上海重点中学重要考题精选及精解

1、Useful Documents 2017 上海高考专题复习数列考题精选 1 1.已知等差数列 an中， a3a716,a4 a6 0,求an前n 项和sn. 2在不等边ABC 中，设 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c，已知sin 2 A ，sin 2 B ，sin 2 C 依次成等差数列，给定数列 cosA a cosB cosC c ） A是等比数列而不是等差数列 C既是等比数列也是等差数列 B是等差数列而不是等比数列 D既非等比数列也非等差数列 1）试根据下列选项作出判断，并在括号内填上你认为是正确选项的代号（ 2）证明你的判断 3.设Sn为数列 an的前n项和， Sn kn2 n

2、，n N*，其中 k是常数 （I）求 a1及 an； （II）若对于任意的 m N*，am， a2m，a4m成等比数列，求 k的值 4.等比数列an的前 n 项和为Sn，已知对任意的n N ，点（n,Sn ），均在函数 y bx r（b 0且b 1,b, r均为常数）的图像上 . （1）求 r 的值； （2）当 b=2 时，记 bn n 1（n N ）求数列bn的前 n项和Tn 4an 5.设数列 an的前n项和为 Sn,已知a1 1,Sn1 4an 2 6.设数列 an 是等差数列 ,a5 =6 当 a3=3 时,在数列 an 中找一项 am,使 a3,a5,am 成等比数列，求 m的值；

3、当 a3=2 时,若自然数 n t （t=1,2,3, ）,满足 5n 1 n 2 nt ，且使得 a3,a5,an1,an2 ,ant 成等比数列 ,求数列 nt 的表达式 7已知 f x 是定义在 R 上的增函数，且记 g x f x f 1 x 。 （1）设 f x x ，若数列 an 满足 a1 3,an g an 1 ，试写出 an 的通项公式及前 2m的 和 S2m： Useful Documents Useful Documents 2）对于任意 x1、 x2 R，若 g x1 g x2 0 ，判断 x1 x2 1的值的符号 8.已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 a1

4、2,n an 1 Sn n n 1 ， 1）求数列 an 的通项公式： S 2）令Tn Snn ，当n为何正整数值时， Tn Tn 1；若对一切正整数 n ，总有Tn m， 求 m 的取值范围。 9.关于 x的方程 x2 xsin2 sin cot 0的两根为 , ，且 0 2 ，若数列 1 的前 100 项和为 0 ，求 的值 10.已知数列 an 中，a1 1,且点Pan,an1 n N 在直线 x y 1 0上. 求数列 an 的通项公式； 1） 3） S1 若函数 f（n） 1 1 1 1 n N,且n 2, n a1 n a2 n a3n an 求函数 f （n） 的最小值； 设bn

5、 1 ,Sn表示数列 bn 的前n项和试问：是否存在关于 n的整式gn ，使得 an S2 S3Sn 1 Sn 1 g n 对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立？若存在，写出 gn 的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。 11.已知各项均不相等的正项数列 an, bn 的前 n 项和分别为 Sn,Tn. （1）若 an, bn 为等差数列，求证： lim an lim Sn . n n n bn n Tn aS （2）将（ 1）中的数列an, bn均换作等比数列，请给出使 lim an lim Sn 成立的条件. n n n bn n Tn 1 （ n为正整数） . 12.已知数列

6、an 的前n项和为 Sn ，且满足 anSn 11 1）求数列 an 的通项公式； 2）记 S a1 a2an.试比较 S与（n 1）an 的大小关系，并证明你的结论 . 13.已知数列an的前N 项和为Sn,a1 1,Sn1 2Sn 3n 1(n N*). 1)证明：数列 an 3 是等比数列； 2)对k N*,设f(n) Sn an 3n,n 2k 1,求使不等式 f(m) f(2m2) 恒成立的 log2(an 3),n 2k, 2 Useful Documents Useful Documents 自然数 m的最小值 . 2017 上海高考专题复习数列考题精选 1 解答 1.已知等差数

7、列 an中， a3a716,a4 a6 0,求an前n 项和sn. 解析：本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解。 0 16 解：设 an 的公差为 d ，则 a1 2d a1 6d 16 a1 23d a1 5d 2 即 a1 8da1 12d d 2, d 2 因此 Sn 8n n n 1 n n 9 ，或 Sn 8n n n 1 n n 9 2在不等边ABC 中，设 A 、B、 依次成等差数列，给定数列 1）试根据下列选项作出判断， C所对的边分别为 a，b，c，已知sin 2 A ，sin 2 B ，sin 2 C cosA ， cosB ， cosC ab

8、c 并在括号内填上你认为是正确选项的代号（ ） A是等比数列而不是等差数列 B是等差数列而不是等比数列 C既是等比数列也是等差数列 D既非等比数列也非等差数列 a1 a1 4d8, a1 8 解得 a1 8,或 a1 8 2）证明你的判断 解：（1）B （2）因为sin 2 A、sin3 B 、 sin 2 C成等差数列，所以2 sin 2 B sin 2 A sin 2 C ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cosB a c b cosA b c a cosC a b c 所以 2b a c 又 ， ， b 2abc a 2abc c 2abc 显然2cosB cosA c

9、osC ，即cos A 、 cos B 、 cosC 成等差数列若其为等比数列，有 b a c a b c cosA cosB cosC ，所以 tanA tanB tanC， A B C ，与题设矛盾 abc n N * ，其中 k 是常数 2 3.设Sn为数列 an的前n项和， Sn kn2 n， （I）求 a1及 an； （II）若对于任意的 m N*，am， a2m，a4m成等比数列，求 k的值 解（）当 n 1,a1 S1 k 1， n 2,an Sn Sn 1 kn2 n k（n 1）2 （n 1） 2kn k 1（ ） Useful Documents Useful Docume

10、nts 经验， n 1, （ ）式成立， an 2kn k 1 ） am ,a2m,a4m成等比数列， 2 a2 mam.a4m ， 即(4km k 1)2 (2km k 1)(8km k 1) ，整理得： mk(k 1) 0， 对任意的 m N 成立， k 0或k 1 4.等比数列an的前 n 项和为Sn，已知对任意的n N ，点（n,Sn ），均在函数 y bx r（b 0且b 1,b, r均为常数）的图像上 . 1）求 r 的值； （2）当 b=2 时，记 bn（n N ）求数列bn的前 n项和Tn 4an 解:因为对任意的 n N ,点（n, Sn） ，均在函数 y bx r（b 0且

11、b 1,b, r均为常数 ）的图像 上.所以得 Sn bn r, 当 n 1 时 ,a1 S1 b r , 当 n 2 时 ,an Sn Sn 1 bn r (bn 1 r) bn bn 1 (b 1)bn 1, 又因为an 为等比数列 ,所以r 1,公比为b ,所以an （b 1）bn1 2)当 b=2 时，an (b 1)bn 1 2n 1,bn n1 4an n1 4 2n 1 n1 2n 1 则Tn 222 233 244n2n 11 2 3 4n n 1 23 24 252n 1 2n 2 1 2 1 1 1 1 相减,1得21 Tn 1222 213 214 21521n 1 1

12、23 (1 2n 1 ) n 1 3 1 n 1 2 1 12n 2 4 2n 1 132 1 n 1 3 n 3 所以 Tn2 n n 2 2n 2 12Tn n1 2n 2 n1 2 2n 1 2n 2 命题立意】 :本题主要考查了等比数列的定义 ,通项公式,以及已知 Sn求an的基本题型 ,并 运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前n 项和Tn. 5.设数列 an的前n项和为 Sn,已知a1 1,Sn1 4an 2 （I）设 bn an 1 2an ，证明数列 bn 是等比数列 （II）求数列 an 的通项公式。 解：（I）由 a11,及 Sn14an2 ，有

13、a1a24a12, a23a12 5,b1a22a13 Useful Documents Useful Documents 由Sn1 4an 2 ， 则当n 2时，有 Sn 4an1 2 又 bn an 1 2an， bn 2bn1 bn是首项 b1 3，公比为的等比数列 an 3 2n 4 得 an 1 4an 4an 1, an 1 2an 2（an 2an 1） （II）由（I）可得bn an1 2an 3 2n1， 2ann 11 数列 ann 是首项为 1，公差为 3 的等比数列 2n2 4 an1331 n 2 nn（n 1） n ， an （3n 1） 2 bn与 bn 1的关系

14、即可 2n2444n 评析：第（ I）问思路明确，只需利用已知条件寻找 第（II）问中由（ I）易得an 1 2an 3 2n 1 ，这个递推式明显是一个构造新数列的模型： an 1 pan qn（p,q为常数 ） ，主要的处理手段是两边除以 qn 1 6.设数列 an 是等差数列 ,a5 =6 当 a3=3 时,在数列 an 中找一项 am,使 a3,a5,am成等比数列，求 m的值； 当 a3=2 时,若自然数 n t （t=1,2,3, ）,满足 5n 1 n 2 nt，且使得 a3 , a5 , an1 , an2 ,ant 成等比数列 ,求数列 nt 的表达式 33 解:由于 a 5

15、=a 3+2d 所以 d= a m=a 3+（m3）d= （m1） 22 3 a3、a 5、a m成等比数列 36=3 （m1） m=9. 3 5 m 2 由 a 3=2,a 5 =6, d=2 a n =a 3 （ n 3） d=2n 4 又公比 q= a5 3 ant =2 3 t 1 a3t 2n t 4=2 3 t 1 nt=3 t1+2. 7已知 f x 是定义在 R 上的增函数，且记 g x f x f 1 x 。 （1）设 f x x ，若数列 an 满足 a1 3,an g an 1 ，试写出 an 的通项公式及前 2m的 和 S2m： （2）对于任意 x1、 x2 R，若 g

16、 x1 g x2 0 ，判断 x1 x2 1的值的符号。 解：（1）an g an1 f an1 f 1 an1 an1 1 an1 2an1 1，则an 1 2an 1 1， a1 1 2，即数列 an 1 是以 2为首项， 2 为公比的等比数列， an 2n 1，S2m 22 1 2m 22m 1 2m 2； 21 Useful Documents Useful Documents （2）若 x1 x2 1 0，则 x1 1 x2,x2 1 x1， f x 是定义在 R上的增函数 f x1 f 1 x2 , f x2 f 1 x1 ，则 f x1 f x2 f 1 x2 f 1 x1 f

17、x1f 1x1fx2f1x20，即g x1g x20，与gx1gx20矛盾， x1 x2 1 0 8.已知数列 an 的前n项和为 Sn ，若a1 2,n an1 Sn n n 1 ， （1）求数列 an 的通项公式： S （2）令Tn Snn ，当n为何正整数值时， Tn Tn 1 ；若对一切正整数 n ，总有Tn m， 2n 求 m 的取值范围。 解：（1）令 n 1，1 a2 a1 1 2，即 a2 a1 2 ， n an 1 Sn n n 1 由 n an 1 n 1an an 2n an 1 an 2 n 2 ， n 1 an Sn 1 n n 1 a2 a1 2，an1 an 2n

18、 N* ，即数列 an 是以2为首项、 2为公差的等差数列， an 2n ， （2） T Sn n n 1 T （2）Tn 2n2nTn 12n1 T1 S1 1,T2 T3 3，又n 2时，Tn Tn 1，各项中数值最大为 3 ，对一切正 22 3 整数 n，总有 Tn m，m 23 。 9.关于 x的方程 x2 xsin2 sin cot 0的两根为 , ，且 0 2 ， 1，00, 1 1 1，00, 1 0 1 n 1 n 2，即n 2n N* ， 若数列 11 1,1 1 sin 11 解： S100 的前100 100 项和为 0 ，求 的值。 1 1 1 ， 11 ， 1 1 1

19、 sin cotc1os ，2 sin1 sin 1 ， 2 02 ， 7 11 或。 或 66 10.已知数列 an 中，a1 1,且点Pan,an1 n N 在直线 x y 1 0上. 1)求数列 an 的通项公式； 1111 2)若函数 f(n)1111n N,且n2, n a1 n a2 n a3n an 求函数 f (n) 的最小值； 3)设bn 1 ,Sn表示数列 bn 的前n项和试问：是否存在关于 n的整式gn ，使得 an Useful Documents Useful Documents S1 S2 S3Sn 1 Sn 1 g n 对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立？若

20、存在，写出 g n 的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。 解：（1）由点 P（an,an 1） 在直线 x y 1 0上， 即 an 1 an 1 ， 且 a1 1 ，数列 an 是以 1 为首项， 1 为公差的等差数列 an 1 (n 1) 1 n(n 2) ， a1 1同样满足，所以 an n 1 1 1 (2) f (n) n 1 n 2 2n 1 1 1 1 1 f (n 1) n 2 n 3 n 4 2n 1 2n 2 1 1 1 1 1 f (n 1) f(n) 0 2n 1 2n 2 n 1 2n 2 2n 2 n 1 所以 f (n) 是单调递增，故 f (n) 的最小

21、值是 f(2) 12 11 ， Sn Sn 1(n 2) nn 11 1 3) bn，可得 Sn 1 n2 3 10 12 nSn (n 1)Sn 1 Sn 1 1， (n 1)Sn 1 (n 2)Sn 2 Sn 2 1 S2 S1 S1 1 相加得： nSnS1S1S2S3 Sn 1 n 1 S1S2S3Sn 1nSnn n(Sn 1) ，n 2 15 所以 g（n） n。 故存在关于 n 的整式 g（R）=n,使得对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立。 16 分 11.已知各项均不相等的正项数列 an, bn 的前 n 项和分别为 Sn,Tn. （1）若 an, bn 为等差数列，求证

22、： lim an lim Sn . n n n bn n Tn aS （2）将（1）中的数列 an, bn均换作等比数列，请给出使 lnim an lnim Sn 成立的条件. n bn n Tn 证明（1）设an, bn的公差分别为 d1,d2（d1,d2均不为 0），则 an bnSn T mm lix lix a1 (n 1)d1 d1 x nab11 n(nn 11)d)2d1 dd2 2d1 4分 lim x nb1 n(n 1)d2 d2 Useful Documents an Useful Documents 所以 lim an lim Sn . x bn x Tn 解( 3 )

23、设 an , bn 的公比分别为 q1 , q2 ( q1 , q2均为不等于 1的正数)，则 lim an lim 1 1n 1 1 lim n bn n b1q2n 1 b1 n n q2 Sn a1(1 q2) 1 q1 lim n 1 2 lim 1n n Tn b1a(1 q1) nS 1 q2n 所以使 lim an lim Sn 成立的条件0是(0 x bn x Tn 12.已知数列 an 的前n项和为 Sn ，且满足 n1 a1q1n 1a1 n1 8分 q1 ab1 (q1 b11q(2q),1 q2), q2 a1(1 q02()q(10 qq21). 1,0 q2 1),

24、14 分 b1(1 q1)1 2 0 q1 q1 q2 ,qq22, q2 1).1或 q1 q2 .16 分 an Sn 11 11 分 1 （ n为正整数） . 1）求数列 an 的通项公式； 2）记 S a1 a2an.试比较 S与（n 1）an 的大小关系，并证明你的结论 . 解：（1） an Sn 1， an 1Sn 1 1 以上两式相减得到 an an 1 (Sn Sn 1) 0 ，即 an an 1 an 03 分 所以 an an 1 1 1 1 1 ，数列 an 是公比为 1 等比数列，又 a1 S1 1， a1 1 2 n 2 1 1 1 1 所以 an 1(1)n 1 (1)n.6 分 2 12 (2)S21 1，(n 1)an n2n18 分 1 1 2 设 f(n) n2n12，则 f(n 1) n2n 12， f(n 1) f(n) 2n 12n n1 n 2n 1 0 f（1）=1， 所以，函数 f（n）在 n NR 上单调递减，所以 f（n）的最大值是 所以 S (n 1)an .12 分 13.已知数列an的前N 项和为Sn,a1 1,Sn1 2Sn 3n 1(n N*). 1）证明：数列 an 3 是等比数列； 2）对k N*,设f（n） S