建筑力学第章平面力系简化与平衡方程

1、建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 平面任意力系实例 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 1、力的平移定理 FdFMM BB )( 4-1 平面任意力系向作用面内一点简化 可以把作用在刚体上点A的力F平行移 到任一点B，但必须同时附加一个力偶， 这个附加力偶的矩等于原来的力F对新 作用点B的矩. 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 2、平面任意力系向作用面内一点简化主矢和主矩 )( 10111 FMMFF )( 20222 FMMFF )( 0nnnn FMMFF iiR FFF )( iOiO FMMM 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 主矢与简化中心无

2、关，而主矩一般与简化中心有关 iR FF 主矢 )( iOO FMM 主矩 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 xixixRx FFFF yiyiyRy FFFF 如何求出主矢、主矩? 主矢大小 22 )()( iyixR FFF 方向 cos( , ) ix R R F Fi F cos( , ) iy R R F Fj F 作用点 作用于简化中心上 主矩 )( iOO FMM ()() Ooiiiyiix MMFx Fy F 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 平面固定端约束 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 = = = 建筑力学第章平面力系简化与平衡

3、方程 3、 平面任意力系的简化结果分析 =建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 0 R F 合力合力合力作用线过简化中心合力作用线过简化中心 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 R O F M d dFM Ro RRR FFF 其中 ()() oROOi MFMMF 合力矩定理 0 R F 合力合力 合力作用线距简化中心合力作用线距简化中心 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 若为O1点，如何? 0 R F 合力偶合力偶 与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 平衡力系平衡力系 与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关 0 R F 建筑力学第章平面力系简化与

4、平衡方程 0 R F 主矢主矢主矩主矩最后结果最后结果说明说明 合力合力 合力合力 合力作用线过简化中心合力作用线过简化中心 0 R F 合力作用线距简化中心合力作用线距简化中心 合力偶合力偶 平衡平衡 与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关 与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 例4-1 已知： 1 450,P kN 2 200,P kN 1 300,F kN 2 70;F kN 求： 合力作用线方程 力系的合力合力与OA杆的交点到点O的距离x， R F 力系向O点的简化结果 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 解： （1）向O点简化， 求主矢和主矩

5、 0 arctan16.7 AB ACB AC 12 cos232.9 Rxix FFFF kN 12 sin670.1 Ryiy FFPPF kN 2 2 709.4 R ixiy FFF kN 方向余弦 cos,0.3283 ix R R F F i F cos,0.9446 iy R R F Fj F 主矩 112 31.53.92355 oo MMFFPP kN m 大小 R F 16.19180),(,84.70),(jFiF 16.199),(,84.70),(jFiF RR 根据题意 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 （2）、求合力及其作用线位置. 00 3.514 cos 9

6、070.84 d x m （3）、求合力作用线方程 ooRRyRxRyRx MMFx Fy Fx Fy F 即 2355670.1232.9xy 有：607.1232.923550 xy m F M d R 3197.3 4.709 2355 0 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零 即 00 oR MF 4-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 )()()( 22 iOOyxR FMMFFF因为 1、平面任意力系的平衡方程 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 平面任意力系的平衡方程 0 0 0 x y o F F M 平面任意

7、力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选 的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意 一点的矩的代数和也等于零. 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 平面任意力系的平衡方程（一般式） 平面任意力系的平衡方程有三种形式， 一般式 二矩式 三矩式 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 平面任意力系平衡方程的三种形式 一般式 0 0 0 A y x M F F 二矩式 0 0 0 B A x M M F 两个取矩点连线，不得与投影轴垂直 BA, 三矩式 0 0 0 C B A M M M 三个取矩点，不得共线 CBA, 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 2、平面平行力系的平衡方程 0 x

8、F0000 0 x F0coscoscos 321 FFF 0 y F0sinsinsin 321 FFF 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 平面平行力系的方程为两个，有两种形式 0 0 A y M F 各力不得与投影轴垂直 0 0 B A M M 两点连线不得与各力平行 BA, 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 例4-2 已知： AC= =CB= =l, ,P= =10kN;kN; 求：铰链A和DC杆受力. （用平面任意力系方法求解） 解： 取AB梁，画受力图. 0 x F 0 y F 0 cos450 Axc FF 0 sin450 Ayc FFP 0 A M 0 cos4520 c

9、FlPl 解得 kN10,kN20,kN28.28AyAx C FFF 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 例4-3 已知： 1 10,P kN 2 40,P kN 尺寸如图； 求： 轴承A、B处的约束力. 解： 取起重机，画受力图. 0 x F 0 y F 0 A M 0 AxB FF 12 0 Ay FPP 12 5 1.53.50 B FPP 解得 50 Ay FkN31 B F kN31 Ax FkN 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 例4-4 已知：, , ,;P q a Mpa 求： 支座A、B处的约束力. 解：取AB梁，画受力图. 0 x F 0 A M 0 y F 0 Ax

10、F解得0 Ax F 4220 B FaMPaqa a 解得 31 42 B FPqa 20 AyB FqaPF 解得 3 42 Ay P Fqa 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 例4-5 已知：20,M kN m100,P kN 400,F kN20,q kN m 1 ;l m 求： 固定端A处约束力. 解： 取T型刚架，画受力图. 其中 1 1 330 2 FqlkN 0 x F 0 A M 0 y F 0 1 sin600 Ax FFF 解得 316.4 Ax FkN 解得 解得 060cos FPFAy 0360sin60cos1lFlFlFMMA kN300AyF mkN1188A

11、M 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 4-3 物体系的平衡静定和超静定问题 物体系统（物系）：物体系统（物系）： 由多个物体通过适当的约束相互连接而成的系统 静定问题：静定问题： 当系统中的未知量的数目等于独立平衡方程的数目时，则所 有的未知量都能由平衡方程求出 超静定问题：超静定问题： 结构中未知量的数目多于独立平衡方程的数目，仅通过静 力学平衡方程不能完全确定这些未知量 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 超静定次数：超静定次数： 系统未知量数目与独立平衡方程数目的差 静定与超静定问题，是对整个系统而言的 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 例4-6 已知:F F=20kN, q=10k

12、N/m,20mkNM L=1m; 求:A,B处的约束力. 解:取CD梁,画受力图. 0 c M 0230cos 2 60sin 00 lF l qllFB 解得 F FB B=45.77kN=45.77kN 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 解得kN89.32 Ax F 0 iy F 030cos260sin 00 FqlFF BAy 解得kN32. 2 Ay F 0 A M 0430cos360sin22 00 lFlFlqlMM BA 解得kN37.10 A M 取整体,画受力图. . 0 ix F 030sin60cos 00 FFF BAx 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 例4-

13、7 已知:P=60kN,P2= =10kN, ,P1= =20kN, , 风载F=10kN, ,尺寸如图; 求:A,B处的约束力. 解:取整体,画受力图. 0 A M052461012 21 FPPPPFBy 解得kN5 .77 By F 0 iy F 02 21 PPPFF ByAy 解得kN5 .72 Ay F 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 取吊车梁,画受力图. 0 D M 0248 21 PPF E 解得 kN5 .12 E F 取右边刚架,画受力图. 0 C M 04106 EBxBy FPFF 解得 kN5 .17 Bx F 0 ix F0 BxAx FFF 解得kN5 . 7

14、 Ax F 对整体图 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽 略了物体之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存略了物体之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存 在的，一般情况下都存在有摩擦。在的，一般情况下都存在有摩擦。 36 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 摩擦分类摩擦分类 1. 1. 按接触面的运动情况分：按接触面的运动情况分： 静摩擦静摩擦 动摩擦（动摩擦（kinetic frictionkinetic friction） 2. 2. 按接触面的润滑情况分：按接触面的润滑情况分： 干摩擦干摩擦 湿摩擦湿摩擦

15、 3. 3. 按相互接触物体的运动形式分：按相互接触物体的运动形式分： 滑动摩擦滑动摩擦 滚动摩擦滚动摩擦 37 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 4-4滑动摩擦 0 x F 0 sT FF Ts FF 静滑动摩擦力的特点 1 方向：沿接触处的公切线， 2 大小： max 0FFs 3 N FfF s max （库仑摩擦定律） 与相对滑动趋势反向； （fs为静摩擦因素，只与材料和表面情况有关，与接 触面积大小无关） 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 2 大小： N FfF dd sd ff（对多数材料，通常情况下） 动滑动摩擦的特点 1 方向：沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向； （fd

16、为静摩擦因素，只与材料和表面情况有关，与接 触面积大小无关） 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 求： 物块是否静止，摩擦力的大小和方向 已知： ,N1500P,2 . 0 s f,18. 0 d f ：N400F 例4-8 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 N1499 N F 物块处于非静止状态 ,N8 .269 Ndd FfF 向上 Ns FfF max N8 .299 而 解得： N6 .403 s F (向上) 030sin30cos, 0 oo sx FPFF 030cos30sin, 0 oo Ny FPFF 解： 取物块，设物块平衡 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 例4-9

17、 已知：Q=10N， f 动 =0.1 f 静 =0.2 求：P=1 N; 2N, 3N 时摩擦力F？ 解：解： N2 , 0 ,N 2 PFXP由时 所以物体运动：此时N11 . 010fNF 动 （没动，（没动，F 等于外力）等于外力） （临界平衡）（临界平衡） （物体已运动）（物体已运动） N2102 . 0 max NfF 静 N1 , 0 ,N 1 PFXP由时 N2N3 ,N 3 max FPP时 42 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 1 摩擦角 RA F 全约束力 物体处于临界平衡状态时， 全约束力和法线间的夹角 摩擦角和自锁现象摩擦角和自锁现象4-54-5 摩擦角 f ta

18、n s f N F Fmax N Ns F Ff 全约束力和法线间的夹角的 正切等于静滑动摩擦系数 摩擦锥（角） f 0 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 2 自锁现象 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 3 测定摩擦系数的一种简易方法，斜面与螺纹自锁条件 sf ftantan 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 斜面自锁条件 f 螺纹自锁条件 f 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与前面基本 相同 几个新特点 2 严格区分物体处于临界、非临界状态； 3 因 ，问题的解有时在一个范围内 max FFs0 1 画受力图时，必须考虑摩擦力； 考虑滑动摩擦时物

19、体的平衡问题考虑滑动摩擦时物体的平衡问题4-64-6 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 例4-10 作出下列各物体的受力图。 P 最小维持平衡受力图； P 最大维持平衡状态 状态受力图。 48 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 推力为 ， 解：使物块有上滑趋势时， 1 F 已知： ., s fP 水平推力 的大小求： 使物块静止， F 例4-11 画物块受力图 ,0 x F0sincos 11 s FPF(1) ,0 y F0cossin 11 N FPF(2) 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 解得： P f f F s s sincos cossin 1 11NsS FfF(3) 设

20、物块有下滑趋势时，推力为， 2 F 画物块受力图： P f f F s s sincos cossin 2 , 0 x F 0sincos 22 s FPF(1) , 0 y F0cossin 22 N FPF(2) 22Nss FfF(3) 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 12 sincos cossin sincos cossin FP f f FP f f F s s s s 若.,0tgPFf s 为使物块静止 对此题，是否有 21NN FF? 21SS FF? 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 解: 物块有向上滑动趋势时， 用几何法求解例4-11 )tan( 1 PF 物块有向

21、下滑动趋势时， 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 12 )tan()tan(FPFPF 利用三角公式与 ,tan s f 得 sincos cossin sincos cossin s s s s f f PF f f P )tan( 2 PF 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 （2）能保持木箱平衡的最大拉力. （1）当D处为拉力 时，木箱是否平衡? 求： Nk1F 已知：均质木箱重 ,kN5P,4 . 0 s f,m22 ah； o 30 例4-12 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 解： （1）取木箱，设其处于平衡状态. 0 x F0cosFFs 0 y F0sinFPFN 0 A

22、M0 2 cosdF a PhF N 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 解得 N866 s FN4500 N Fm171. 0d 而 N1800 max NsF fF 因 , max FFs 木箱不会滑动； 又 ,0d 木箱无翻倒趋势. 木箱平衡 （2）设木箱将要滑动时拉力为 1 F 0 x F0cos 1 FFs 0 y F0sin 1 FPFN 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 又 Nss FfFF max 解得N1876 sincos 1 s s f f F 设木箱有翻动趋势时拉力为 2 F 0 A M0 2 cos 2 a PhF 解得 N1443 cos2 2 h Pa F 能保

23、持木箱平衡的最大拉力为 N1443 * 对此题，先解答完（2），自然有（1）. 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 例4-13 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 例4-14 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 例4-15 梯子长AB=l，重为P，若梯子与墙和地面的静摩擦系数 f =0.5，求a 多大时，梯子能处于平衡？ 解：解：考虑到梯子在临界平衡状态有下滑趋势，画受力图。 62 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 ) 2 (0, 0 ) 1 (0, 0 PFNY FNX BA AB 由 ) 5 ( ) 4 ( BB A

24、A NfF NfF ) 3( 0sincoscos 2 , 0 minminmin aaalNlF l Pm BBA )3( 1 , 1 , 1 : 222 代入解得 f P PF f fP N f P N BBA 0 2 2 min 87.36 5 . 02 5 . 01 arctg 2 1 arctg: f f a得 注意注意，由于a不可能大于 ， 所以梯子平衡倾角a 应满足 0 90 00 9087.36a 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 4-4 平面简单桁架的内力计算 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 总杆数

25、mn总节点数 32 nm 33nm=2( ) 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 32 nm平面复杂（超静定）桁架 32 nm 平面简单（静定）桁架 32 nm 非桁架（机构） 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 1、各杆件为直杆， 各杆轴线位于同一平面内； 2、杆件与杆件间均用光滑铰链连接； 3、载荷作用在节点上， 且位于桁架几何平面内； 4、各杆件自重不计或均分布在节点上 在上述假设下， 桁架中每根杆件均为二力杆 节点法与截面法 1、节点法 2、截面法 关于平面桁架的几点假设： 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 已知： ,200,700 21 kNkNPP尺寸如图； 求： （1）起重机满

26、载和空载时不翻倒，平衡载重P3； （2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。 解： 取起重机，画受力图. 满载时，, 0 A F 为不安全状况 0 B M 01028 12min3 PPP 解得 P3min=75kN 例4-6 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 3 75100PkNkN P3=180kN时 0 A M 041424 213 B FPPP 解得FB=870kN 0 iy F 0 321 PPPFF BA 解得 FA=210kN 空载时，, 0 B F 为不安全状况 0 A M 4 4P P3max 3max-2 -2P P2 2=0=0 解得 P3max=100kN

27、 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 例4-7已知： OA=R，AB= l,F 不计物体自重与摩擦, 系统在图示位置平衡; 求: 力偶矩M 的大小，轴承O处的约 束力，连杆AB受力，冲头给导 轨的侧压力. 解:取冲头B,画受力图. . 0 iy F0cos B FF 解得 22 cos Rl FlF FB 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 0 ix F0sin BN FF 解得 22 tan Rl FR FFN 取轮,画受力图. 0 ix F0sin Aox FF 解得 22 Rl FR Fox 0 iy F0cos Aoy FF 解得解得FF oy 0 o M0cosMRFA 解得 FRM

28、 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 例4-9 已知: P1, P2, P=2P1,r, ,R=2r, ,;200 求: 物C 匀速上升时，作用于轮I 上的力偶矩M；轴承A，B处的 约束力. 解:取塔轮及重物C, ,画受力图. . 0 B M 0PrRF 解得 1 10 Pr P R F 由 0 20tan F F r 解得 1 0 64. 320tanPFFr 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 0 ix F0 rBx FF 1 64, 3PFBx解得 0 iy F0 2 FPPFBy 解得 1 32PFBy 取轮I，画受力图. 0 ix F 0 iy F 解得 解得 0 A M0 rFM

29、解得 rPM 1 10 0 YAx FF 1 64. 3PFAx 0 1 PFFAy 1 9PFAy 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 例4-11 已知:DC=CE=CA=CB= =2l, ,R=2r= =l, ,450 P, , 各构件自重不计. 求: A,E支座处约束力及BD杆受力. 解:取整体,画受力图. 0 E M 0 2 5 22lPlF A 解得PFA 8 25 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 0 ix F045cos 0 AEx FF 解得 PFEx 8 5 0 iy F 045sin 0 AEy FPF 解得PFEy 8 13 取DCE杆,画受力图. . 0 C M022

30、45cos 0 lFlFlF ExKDB 解得 PFDB 8 23 (拉) 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 例4-12 已知: P=10kN,尺寸如图； 求:桁架各杆件受力. 解: 取整体，画受力图. 0 ix F 0 iy F 0 B M 0 Bx F 042 Ay FPkN5 Ay F 0PFF ByAy kN5 By F 取节点A，画受力图. 0 iy F030sin 0 1 FFAy 解得kN10 1 F (压) 0 ix F030cos 0 12 FF 解得kN66. 8 2 F (拉) 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 取节点C,画受力图. 0 ix F030cos30cos

31、 0 1 0 4 FF 解得kN10 4 F (压) 0 iy F030sin 0 4 13 FFF 解得kN10 3 F (拉) 取节点D,画受力图. 0 ix F0 25 FF 解得解得kN66. 8 5 F(拉) 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 例4-13 已知: ,10 1 kNP,7 2 kNP 各杆长度均为1m; 求: 1,2,3杆受力. 解: 取整体,求支座约束力. 0 ix F 0 Ax F 0 B M032 21 Ay FPP 解得kN9 Ay F 0 iy F0 21 PPFF ByAy 解得 kN8 By F 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 用截面法,取桁架左边部

32、分. 0 E M0130cos1 0 1 Ay FF 解得 0 iy F 060sin 1 0 2 PFFAy kN4 .10 1 F(压) 解得kN15. 1 2 F(拉) 0 ix F060cos 0 231 FFF 解得 kN81. 9 3 F (拉) 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 例 4-14 已知： 1 4,P kN 2 10,P kN 尺寸如图； 求：BC杆受力及铰链A A受力. 解： 取AB 梁，画受力图. 0 ix F 0 cos300 AxT FF 0 iy F 0 12 sin300 AyT FPPF 0 A M 0 21 sin306430 T FPP 解得17.3

33、3 T F kN 5.33 Ay FkN 0 ix F 0 cos300 AxT FF 0 iy F 0 12 sin300 AyT FPPF 0 A M 0 21 sin306430 T FPP (1) 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 又可否列下面的方程？ 21 0sin306430 AT MFPP 12 06320 BAy MFPP 12 0340 CAx MFACPP 能否从理论上保证三组方程求得的结果相同？ 21 12 0cos300 0sin306430 06320 ixAxT AT BAy FFF MFPP MFPP （2） 21 12 12 0sin306430 06320

34、0340 AT BAy CAx MFPP MFPP MFACPP （3） 可否列下面的方程： 0 ix F 0 cos300 AxT FF 0 A M 0 21 sin306430 T FPP 0 B M 12 6320 Ay FPP 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 例 4-15已知：P=10kN , , a , , 杆，轮重不计； 求： A ,C支座处约束力. 解：取整体，受力图能否这样画？ 取整体，画受力图. 0 A M48.50 AxT aFaPF a 解得 20 Ax F kN 0 AxCx FF 20 Cx FkN解得 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 对整体受力图 0 iy F0 AyCyT FFFP 解得10 Ay F kN 取BDC 杆（不带着轮） 取ABE（带着轮） 取ABE杆（不带着轮） 取BDC杆（带着轮） 1 04340 BCyTTCx MaFFaFaFa 解得15 Cy FkN 建筑力学第章平面力系简化与平衡方程 例4-16 已知：P , a ,各杆重不计； 求：B 铰处约束反力. 解：取整体，画受力图 0 C M20 By Fa 解得0 By F 取ADB杆，画受力图 取DEF杆，画受力图 0 D M sin4520 E FaFa 得sin452 E FF 建筑力学