1.1回归分析的基本思想及其初步应用习题课

1、1.1回归分析的基本思想及其初步 应用习题课 我们的梦向往的地方 用自己的聪明和勤奋， 打造一个最优秀的自己 1.1回归分析的基本思想及其初步 应用习题课 北京师范大学是教育部直属重点大学，北京师范大学是教育部直属重点大学， 是一所以教师教育、教育科学和文理基础是一所以教师教育、教育科学和文理基础 学科为主要特色的著名学府。学校的前身学科为主要特色的著名学府。学校的前身 是是1902年创立的京师大学堂师范馆，年创立的京师大学堂师范馆，1908 年改称京师优级师范学堂，独立设校。年改称京师优级师范学堂，独立设校。 1912年改名为北京高等师范学校。年改名为北京高等师范学校。1923年年 更名为北

2、京师范大学，成为中国历史上第更名为北京师范大学，成为中国历史上第 一所师范大学。一所师范大学。1931年、年、1952年北平女子年北平女子 师范大学、辅仁大学先后并入北京师范大师范大学、辅仁大学先后并入北京师范大 学。学。 1.1回归分析的基本思想及其初步 应用习题课 1.1回归分析的基本思想及其初步 应用习题课 复习回顾：复习回顾： 2. b n nn n i ii ii i i i i i= =1 1i i= =1 1 n nn n 2 2 2 22 2 i ii i i i= =1 1i i= =1 1 a a = =y y- -b bx x ( (x x - -x x) )( (y y

3、 - -y y) )x x y y - -n nx xy y = = ( (x x - -x x) )x x - -n nx x 1.回归直线的方程回归直线的方程: axby 1.1回归分析的基本思想及其初步 应用习题课 我们又引入相关指数我们又引入相关指数R2来刻画回归的效果：来刻画回归的效果： n i i n i i yy yy R 1 2 1 2 2 )( )( 1 残差平方和残差平方和 总体偏差平方和总体偏差平方和 当当R2越接近于越接近于1,说明解释变量和预报变量说明解释变量和预报变量 之间的相关性越强之间的相关性越强,如果同一个问题如果同一个问题,采用采用 不同的回归方法分析不同的

4、回归方法分析,我们可以通过我们可以通过选择选择 R2大的来作为回归模型大的来作为回归模型 1.1回归分析的基本思想及其初步 应用习题课 相关系数相关系数 相关系数的性质相关系数的性质: : (1)|r|1 (1)|r|1 (2)|r|(2)|r|越接近于越接近于1 1，相关程度越强；，相关程度越强；|r|r|越接近于越接近于0 0， 相关程度越弱相关程度越弱 n n i ii i i i= =1 1 n nn n 2 22 2 i ii i i i= =1 1i i= =1 1 ( (x x - - x x) )( (y y - - y y) ) r r = = ( (x x - - x x)

5、 )( (y y - - y y) ) 如何描述两个变量之间线性相关关系的强弱？如何描述两个变量之间线性相关关系的强弱？ 0.751, 1, 0.75, 0 25,0.25, r r r 当， 表明两个变量正线性相关很强； 当表明两个变量负线性相关很强； 当.表明两个变量线性相关性较弱。 问题：问题：达到怎样程度，达到怎样程度，x、y线性相关呢？线性相关呢？ 它们的相关程度怎样呢？它们的相关程度怎样呢？ 1.1回归分析的基本思想及其初步 应用习题课 基本步骤基本步骤 抽取样本抽取样本, ,采集数据采集数据 作出散点图作出散点图 确定类型确定类型, ,求回归方程求回归方程 残差分析残差分析 相关

6、指数相关指数 判定拟合程度判定拟合程度 1.1回归分析的基本思想及其初步 应用习题课 案例案例2 一只红铃虫的产卵数一只红铃虫的产卵数y和温度和温度x有关。现有关。现 收集了收集了7组观测数据列于表中：组观测数据列于表中： （1 1）试建立产卵数）试建立产卵数y y与温度与温度x x之间的回归方程；并之间的回归方程；并 预测温度为预测温度为2828o oC C时产卵数目。时产卵数目。 （2 2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了 产卵数的变化？产卵数的变化？ 温度温度xoC21232527293235 产卵数产卵数y/个个71121246611532

7、5 非线性回归问题非线性回归问题 1.1回归分析的基本思想及其初步 应用习题课 假设线性回归方程为假设线性回归方程为 ：=bx+a 选选 模模 型型 由计算器得：线性回归方程为由计算器得：线性回归方程为y=y=19.8719.87x x-463.73-463.73 相关指数相关指数R R2 2= =r r2 20.8640.8642 2=0.7464=0.7464 估计参数估计参数 解：选取气温为解释变量解：选取气温为解释变量x x，产卵数，产卵数 为预报变量为预报变量y y。 选变量选变量 所以，二次函数模型中温度解释了所以，二次函数模型中温度解释了74.64%的产卵数变化。的产卵数变化。

8、探索新知探索新知 画散点图画散点图 0 50 100 150 200 250 300 350 036912151821242730333639 方案1 分析和预测分析和预测 当当x=28时，时，y =19.8728-463.73 93 一元线性模型一元线性模型 1.1回归分析的基本思想及其初步 应用习题课 奇怪？奇怪？ 9366 ? 模型不好？模型不好？ 1.1回归分析的基本思想及其初步 应用习题课 y=bx2+a 变换变换 y=bt+a 非线性关系非线性关系 线性关系线性关系 方案2 问题问题 选用选用y=bx2+a ，还是，还是y=bx2+cx+a ？ 问题问题3 产卵数产卵数 气温气温

9、问题问题2 如何求如何求a、b ？ 合作探究合作探究 t=x2 二次函数模型二次函数模型 1.1回归分析的基本思想及其初步 应用习题课 方案2解答 平方变换平方变换：令令t=xt=x2 2，产卵数，产卵数y y和温度和温度x x之间二次函数模型之间二次函数模型y=bxy=bx2 2+a+a 就转化为产卵数就转化为产卵数y y和温度的平方和温度的平方t t之间线性回归模型之间线性回归模型y=bt+ay=bt+a 温度温度21232527293235 温度的平方温度的平方t44152962572984110241225 产卵数产卵数y/个个711212466115325 作散点图，并由计算器得：作

10、散点图，并由计算器得：y y和和t t之间的线性回归方程为之间的线性回归方程为 y=y=0.3670.367t t-202.543-202.543，相关指数，相关指数R R2 2=0.802=0.802 将将t=xt=x2 2代入线性回归方程得：代入线性回归方程得： y=y=0.3670.367x x2 2 -202.543 -202.543 当当x x=28=28时时，y y=0.367=0.36728282 2- - 202.5485202.5485，且，且R R2 2=0.802=0.802， 所以，二次函数模型中温度解所以，二次函数模型中温度解 释了释了80.2%80.2%的产卵数变化

11、。的产卵数变化。 t 1.1回归分析的基本思想及其初步 应用习题课 问题问题 变换变换 y=bx+a 非线性关系非线性关系 线性关系线性关系 2 1 c x yce 问题问题 如何选取指数函数的底如何选取指数函数的底? 产卵数产卵数 气温气温 指数函数模型指数函数模型 方案3 合作探究合作探究 对数对数 1.1回归分析的基本思想及其初步 应用习题课 方案3解答 温度温度xoC21232527293235 z=lny 1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784 产卵数产卵数y/个个711212466115325 x z 当当x=28x=28o oC C 时，时，y 4

12、4 y 44 ，指数回归，指数回归 模型中温度解释了模型中温度解释了98.5%98.5%的产卵数的的产卵数的 变化变化 由计算器得：由计算器得：z z关于关于x x的线性回归方程的线性回归方程 为为 0.272x-3.849 .ye 22 111221 lnln()lnlnlnlnln c xc x ycececc xec xc 对数变换：在对数变换：在 中两边取常用对数得中两边取常用对数得 2 1 c x yce 令令 ，则，则 就转换为就转换为z=bx+a.z=bx+a. 12 ln,ln,zy ac bc 2 1 c x yce z=0.272x-3.849 , 相关指数相关指数R R2

13、 2=0.98=0.98 1.1回归分析的基本思想及其初步 应用习题课 最好的模型是哪个最好的模型是哪个? 产卵数产卵数 气温气温 产卵数产卵数 气温气温 线性模型线性模型 二次函数模型二次函数模型 指数函数模型指数函数模型 1.1回归分析的基本思想及其初步 应用习题课 比一比比一比 函数模型函数模型相关指数相关指数R2 线性回归模型线性回归模型0.7464 二次函数模型二次函数模型0.80 指数函数模型指数函数模型0.98 最好的模型是哪个最好的模型是哪个? 1.1回归分析的基本思想及其初步 应用习题课 回归分析（二）回归分析（二） (1)0.2723.849(2)2 y,y0.367202

14、.543. x ex 则回归方程的残差计算公式分别为：则回归方程的残差计算公式分别为： 由计算可得：由计算可得： (1)(1)0.2723.849 (2)(2)2 ,1,2,.,7; 0.367202.543,1,2,.,7. x iiii iiii eyyyei eyyyxi x21232527293235 y711212466115325 0.557-0.1011.875-8.9509.230- 13.381 34.675 47.69619.400-5.832- 41.000 - 40.104 - 58.265 77.968 (1) e (2) e (1)(2) 1550.538,1544

15、8.431.QQ 因此模型（因此模型（1）的拟合效果远远优于模型（）的拟合效果远远优于模型（2）。）。 1.1回归分析的基本思想及其初步 应用习题课 练习：练习：为了研究某种细菌随时间为了研究某种细菌随时间x x变化，繁殖的个数，变化，繁殖的个数， 收集数据如下：收集数据如下： 天 数天 数 x /x / 天天 1 1 2 2 3 34 4 5 5 6 6 繁殖个数繁殖个数 y/y/个个 6 6 1212 2525 4949 9595190190 （1 1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些 数据的散点图；数据的散点图； （2） 描述

16、解释变量与预报变量描述解释变量与预报变量 之间的关系；之间的关系； （3 3） 计算残差、相关指数计算残差、相关指数R R2 2. . 天数天数 繁殖个数繁殖个数 解：解：（1）散点图如右所示散点图如右所示 1.1回归分析的基本思想及其初步 应用习题课 （2 2）由散点图看出样本点分布在一条指数函数）由散点图看出样本点分布在一条指数函数y= y= 的周的周 围，于是令围，于是令Z=lny,Z=lny,则则 2 C x 1e C x x 1 1 2 23 34 45 56 6 Z Z 1.791.792.482.483.223.223.893.894.554.555.255.25 由计数器算得由

17、计数器算得 则有则有 Z=0.69X 1.112 0.69x 1.112 y=e y 6.066.06 12.0912.0924.0924.0948.0448.0495.7795.77190.9190.9 y y6 612122525 49499595 190190 n 22 i i=11 e()3.1643, n ii i yy n 222 i 1i=1 ()yny25553.3. n i i yy （3） 即（解释变量）天数即（解释变量）天数解释了解释了99.99%（预报变量）繁殖细菌得预报变量）繁殖细菌得 个数个数 2 3.1643 10.9999. 25553.3 R 1.1回归分析的

18、基本思想及其初步 应用习题课 理论迁移理论迁移 例例 19931993年到年到20022002年中国的国内生产总年中国的国内生产总 值（值（GDPGDP）的数据（单位：亿元）如下：）的数据（单位：亿元）如下： 104790.6104790.62002200274462.674462.619971997 97314.897314.82001200167884.667884.619961996 89468.189468.12000200058478.158478.119951995 82067.582067.51999199946759.446759.419941994 78345.278345.

19、21998199834634.434634.419931993 GDPGDP年份年份GDPGDP年份年份 1.1回归分析的基本思想及其初步 应用习题课 （1 1）作）作GDPGDP和年份的散点图，根据该图和年份的散点图，根据该图 猜想它们之间的关系应是什么？猜想它们之间的关系应是什么？ （2 2）建立年份为解释变量）建立年份为解释变量GDPGDP为预报变为预报变 量的回归模型，并计算残差量的回归模型，并计算残差. . （3 3）根据你得到的模型，预报）根据你得到的模型，预报20032003年的年的 GDPGDP，看看你的预报与实际的，看看你的预报与实际的GDPGDP （117251.91172

20、51.9亿元）的误差是多少？亿元）的误差是多少？ （4 4）你认为这个模型能较好地刻画）你认为这个模型能较好地刻画GDPGDP 和年份的关系吗？请说明理由和年份的关系吗？请说明理由. . 1.1回归分析的基本思想及其初步 应用习题课 0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 1992199419961998200020022004 GDP GDP与年份近似地呈线性关系与年份近似地呈线性关系. . 7191.96914292537.729yt 1.1回归分析的基本思想及其初步 应用习题课 993.791993.791200220024638.0554638.

21、05519971997 1277.6221277.622200120015252.0245252.02419961996 1932.3531932.353200020003037.4933037.49319951995 2140.9842140.984199919991489.2381489.23819941994 1328.6851328.685199819986422.2696422.26919931993 残差残差年份年份残差残差年份年份 20032003年年GDPGDP预报值为预报值为112976.4112976.4，预报与实际，预报与实际 相差相差4275.54275.5 相关指数相

22、关指数R R2 20.9740.974，说明年份能够解释，说明年份能够解释 97.4%97.4%的的GDPGDP值变化，所建模型能很好地刻画值变化，所建模型能很好地刻画 GDPGDP和年份的关系和年份的关系. . 1.1回归分析的基本思想及其初步 应用习题课 练习某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下： 编号 次数 成绩 试预测运动员训练次以及次的成绩 1.1回归分析的基本思想及其初步 应用习题课 编号 次数 成绩 第一步：做散点图 1.1回归分析的基本思想及其初步 应用习题课 编号 次数 成绩 第二步：求回归方程 y=1.0415x-0.00302 1.1回归分析的基本思想及其初步 应

23、用习题课 编号编号 次数次数 成绩成绩 残差残差 y=1.0415x-0.00302 第三步：残差图 -1.24-0.370.550.461.380.170.09-1.08 1.1回归分析的基本思想及其初步 应用习题课 残差图残差图 编号编号 次数次数 成绩成绩 残差残差 -1.24 -0.370.550.461.380.170.09-1.08 1.1回归分析的基本思想及其初步 应用习题课 第四步：计算相关指数第四步：计算相关指数 编号编号 次数次数 成绩成绩 残差残差 -1.24 -0.370.550.461.380.170.09-1.08 2 2 1 2 1 10.9855 n ii i n i i yy R yy 相关指数 说明了该运动员的成绩的差异有是由训 练次数引起的，说明了两个变量的相关关系非常强 1.1回归分析的基本思想及其初步 应用习题课 第五步：作出预报 y=1.0415x-0.00302来作为该运动员成绩的预报值 4957 4