数学系常微分方程期末试卷B与答案

1、_.试卷（ B） 考试本科考试科目常微分方程 12 1203 11一、填空题（每小题3 分，本题共15 分）1dy1y 2。dx2y4 y03dyx 2sin ydx4Y1 (x), Y2 ( x), , Yn ( x)W (x)05dyy sin( x y)xdx二、单项选择题（每小题3 分，本题共 15 分）6dy23y 3(0, 0)dx(A)(B)(C)(D)7.dyy1dxABCD8fy( x,y)dyf(x, )dxyABCD15. .9 、 微分方程 x ln xyy 的通解（）A、 yc1 x ln xc2B、 yc1x ln x1C 、 yx ln xD、 yc1 x ln

2、x1c210 n 阶线性非齐次微分方程的所有解（）（ A）构成一个线性空间（ B）构成一个n1 维线性空间（ C）构成一个n1维线性空间（ D）不能构成一个线性空间三、简答题（每小题6 分，本题共 30 分）11. 解方程 dy ex ydx12. 解方程 dyytan ydxxx第 2页（共5页）. 13.dy y xy 5dx14.2 d(x2y2 )dy0xy xdxdy试讨论方程组为常数，且。15cy 的奇点类型，其中dtaxby,dta,b,cac 0.35.四、计算题（每小题10 分，本题共 20 分）16求方程y5 y5x 2 的通解17解方程组：xxy,y3y2x第 4页（共5

3、页）. 五、综合能力与创新能力测试题（每小题10 分，本题共 20 分）18y1 ( x) y2 (x)19( x2y) dx f (x)dy 0x ,f ( x) .12-13-2学期期末考试常微分方程B 参考答案及评分标准（数计学院）一、填空题（每小题3 分，本题共 15 分）1 y12 sin 2x, cos 2x3 xoy 平面4充分必要5不能二、单项选择题（每小题3 分，本题共 15 分）6A7C8C9D10D三、简答题（每小题6 分，本题共 30 分）11解分离变量得eydyex xd等式两端积分得通积分e yexC12解 令 yu ，则dyux du ，代入原方程，得xdxdxu

4、x duutanu ， x dutanu当 tanu 0dxdx时，分离变量，再积分，得dudxln Ctanuxln sin uln xln C即通积分为：yCxsinx13解方程两端同乘以y 5 ，得y 5 dyy 4xdx4 y 5 dydz ，代入上式，得令 y 4z ，则dxdx制卷审核（3 分）（6 分）（2 分）（4 分）（5 分）（6 分）（2 分）1 dz4 dxzx（3 分）.通解为zCe 4xx14原方程通解为y 4Ce 4 xx1（6 分）414解：因为M2xN ，所以原方程是全微分方程（2 分）yx取 ( x0 , y0 )(0,0) ，原方程的通积分为xxy xyy

5、 2yC（4 分）2d0d0即x2 y1 y 3C（6 分）315解：因为方程组是二阶线性驻定方程组，且满足条件ab，故奇点为原点（ 0，0）2分0ac 0c又由 det(A-E)=ab2(ac)ac0 得 1 a2 c4分0c所以，方程组的奇点（0， 0）可分为以下类型：acac0奇点为结点a0, c0, 稳定结点a， c 为实数a 0, c 0,不稳定结点ac0奇点为鞍点（不稳定）6分b0,奇点为退化结点a0,c，稳定结点a0c0, 奇点为奇结点a0, c0, 不稳定结点b四、计算题（每小题10 分，本题共20 分）16解：对应齐次方程的特征方程为250（1 分）特征根为：特征根为10 ，

6、25 ，（2 分）齐次方程的通解为yC1C 2e5x（4 分）因为0 是特征根。所以，设非齐次方程的特解为y1 ( x)x( Ax2Bx C )（6 分）代入原方程，比较系数确定出A1 ， B1 ， C23525.原方程的通解为y C1C2 e5 x 1 x31 x 22 x（10 分）352517解： 其系数矩阵为：A11，（2 分）23特征多项式为：det( AE)1124 5，23其特征根为：1，22 i, ，（4 分）当2 i 时，由方程组1 i1a，21 i0b可解得特征向量为：1T（6 分）1i由e( 2 i )t1e2tcostie 2tsin t，（8 分）1 icostsin

7、tsintcost可知方程组的基本解组为：e2tcost，e2tsin t.（10 分）cost sin tcost sint五、综合能力与创新能力测试题（每小题10 分，本题共 20 分）18证明 由于 y1 (x) 和 y2 ( x) 是两个线性无关解，则它们的朗斯基行列式W (x)1 ( x)2 ( x)（* ）（5 分）1 ( x)02 ( x)假如它们有共同零点，那么存在一个点x0 ，使得1 (x0 ) =2 ( x0 )0于是1 (x0 )2 ( x0 )00W (x0 )2 ( x0 )1 ( x0 )01 (x0 )2 ( x0 ).这与（ * ）式矛盾（ 10）19解:令Mxy x2y, N ( x, y)f ( x), 由所给方程有积分因子x 知(, )( xM )( xN ) ,（4 分）yx即 x xf