固体物理基础(吴代鸣之高教版)课后1到10题答案

1、- 1 -一本章习题P272 习题1.试证理想六方密堆结构中c/a=1.633.一说明：C 是上下底面距离，a 是六边形边长。二分析：首先看是怎样密堆的。如图 (书图 1.10(a)，P8)，六方密堆结构每个格点有12 个近邻。（同一面上有6 个，上下各有3 个）上下底面中间各有一个球，共有六个球与之相切，每个球直径为a。中间层的三个球相切，又分别与上下底面的各七个球相切。球心之间距离为所以球心之间即格点之间距离均为a（不管是同层还是上下层之间）。a。三 证明：如图 OA=a ，OO =C/2 （中间层是上下面层的一半） ，AB=a O是 ABC 的三垂线交点AOABa33（由余弦定理x2a2

2、x 22ax cos30aaa2xcos30 , x)2cos303OA222( c) 2( a ) 2OOAO 23a2( c )2(a ) 2222 a 21 c234c822 1.633a33- 2 -2若晶胞基矢 a,b, c 互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。一、分析：我们想到倒格矢与面间距的关系d2。G倒格矢与晶面族（ hkl ）的关系 Ghb1kb2 lb3写出 (b1b2b3 ) 与正格子基矢(ab c) 的关系。即可得与晶面族（hkl ） 垂直的倒格矢 G 。进而求得此面间距 d。二、解：a,b,c 互相垂直，可令aai , bbj ,cck晶胞体积 v a(b c

3、)abc倒格子基矢：b12 (b c)2(bj ck )vabcb22a)2(ckai )(cabcvb32b)2(aibj )(aabcv而与（ hkl ）晶面族垂直的倒格矢故（ hkl ） 晶面族的面间距2dG22 ( h )2( k ) 2( l ) 2abc1( h ) 2( k )2( l )2abc2ia2jb2kchklG hb1kb2 lb32 ( ijk )abcG 2( h ) 2( k )2( l ) 2abc- 3 -3若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择？每个原胞含有几个原子？1 分析：考虑选取原胞的条件： （即布拉菲晶格的最小

4、单元）（ 1） 体积最小的重复结构单元（ 2） 只包含一个格点（ 3） 能反映晶格的周期性应将几个原子组合成一个格点，然后构成原胞。原胞反映周期性，在空间无空隙无交叠排列成晶格。我们不容易看出哪几个原子组合成一个格点。我们可先分析晶胞是否组成复式格子？何种格子组成的复式格子？是由几层套构而成的？我们知道如果是体心立方，将是两个简立方套构而成的二重复式格子。如果是面心立方，将有对面面心处的原子构成三重简立方格子；加上顶点处是四重简立方格子。这样，我们的题中是体心加面心，面心的四重格子加上体心处的原子构成的一重格子，故应是五重简立方的复式格子。所以布拉菲晶格是简单立方格子。这样可将体心，八个顶点中

5、取一个，对面面心各取一个原子（即三个）作为一个组合形成一个格点，即由 5 个原子形成一个格点，亦即基元是选这样的原子组合。最后格点的原胞是简立方，每个原胞含一个格点，每个格点含五个原子。故每个原胞含有5 个原子。2 答：通过分析我们知道，原胞可选为简单立方，每个原胞中含有5 个原子。体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子（即三个）作为基元。布拉菲晶格是简单立方格子。- 4 -4试求面心立方结构的（111）和（ 110）面的原子面密度。一（111）面（ 1） 分析：先分析有几个原子？如图（书图 1.12，P10）。（ 111）面由 3 顶点连线组成的面。3 个顶点原子，每个贡献1/6，3

6、个面心原子，每个贡献 1/2，共 6 原子，每个（ 111）面有 313 12 个原子。62求出（ 111）面面积可得原子面密度。（ 2）解：平均每个（ 111）面有 3112 个原子。326（ 111）面面积所以原子面密度12a ( 2a) 2( 2 a)22 a3 a3 a 22222224(111)3a 23 a 22二（110）面（ 1）分析：如图（书图1.12，P10）。（ 110）面是四顶点组成的面。分析有几个原子？4 个顶点原子，每个贡献1/4（上下两层，每层两个单胞中的（110）共用一个顶点） ；2 个面心原子，每个贡献 1/2。110）面有 4 11共 6 个原子，平均每个（

7、22 原子。再求出（ 110）面积即可。（ 2）解：421212 个原子。平均每个（ 110）面有 44 2（ 110）面面积 a 2a2a 2所以（ 110）面原子面密度22(110 )2a 22a- 5 -5设二维矩形格子的基矢为a1ai , a22aj ，试画出第一、二、三、布里渊区。解：倒格子基矢：b12a3 )22ai x2i (a3xk)(a22axavab22 ( a3a1 )2xaxj2j12j1b1 jva2a2a2a2所以倒格子也是二维矩形格子。b2 方向短一半。最近邻 b2 , b2 ;次近邻 b1 , b1 ,2b2 , 2b2 ;再次近邻 b1b2 , b1b2 ,b

8、2b1 , b2b1 ;再再次近邻 3b2 , 3b2 ;做所有这些点与原点间连线的垂直平分线，围成布里渊区。再按各布里渊区的判断原则进行判断，得：第一布里渊区是一个扁长方形；第二布里渊区是2 块梯形和2 块三角形组成；第三布里渊区是2 对对角三角和4 个小三角以及2 个等腰梯形组成。- 6 -6六方密堆结构的原胞基矢为：a11 ai3 aj22a213aiaj22a3ck试求倒格子基矢并画出第一布里渊区。1 分析：从前面的学习我们已经知道，六方密堆结构是两个简单六方格子复合成的二重复式格子。所以原胞为简单六方结构。1 解：原胞为简单六方结构。原胞体积：v a1 (a2a3 )1 a(i3 j

9、 ) 1 a( i3 j ) ck 221 a(i3 j ) 1 ac( j3i )221 a 2c(i3 j ) ( 3ij )43 a 2 c2倒格子基矢：b12 ( a2a3 )2 1 a( i3 j ) ck 2 ( i3 j )v23a3 a 2c2b22a1 )213 j )23 j )( a33 cka(i( iva22a2cb32 (a1a2 )2kvc由此看到，倒格子同原胞一样，只是长度不同，因此倒格子仍是简单六方结构。（注意： 倒格子是简单六方，而不是六方密堆）选六边形面心处格点为原点，则最近邻为六个角顶点，各自倒格矢的垂直平分面构成一个六面柱体。次近邻为上下底面中心，其垂

10、直平分面为上下平行平面。再次近邻是上下面六个顶角，其垂直平分面不截上面由最近邻和次近邻垂直平分面构成的六角柱体。所以第一布里渊区是一个六角柱体。比倒格子六方要小。- 7 -7试求金刚石的结构因子并讨论X 射线衍射消失的条件。解：图见书 P7 图 1.9(a)金刚石结构的布拉菲晶格是面心立方格子，基元中有两个原子。将顶角处选为原点，另一原子位置rLa (ij k )4进而，将面心再看成是四套简立方的复式格子。简立方每个格点有四个面心立方的格点，而面心立方的格点有2 个原子。所以简立方的每个格点就相当于有 248 个原子。6 个面心中的 3 个原子（每对对面中也就是考虑一个金刚石结构单胞中，顶点中

11、的一个原子和取一个）及 4 个对角原子作为一个基元。最后可构成简单立方晶格。这时基矢： a1ai , a2aj , a3ak一个单胞中各原子位矢：顶点： r10,面心： r2a (ij ), r3a ( jk ), r 4a (ik ),对角：222r5a ( ijk ), r6a (i 3 j3k ),44r7a (3i3 jk), r8a (3ij3k )44因为都是同一原子，故原子散射因子都为f ，简立方布拉菲晶格的倒格矢a2( h1ih2 j h3 k )a则结构因子S(G)f jiG r jje1ei ( h1ih2 j h3 k ) ( ij )i ( h1i h2 j h3k )

12、 ( j k )ei2 ( h i h j h k ) a(ij k )ei (h1 i h2 j h3k ) (i k )e a1234f(h1 i h2 j h3k ) ( i 3 ji ( h1ih2 j h3 k ) (3i 3 j k )i3k )e 2e 2i (h1i h2 j h3k ) (3 ij 3 k )e 2i ( h1 h2 )i ( h2 h3 )i ( h1h3)i( h1 h2 h3 )1 eee2efei(h13h23h3 )i( 3h13h2h3 )i(3 h1h23h3 )2e 2e 21i ( h1h2 )i ( h2 h3 )i ( h1 h3 )ee

13、ef( h1 h2h3 )iei ( h1 h2 )ei (h1 h3 ) e 21ei ( h2h3 )- 8 -f1 ei (h1 h2 )ei (h2 h3 )ei ( h1 h3 )i( h1 h2 h3 )1 e 2故当（ 1） ei ( h1h2 )ei ( h2h3 )ei (h1 h3 )1时， S=0，消光；i ( h1 h2h3 )1或当（ 2） e 2时，也有 S=0，也消光。为使得（ 2）成立 ,需 1 (h1h2h3 )2n1（奇数）（ n 为整数）2即 h1 h2 h32( 2n 1)即：（ b）密勒指数之和为奇数的2 倍时，消光。为使得（ 1）成立，需（ a） h

14、1、 h2、 h3 不全为奇或不全为偶。（奇数 +奇数 =偶数，偶数 +偶数 =偶数，偶数 +奇数 =奇数）（ 1）中左端的3 项有 2 个是 -1，能保证（ 1）式成立）所以当：(a)3 个密勒指数不全为奇或不全为偶时，消光；或 (b)3 个密勒指数之和为奇数的2 倍时，消光。若（） 密勒指数为全奇，并且三者之和为h1h2 h3 22n4n即 3 者之和可被4 整除时， S0 能看到衍射线。4 整除，所以此条件不存在。但因为全奇时，三者之和必为奇数，故肯定不能被故只有在下面的条件，能看到衍射线。即仅当（）密勒指数为全偶并且三者之和可被4 整除时，方有 S0，才能看到衍射线。8、证明一维NaC

15、l 晶体的马德隆常数为2 ln 2证明：N1由马德隆常数的定义有j ( i ) a j其中异号离子取“+”，同号离子取“-”一维 NaCl 晶体的结构如图，正负离子相间排列。最近邻离子的距离为a。选 O 点处离子为参考点，其它离子与它的相对距离为r01r0 1aa1 aaNj (i )a1, r021a 1, r011a ja1aa2a2, r03aa 3a 3,2aa2a 2, r03aa 3a 3,111111111a2a3.a Na 1a 2a 3a 4.a4a N2211111111111234.1234.NN22- 9 -2(1111.1 )1234N2x 21)n 1 x n由泰勒

16、公式展开ln(1x)x. (Rn ( x) （高数第一册P161 例 2）121) n 1 1n当 x=1 时，有 ln 21.(Rn (1)N2n上面的,大，余项n2nN 很大， nR (1)很小，舍去。故有2 ln 2问题得证。r9、若离子间的排斥势用 e 来表示，只考虑最近邻离子间的排斥作用，试导出离子晶体结合能的表达式，并讨论参数和应如何决定。解：（ 1） 一般情况：第 j 个与第 i个离子间的库仑势为e2(同号取“ +”，异号取“ -” )40rijrij排斥势为 e2rij第 j 个与第 i个的相互作用势为 u( rij )ee40rijN2rij所有离子对第 i 个离子的总相互作

17、用为ee40rijj ( i )因为表面离子数相对总数少，忽略晶体表面离子与内部的差异。设最近邻离子间距为r，则 r ij=raj故有晶体内离子间总的相互作用为：UN2N2rij2NNra j(ee)N e1ej ( i )40 rij2 40 r j ( i ) a jj ( i )（此时，1“ -”表示 同号离子之间）中的 “ +” 表示异号离子之间，a j如果只考虑最近邻的排斥，且设有Z 个最近邻离子-10-2r则 UN (eZe)0 r24是马德隆常数。结合能 ECU（ 2） 平衡时结合能的表达式：设 r=r0是平衡时的最近邻距离。则U （ r0）取得极小值。即U (r )0rr r0

18、则有 U ( r )N 2( 1 ) Zer0e2) 0rrr0240r0e2r0解得e40 r02Z平衡时，晶体相互作用能U (r0 )Ne2(1)80 r0r0平衡时结合能的表达式ECU (r0 )（ 3） 确定参数和为了能求出和，可建立与宏观测量量间的关系，如体弹模量或压缩系数。k1V按定义：压缩系数V( ) T 表示温度一定时，加单位压强时，晶体体积的相对改变量。P体弹模量12U（此由 PUKV2得出。 V 0 是平衡时晶体体积）kVV0V以类似于 NaCl 晶体结构为例：VNr 3 ,V0Nr03V3Nr 2 ,r11rV r03Nr 2r03Nr 022N (2Z er0U2e)r 2r0240 r0322U(U )(Ur )V0V2VVVVrVV00U(r )r(U )r r0VVV0VV r V0U0r r0rUrUr()()V VrV0V r rV r0(r ) 22U(1) 22UVr 2r03Nr02r 2r 0-11-K2UNr0312 )22U12UV2(29Nr02VV03Nr 0rr0r