大学物理第11章振动课件

1、1 大学物理第11章振动课件 机械振动：机械振动： 物体位置在某一值附近来回往复的变化物体位置在某一值附近来回往复的变化 广义振动：广义振动： 一个物理量在某一定值附近往复变化一个物理量在某一定值附近往复变化 该物理量的运动形式称振动该物理量的运动形式称振动 物理量：物理量： iQHEr 等等等等 2 大学物理第11章振动课件 共振共振 ( (简谐振动）简谐振动） 振动振动 受迫振动受迫振动 自由振动自由振动 阻尼自由振动阻尼自由振动 无阻尼自由振动无阻尼自由振动 无阻尼自由非谐振动无阻尼自由非谐振动 无阻尼自由谐振动无阻尼自由谐振动 振动的形式振动的形式: 3 大学物理第11章振动课件 重要

2、的振动形式是重要的振动形式是 简谐振动简谐振动( (S.H.V.) ) simple harmonic vibration 物理上：一般运动是多个简谐振动的合成物理上：一般运动是多个简谐振动的合成 数学上：数学上： 付氏级数付氏级数 付氏积分付氏积分 也可以说也可以说 S.H.V.是振动的基本模型是振动的基本模型 或说或说 振动的理论建立在振动的理论建立在S.H.V.的基础上的基础上 注意：以机械振动为例说明振动的一般性质注意：以机械振动为例说明振动的一般性质 4 大学物理第11章振动课件 实际上，任何一个稍微偏离平衡状态的稳定实际上，任何一个稍微偏离平衡状态的稳定 系统，都可看成简谐振子。对

3、于物理学中的许系统，都可看成简谐振子。对于物理学中的许 多问题，谐振子都可以作为一个近似的或相多问题，谐振子都可以作为一个近似的或相 当精确的模型。当精确的模型。 晶格点阵晶格点阵 5 大学物理第11章振动课件 第第11章章 振动振动 1 简谐振动的描述简谐振动的描述 2 简谐振动的能量简谐振动的能量 3简谐振动的合成简谐振动的合成 4 阻尼振动与阻尼受迫振动阻尼振动与阻尼受迫振动 6 大学物理第11章振动课件 一、一、简谐振动的简谐振动的方程方程 表征了系统的能量表征了系统的能量 位移位移 x k m 0 x x A 振幅振幅最大位移最大位移 由初始条件决定由初始条件决定 tAxcos 1.

4、运动学表达式运动学表达式 广义：振动的物理量广义：振动的物理量 弹簧谐振子弹簧谐振子 特征量：特征量： 7 大学物理第11章振动课件 位相位相 周相周相 系统的周期性系统的周期性 固有的性质固有的性质 称固有频率称固有频率 圆频率圆频率 t相位相位 初相位初相位 角频率角频率 tAxcos 取决于时间零点的选择取决于时间零点的选择 初位相初位相 频率频率 T 周期周期 8 大学物理第11章振动课件 简谐运动方程简谐运动方程 ) 2 cos()cos(t T AtAx 振幅振幅 max xA tx图图 A A x T 2 T t o 9 大学物理第11章振动课件 )cos(tAx 周期、频率周期

5、、频率 2 T 周期周期 )(cosTtA tx图图 A A x T 2 T t o 10 大学物理第11章振动课件 2 1 T 频率频率 T 2 2 圆频率圆频率 周期和频率仅与振动系统周期和频率仅与振动系统本身本身的的 物理性质有关物理性质有关 tx图图 A A x T 2 T t o )cos(tAx)(cosTtA 11 大学物理第11章振动课件 相位的意义相位的意义: 表征任意时刻（表征任意时刻（t）物体振）物体振 动状态（相貌）动状态（相貌）. 物体经一周期的振动，物体经一周期的振动， 相位改变相位改变 .2 t 相位相位 )cos(tAx 相位相位 (位相位相)tt)( )(0t

6、t时， 初相位初相位 12 大学物理第11章振动课件 2 2 0 2 0 v xA 0 0 tan x v 常数常数 和和 的确定的确定A 00 0vv xxt初始条件初始条件 )sin(tAv )cos(tAx 对给定振动对给定振动 系统，周期由系系统，周期由系 统本身性质决定，统本身性质决定， 振幅和初相由初振幅和初相由初 始条件决定始条件决定. . 13 大学物理第11章振动课件 注注B:B: t=0t=0时是开始计时的时刻，不一定是振动的开时是开始计时的时刻，不一定是振动的开 始时刻，原则上可任取。所以初始条件是相始时刻，原则上可任取。所以初始条件是相 对的。对同一谐振，对的。对同一谐

7、振， 不同不同不同不同, , 00,v x,A 决定决定1）根据）根据A 结合结合 的正负。的正负。 0 x 0 0 x 0 0 x 一象限 三象限 0 0 x 0 0 x 二象限 四象限 2) cos 0 Ax sin 0 AV 由联立求解 x是以平衡位置为坐标原点而言是以平衡位置为坐标原点而言 14 大学物理第11章振动课件 cos0A 2 0, 0, 0 0 vxt 已知已知 求求讨论讨论 x v o ) 2 cos(tAx tx图图 A A x T 2 T t o 0sin 0 Av 0sin取取 2 15 大学物理第11章振动课件 2. 动力学方程动力学方程 以弹簧谐振子为例以弹簧谐

8、振子为例 km x 0 x kx 设弹簧原长为坐标原点设弹簧原长为坐标原点 2 2 t x mkx d d 0 2 2 x m k t x d d 0 2 2 2 x t x d d 由牛顿第二定律由牛顿第二定律 令令 m k 2 简谐振动简谐振动 整理得整理得 16 大学物理第11章振动课件 F X O x X O X-x O F max v max v X O X O a) b) c) d) e) 平衡位置平衡位置F=0 0, vkxF 弹性 0, 0, 0 max vaF 0, vkxF 弹性 0, 0, 0 max vaF 17 大学物理第11章振动课件 l T F P 转转 动动 正

9、正 向向 mglmglMsin sin5， 时时 动力学分析：动力学分析： l g t 2 2 d d O A m 2 2 d d t Jmgl 2 mlJ 单摆单摆 18 大学物理第11章振动课件 )cos( m t l g 2 令令 g l T2 2 2 2 d d t l g t 2 2 d d l T F P 转转 动动 正正 向向 O A m 2 mlJ 19 大学物理第11章振动课件 例例 电磁震荡电路电磁震荡电路 CL t i L C q d d q 0 1 2 2 q LCt q d d 振动的物理量是振动的物理量是 电量电量 t LC Qq 1 cos 0 2 1 cos 0

10、 t LC ii 电流也是谐振电流也是谐振 物理量物理量 0 2 2 2 x t x d d 对比对比 t q i d d 20 大学物理第11章振动课件 例例 复摆（物理摆）的振动复摆（物理摆）的振动 mg 2 2 sin t Jmgl d d 0sin 2 2 J mgl t d d 对比谐振动方程知：对比谐振动方程知： 但若做小幅度摆动但若做小幅度摆动 即当即当 sin c o l 由转动定律由转动定律 0 2 2 J mgl t d d 得得 动力学方程动力学方程 0 2 2 2 x t x d d 一般情况不是简谐振动一般情况不是简谐振动 时时 满足的方程：满足的方程： 21 大学物

11、理第11章振动课件 J mgl 2 J mgl 2 1 mgl J T2 振动的物理量振动的物理量 t J mgl m cos 固有圆频率固有圆频率 角位移角位移 振动表达式振动表达式 0 2 2 2 x t x d d 0 2 2 J mgl t d d 对比对比 22 大学物理第11章振动课件 1）谐振动表达式）谐振动表达式 0 2 2 2 x t x d d tAxcos 从对象的运动规律出发从对象的运动规律出发 （电学规律电学规律 力学规律等）力学规律等） S.H.V.的标准形式的标准形式 T 小结小结 2）动力学方程）动力学方程 S. H. V. 的判据的判据 23 大学物理第11章

12、振动课件 二、二、 简谐振动的描述简谐振动的描述 tAxcos tA t x sin d d 2 costA x tA t a 2 2cos d d cos 2 tAa 1.解析描述解析描述 24 大学物理第11章振动课件 均是作谐振动的物理量均是作谐振动的物理量 频率相同频率相同 振幅的关系振幅的关系A m 2 Aam 相位差相位差超前超前 落后落后 ax, tAxcos 2 costA cos 2 tAa 25 大学物理第11章振动课件 2.曲线描述曲线描述 T o x t A A a A 2 tAxcos 2 costA cos 2 tAa 26 大学物理第11章振动课件 t 3.旋转矢

13、量描述旋转矢量描述 用匀速圆周运动用匀速圆周运动 几何地描述几何地描述 S H V 规定规定 x o A AA tAxcos x 端点在端点在x轴上的投影式轴上的投影式 逆时针转逆时针转以角速度以角速度 )cos(tAx t 27 大学物理第11章振动课件 tAxcos 1） 直观地表达振动状态直观地表达振动状态优点优点 t x 0 A x t 当振动系统确定了振幅以后当振动系统确定了振幅以后 表述振动的关键就是相位表述振动的关键就是相位 即即 表达式中的余弦函数的综量表达式中的余弦函数的综量)(t 而旋转矢量图而旋转矢量图 可直观地显示该综量可直观地显示该综量 分析解析式分析解析式可知可知

14、用图代替了文字的叙述用图代替了文字的叙述 28 大学物理第11章振动课件 x 如如 文字叙述说文字叙述说 t 时刻弹簧振子质点时刻弹簧振子质点 在正的端点在正的端点 Ax 0t 旋矢与轴夹角为零旋矢与轴夹角为零 12 3 t 质点经二分之一振幅处质点经二分之一振幅处 向负方向运动向负方向运动 x oA 意味意味 A 意味意味 2 A x 0 29 大学物理第11章振动课件 A 质点过平衡位置向负方向运动质点过平衡位置向负方向运动 3 2 t 4 3 t 5 Axt 同样同样 432 0 向负方向运动向负方向运动 x 12 x oA A 0 x 0 2 A x 0 0 x 0 2 或或 2 A

15、x 0 x o x A A A 678 678 0 向正向运动向正向运动 31 大学物理第11章振动课件 cos 2 cos cos 2 tAa tA tAx x a A A A 2 由图看出：速度超前位移由图看出：速度超前位移 加速度超前速度加速度超前速度 2 称两振动同相称两振动同相 2） 方便地方便地比较振动步调比较振动步调 位移与加速度位移与加速度称两振动反相称两振动反相 0若若 32 大学物理第11章振动课件 3）方便计算）方便计算 用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算 例：质量为例：质量为m的质点和劲度系数为的质点和劲度系数为k的弹簧的弹簧 组成的弹

16、簧谐振子组成的弹簧谐振子 t = 0时时 质点过平衡位置且向正方向运动质点过平衡位置且向正方向运动 求：物体运动到负的二分之一振幅处时求：物体运动到负的二分之一振幅处时 所用的最短时间所用的最短时间 33 大学物理第11章振动课件 0t t t 6 7 m k 6 7 x o 解：设解：设 t 时刻到达末态时刻到达末态 由已知画出由已知画出t = 0 时刻的旋矢图时刻的旋矢图 再画出末态的旋矢图再画出末态的旋矢图 由题意选蓝实线所示的位矢由题意选蓝实线所示的位矢 设始末态位矢夹角为设始末态位矢夹角为 因为因为 得得 繁复的三角函数的运算用匀速繁复的三角函数的运算用匀速 圆周运动的一个运动关系求

17、得圆周运动的一个运动关系求得 34 大学物理第11章振动课件 A x 2A t o b a a t 3 TTt 6 1 2 3 2 A b t v A x AoA 35 大学物理第11章振动课件 例已知例已知 x xt t 曲线曲线, , 写出振动方程写出振动方程 cmA2 解：解： 3 2 ? 3 4 t 3 4 1 3 4 2 /3 4 /3 1 cmtx) 3 2 3 4 cos(2 同一振动对不同时刻的相差同一振动对不同时刻的相差 t T tt tttt 2 )( )()()()( 12 1212 36 大学物理第11章振动课件 ? 例例: : 已知一谐振已知一谐振A=0.1mA=0.

18、1m，T=1.2sT=1.2s，若，若t=0t=0时时 质点位于质点位于x0=-0.05mx0=-0.05m处且正朝处且正朝(-x)(-x)方向运动，方向运动， 求求 （1 1） (2)(2) 达到平衡位置所需最短时间达到平衡位置所需最短时间 解（解（1 1）画出旋转矢量图）画出旋转矢量图 3 2 , 0 05. 0 0 0 v x 由由 6 5 3 2 2 3 )(5 . 0 6 5 2 2 . 1 /2 s T t (2)(2) x 3 2 A A0 37 大学物理第11章振动课件 一质点沿一质点沿 x x 轴振动，振动方程轴振动，振动方程 X=4X=4 1010-2 -2 cos cos

19、（2 2 t + t + /3 /3）cmcm，从，从 t=0 t=0 时刻起，到质点位置在时刻起，到质点位置在X= - 2cmX= - 2cm处且向处且向 x x 正方向运动的最短时间间隔为正方向运动的最短时间间隔为 1 1 2 T 3 0 t 根据题意根据题意 1/ 2（s） 0 t /3 解：解： t 38 大学物理第11章振动课件 5一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个 特征量为特征量为 10m rad/s 例例一物体作简谐运动一物体作简谐运动, 其速度最大值其速度最大值vm=310-2 ms-

20、1, 其振幅其振幅A210- 2m若 若t0时，物体位于平衡位置且向时，物体位于平衡位置且向x轴的负方向运动求：轴的负方向运动求： (1) 振动周期振动周期T (2) 加速度的最大值加速度的最大值 (3) 振动方程的数值式振动方程的数值式 6 x(m) 14710 10 5 O A 3 39 大学物理第11章振动课件 解：解：(1) ，周期周期 (2) (3) 当当x=0时，从振幅矢量图可知，时，从振幅矢量图可知， 初相初相 , 振动函数为振动函数为 m 2 AA T v m 2 4.2s A T v 2 222 m m 4.5 10m/saA A v xO 0t 2 2 m 1.5 rad/

21、s A v 2 2 10cos(1.5) m 2 xt 40 大学物理第11章振动课件 例例一轻弹簧在一轻弹簧在60N的拉力下伸长的拉力下伸长30cm现把质量为现把质量为4Kg的物体悬挂在该弹簧的的物体悬挂在该弹簧的 下端并使之静止，再把物体向下拉下端并使之静止，再把物体向下拉10cm，然后由静止释放并开始计时求：，然后由静止释放并开始计时求： (1) 物体的振动方程物体的振动方程 (2) 物体在平衡位置上方物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力时弹簧对物体的拉力 (3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5cm处所需要的最短处所需要的

22、最短 时间时间 解：弹簧劲度系数解：弹簧劲度系数 静止时弹簧伸长量为静止时弹簧伸长量为 (1)设向下为正方向，则设向下为正方向，则 （若设向上为正方向，则（若设向上为正方向，则 ）；）； 振动函数为振动函数为 2 60 2.0 10 N/m 0.3 F k x 0 2 4 9.8 0.196 m 2.0 10 mg x k 0 0.1mA 7.07 rad/s k m 0.1cos(7.07 ) mxt 41 大学物理第11章振动课件 (2)物体在平衡位置上方物体在平衡位置上方5cm（即（即0.05m），此时弹簧的净伸长为），此时弹簧的净伸长为 l=x0-0.05=0.196-0.05=0.1

23、46m 弹簧对物体的拉力弹簧对物体的拉力 F=kl=2000.146=29.2N (3) 5cm是振幅之半，物体从平衡位置到振幅之半所需最短时间是是振幅之半，物体从平衡位置到振幅之半所需最短时间是 例例如图，劲度系数为如图，劲度系数为k的弹簧一端固定在墙上，另一端连接一质量为的弹簧一端固定在墙上，另一端连接一质量为M的的 容器，容器可在光滑水平面上运动当弹簧未变形时容器位于容器，容器可在光滑水平面上运动当弹簧未变形时容器位于O处，处， 今使容器自今使容器自O点左侧点左侧l0处从静止开始运动，每经过处从静止开始运动，每经过O点一次时，从上方点一次时，从上方 滴管中滴入一质量为滴管中滴入一质量为m

24、的油滴，求：的油滴，求： (1) 容器中滴入容器中滴入n滴以后，容器运动到距滴以后，容器运动到距O点的最远距离；点的最远距离； (2) 容器滴入第容器滴入第(n+1)滴与第滴与第n滴的时间间隔滴的时间间隔 M x l0 O 42 大学物理第11章振动课件 解：解：(1) 容器中每滴入一油滴的前后，水平方向动量值不变，而且在容容器中每滴入一油滴的前后，水平方向动量值不变，而且在容 器回到器回到O点滴入下一油滴前，点滴入下一油滴前， 水平方向动量的大小与刚滴入上一油滴水平方向动量的大小与刚滴入上一油滴 后的瞬间后的相同。依此，设容器第一次过后的瞬间后的相同。依此，设容器第一次过O点油滴滴入前的速度

25、为点油滴滴入前的速度为v， 刚滴入第个油滴后的速度刚滴入第个油滴后的速度 为为v,则有则有 系统机械能守恒系统机械能守恒 由、解出由、解出 (2) 时间间隔时间间隔( tn+1-tn )应等于第应等于第n滴油滴入容器后振动系统周期滴油滴入容器后振动系统周期Tn的一的一 半半 vv)(nmMM 22 0 2 1 2 1 vMkl 22 )( 2 1 2 1 v nmMkx 0 )/(lnmMMx knmMTttt nnnn / )( 2 1 1 43 大学物理第11章振动课件 2 简谐振动的能量简谐振动的能量 如如 弹簧谐振子弹簧谐振子 km x 0 x 系统机械能守恒系统机械能守恒 以弹簧原长

26、为势能零点以弹簧原长为势能零点 ckxm 22 2 1 2 1 44 大学物理第11章振动课件 （1） 动能动能 ( (以弹簧振子为例以弹簧振子为例) ) O x X m k 2 m )(sin 2 1 )sin( 2 1 2 1 222 2 2 k tAm tAmmEv 45 大学物理第11章振动课件 （2） 势能势能 线性回线性回 复力是保守复力是保守 力，作简谐力，作简谐 运动的系统运动的系统 机械能守恒机械能守恒. .O x X m )(cos 2 1 2 1 222 p tkAkxE （3） 机械能机械能 222 pk 2 1 2 1 kAAmEEE 46 大学物理第11章振动课件

27、简简 谐谐 运运 动动 能能 量量 图图 tkAE 22 p cos 2 1 tAmE 222 k sin 2 1 4 T 2 T 4 3T 能量能量 ot T tx tv v, x t o T tAxcos tAsinv 2 2 1 kAE 0 47 大学物理第11章振动课件 简谐运动势能曲线简谐运动势能曲线 简谐运动能量守简谐运动能量守 恒，振幅不变恒，振幅不变 k E p E x 2 2 1 kAE AA p E xO E BC 48 大学物理第11章振动课件 能量守恒能量守恒简谐运动方程简谐运动方程 推导推导 常量 22 2 1 2 1 kxmEv 0) 2 1 2 1 ( d d 2

28、2 kxm t v 0 d d d d t x kx t m v v 0 d d 2 2 x m k t x 49 大学物理第11章振动课件 例例 劲度系数为劲度系数为k的轻弹簧挂在质量为的轻弹簧挂在质量为m 半径为半径为R的匀质圆柱体的对称轴上的匀质圆柱体的对称轴上 使之作无滑动的滚动使之作无滑动的滚动 证明：圆柱体的质心作谐振动证明：圆柱体的质心作谐振动 并求出谐振动的角频率并求出谐振动的角频率 k 水平面水平面 c 有时由谐振动能量求谐振动的特征量会更方便有时由谐振动能量求谐振动的特征量会更方便 50 大学物理第11章振动课件 const. 2 1 2 1 2 1 222 ccc Jmk

29、x 弹簧原长处为坐标原点弹簧原长处为坐标原点 设原点处为势能零点设原点处为势能零点 质心在质心在xc时系统的机械能为时系统的机械能为 k 水平面水平面 c 解：分析振动系统机械能守恒解：分析振动系统机械能守恒 建坐标如图建坐标如图 x o （注意上式中的（注意上式中的 是刚体转动的角速度）是刚体转动的角速度） 51 大学物理第11章振动课件 .const 2 1 2 1 2 1 222 ccc Jmkx 2 2 1 mRJcR c cmkx cc 22 4 3 2 1 两边对两边对t求导数求导数 得得 0 3 2 2 2 c c x m k t x d d 将将 代入上式代入上式 得得 52

30、大学物理第11章振动课件 与动力学方程比较知与动力学方程比较知 物理量物理量xc的的 运动形式是谐振动运动形式是谐振动 m k 3 2 k m T 2 3 2 方便方便 0 3 2 2 2 c c x m k t x d d 圆频率圆频率 周期周期 53 大学物理第11章振动课件 o5 10 例例 解：圆频率解：圆频率srad m k /2 根据功能关系，弹簧振子的振幅根据功能关系，弹簧振子的振幅A满足：满足： 2 2 1 kAFx m k Fx A204.0 2 设向右为正方向，则设向右为正方向，则 = )2cos(204. 0 tx 54 大学物理第11章振动课件 6 2 、 = 3 解解

31、：由由 振振动动能能量量 由由振振幅幅矢矢量量图图可可知知 振振动动方方程程 m Mm m 22 m m m F F= Kxk = 2 N/m x 11 E =kA =kx= 22 v V = A 0.16J x = 0.4cos 2t + = 2rad/m A A 3 = 0.4 m m 1 1 55 大学物理第11章振动课件 3 简谐振动的合成简谐振动的合成 一、两个振动方向相同一、两个振动方向相同 S.H.V.的合成的合成 二、二、N个振动方向相同个振动方向相同 S.H.V.的合成的合成 三、三、 拍拍 四、四、 两个垂直方向谐振动的合成两个垂直方向谐振动的合成 五、谐振分析五、谐振分析

32、 56 大学物理第11章振动课件 当一个物体同时参与几个谐振动时当一个物体同时参与几个谐振动时 就需考虑振动的合成问题就需考虑振动的合成问题 本节只讨论满足线性叠加的情况本节只讨论满足线性叠加的情况 本节所讨论的同频率的谐振动合成结果本节所讨论的同频率的谐振动合成结果 是波的干涉和偏振光干涉的重要基础是波的干涉和偏振光干涉的重要基础 本节所讨论的不同频率的谐振动合成结果本节所讨论的不同频率的谐振动合成结果 可以给出重要的实际应用可以给出重要的实际应用 57 大学物理第11章振动课件 一一 两个同方向同频率简谐运动的合成两个同方向同频率简谐运动的合成 设一质点同时参与设一质点同时参与 两独立的同

33、方向、同频两独立的同方向、同频 率的简谐振动：率的简谐振动： 1 1 A 1 xx O 2 x 2 A 2 )cos( 111 tAx )cos( 222 tAx 两振动的位相差两振动的位相差 =常数常数 12 干涉的理论基础）干涉的理论基础） 58 大学物理第11章振动课件 两个同方向同频率简谐运动合成两个同方向同频率简谐运动合成 后仍为同频率的简谐运动后仍为同频率的简谐运动 )cos(2 1221 2 2 2 1 AAAAA )cos(tAx 1 1 A 1 xx O A x 21 xxx 2 x 2 A 2 2211 2211 coscos sinsin tan AA AA 59 大学物

34、理第11章振动课件 cos2 21 2 2 2 1 AAAAA 若若 0 21 AAA 21 AAA反相反相 合振动减弱合振动减弱 同相同相 合振动加强合振动加强 特殊结果：特殊结果： 若若 21 AA 若若 两振动同相两振动同相 两振动反相两振动反相 1 2AA 0A 可能的最强振动可能的最强振动 “振动加振动振动加振动”不振不振 动动 60 大学物理第11章振动课件 两个同方向简谐振动的振动方程分别为：两个同方向简谐振动的振动方程分别为： 求合振动方程求合振动方程 2 1 3 5 10cos(10)(SI) 4 xt 2 2 1 6 10cos(10)(SI) 4 xt 22 1212 2

35、22 0 2 2cos 31 562 5 6cos() 10 44 5sin(3/4)6sin(/4) 84.81.48 5cos(3/4)6cos(/4) 7.81 10cos(101.48)() AAAA A m arctgrad xtSI 解解：依依合合振振动动的的振振幅幅及及初初相相公公式式可可得得 则则所所求求的的合合振振动动方方程程为为 61 大学物理第11章振动课件 二、二、 振动方向相同振动方向相同 振动频率相同振动频率相同 振幅相同振幅相同 相邻相位差相同相邻相位差相同 的的N个个SHV的合成的合成 taxcos 1 )cos( 2 tax )2cos( 3 tax ) 1(

36、cosNtaxN 62 大学物理第11章振动课件 x a A R N 2 sin 2 a R 2 sin2 RA 2 sin 2 sin N a N xxxxx 321 线性相加线性相加 用旋矢法求解用旋矢法求解 由图得由图得 63 大学物理第11章振动课件 x a R 2 sin 2 sin N aA 一般情况一般情况 特例特例 1）2k , 2, 1, 0ka NaA a a 主极大主极大 A 2）2kN Nk , 0的倍数的整数的倍数的整数 0A 极小极小 64 大学物理第11章振动课件 3）) 12(kN , 2, 1, 0k RA2次极大次极大 （多光束干涉的理论基础）（多光束干涉的

37、理论基础）特例特例 1）2k , 2, 1, 0ka NaA a a 主极大主极大 A 2）2kN Nk , 0的倍数的整数的倍数的整数 0A 极小极小 65 大学物理第11章振动课件 三、三、 振动方向相同振动方向相同 频率略有差别的频率略有差别的 振幅相等的振幅相等的 两个两个SHV的合成的合成 拍拍 分振动：分振动： tAx tAx 202 101 cos cos 21 线性相加：线性相加：ttAxxx 2 cos 2 cos2 2121 021 结论：结论： 合成已不再是谐振动合成已不再是谐振动 但考虑到但考虑到 1 2 可以用可以用 谐振动表达式等效谐振动表达式等效 加深认识加深认识

38、 66 大学物理第11章振动课件 ttAxxx 2 cos 2 cos2 2121 021 分析：分析： 21 21 2 21 则则 tA 2 cos2 21 0 较较t 2 cos 21 随时间变化缓慢随时间变化缓慢 将合成式写成谐振动形式将合成式写成谐振动形式ttAxcos)( tAtA 2 cos2)( 21 0 67 大学物理第11章振动课件 9 t x1 2 t x2 1 = 1 - 2 t x 合振动可看做是振幅缓变的谐振动合振动可看做是振幅缓变的谐振动 合成振动如图示合成振动如图示 表达式为表达式为ttAx 2 cos 2 cos2 2121 0 68 大学物理第11章振动课件

39、| 21 vvv 拍 拍拍 合振动的周期性的强弱变化叫做拍合振动的周期性的强弱变化叫做拍 拍频拍频 单位时间内合振动加强或减弱的次数叫拍频单位时间内合振动加强或减弱的次数叫拍频 测未知频率的一种方法测未知频率的一种方法 tAtA 2 cos2)( 21 0 由式由式 得得 22 2 2 1 1 69 大学物理第11章振动课件 四、两个垂直方向谐振动的合成四、两个垂直方向谐振动的合成 1. 同频率的谐振动合成同频率的谐振动合成 21 )cos( )cos( 22 11 tAy tAx 线性相加：线性相加： )cos()cos( 2211 tAtAyx 即即 合成的一般结果是椭圆合成的一般结果是椭

40、圆 )(sin)cos( 2 12 2 12 21 2 2 2 2 1 2 AA xy A y A x 70 大学物理第11章振动课件 12 不同不同 椭圆形状、旋向也不同椭圆形状、旋向也不同 = = 3 /2 = 5 /4 = 7 /4 = /2 = /4 P Q = 0 y x = 3 /4 （-3 /4） （- /2） （- /4） 71 大学物理第11章振动课件 2.频率比是简单的正整数频率比是简单的正整数 nm n m , 2 1 ， 合成轨迹为稳定的闭合曲线合成轨迹为稳定的闭合曲线李萨如图李萨如图 y x A1 A2 0 -A2 - A1 达达到到最最大大的的次次数数 达达到到最最

41、大大的的次次数数 y x y x y x 例如左图：例如左图： 2 3 y x 应用：测定未知频率应用：测定未知频率 72 大学物理第11章振动课件 五、谐振分析五、谐振分析 利用付里叶分解利用付里叶分解 可将任意振动分解成若干可将任意振动分解成若干 SHV的叠加的叠加(合成的逆运算）合成的逆运算） 对周期性振动：对周期性振动： ) cos( 2 )( 1 0 kk k tkA a tx T 2 = T 周期周期 k = 1 基频（基频（ ） k = 2 二次谐频（二次谐频（2 ） k = 3 三次谐频（三次谐频（3 ） 决定音调决定音调 决定音色决定音色 高次高次 谐频谐频 73 大学物理第

42、11章振动课件 x1 t 0 x3 t0 x5 t 0 0t a0 T x0 +x1+x3+x5 t0 T x 2n = 0 , n = 1 , 2 , 3 , 方波：方波： t a0 / 2 0 x0 思考：有时思考：有时 赞誉一歌唱赞誉一歌唱 家：声音洪家：声音洪 亮亮 音域宽广音域宽广 音色甜美音色甜美 这这 各指什么物各指什么物 理因素理因素? 74 大学物理第11章振动课件 4 阻尼振动与阻尼受迫振动阻尼振动与阻尼受迫振动 一、一、 阻尼振动阻尼振动 二、受迫振动二、受迫振动 三、共振三、共振 75 大学物理第11章振动课件 一、一、 阻尼振动阻尼振动 1.阻尼振动阻尼振动 系统在振动过程中系统在振动过程中 受到粘性阻力作用后受到粘性阻力作用后 能量将随时间逐渐衰减能量将随时间逐渐衰减 系统受的粘性阻力与速率成正比系统受的粘性阻力与速率成正比 比例系数比例系数 叫阻力系数叫阻力系数 关系式为关系