 的前 n 项和，且Snn22n（ 1）求 an 及 bn 的通项公式an 和 bn ；为奇数a , n（ 2）若 f (n)n 为偶数 ，问是否存在 kN * 使 f (k 27)4 f (k ) 成立？若存bn , n在，求出 k 的值；若不存在，说明理由；8解：（ 1） ana1( n 1)d 6 n 1 n 51 分又当 n1时， b1S13当 n2时 , b

10、nSnSn 1n22n(n1)22(n 1)2n1上式对n1 也成立， bn2n1(n N * ) ，总之， ann5,bn2n14 分n为奇数 ,5,n（ 2）由已知 f (n)2n为偶数 , 当 k 为奇数时， k27为偶数 ,1,n由 f (k27)4 f (k ) ，得 2( k27)14( k5) , 2k35,k35（舍去）6 分2当 k 为偶数时， k27 为奇数，由 f (k27)4 f (k ) ，得 (k27)54(2 k1) ，即 7k28, ， k4适合题意。总之，存在整数k4，使结论成立8 分9.(理)已知函数 f（ x） =x2- alnx 在（ 1， 2 是增函数

11、， g（ x） =x- ax 在（ 0，1）为减函数（）求f（ x）、g（ x）的表达式；（）求证：当x0 时，方程f（ x）=g（ x）+2 有唯一解；（）当 b-1时，若 f（x） 2bx-1在 x（ 0， 1 内恒成立，求b 的取值范围x 29.解：（） f /（x） =2x- a 1 分x依题意 f /（x） 0在 x（ 1， 2上恒成立， a2x，a2 2 分又 g/（x） =1-a， 3 分2x依题意 g/（ x） 2 x ，a2 4 分a=2 f（ x） =x2- 2ln x， g（x） =x- 2 x 5 分（）由（）可知，方程为x2- 2ln x = x- 2 x +2，即

12、x2 - 2ln x- x+2 x - 2=0设 h（x） = x2- 2lnx- x+2x - 2，由 h/（x） =2x-2- 1+1， 6 分xx令 h/（x） 0， x0，（x - 1）（ 2xx +2x+x +2） 0，解得x1 7 分令 h/（x） 0，（x - 1）（ 2x x +2 x+x +2）0，解得0x0 且 x1时， h（ x）0， h（x） =0 只有一个解所以当 x0 时，方程f（ x） =g（x） +2 有唯一解 9 分（） f/（ x）=2x- 2=2 x1 x 1 ，xx当 x（ 0， 1时 f（ x）为减函数，其最小值为 1 11 分令 y=2bx- 1 ，

13、则 y/=2b+2 x2x3 b-1 ， x（ 0， 1， y/0 在（ 0， 1恒成立函数 y=2bx-1 在 x（ 0， 1为增函数，其最大值为2b- 1 13 分x 2依题意b1，解得 - 1 b1为所求范围 14 分2b119 ( 文)已知函数f( )x44x3ax21在区间 0,1 上单调递增，在区间 1,2 上单调递减x（1）求 a 的值；（2）设( )bx21，若方程 f (x)g ( x) 的解集恰好有3 个元素，求 b 的取值范围；g x（ 3）在（ 2）的条件下，是否存在实数对( m,n) ，使 f ( xm)g (xn) 为偶函数？如存在，求出 m, n 如不存在，说明理由9解：（ 1） f ( x)4x312x22ax ，由已知 f ( x) 在 0,1 上的值为正 ,在 1,2 上的值为负故 x1 是方程 4x312x 22ax0 之根，a4 3 分（ 2）由