指数函数、对数函数、幂函数图像与性质

1、.指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1根式（ 1）根式的概念根式的概念符号表示备注如果 xna , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根n 1且 n N当 n 为奇数时 ,正数的 n 次方根是一个正数 , 负数的 nn a零的 n 次方根是零次方根是一个负数当 n 为偶数时 ,正数的 n 次方根有两个 , 它们互为相反na ( a0)负数没有偶次方根数（ 2）两个重要公式an 为奇数 na n| a |a( a0)；a(a0)n 为偶数 (na ) na （注意 a 必须使 na 有意义）。2有理数指数幂（ 1）幂的有关概念mn am (a正数的正分数指数幂:a n0,

2、m、 nN ,且 n1) 。m11正数的负分数指数幂:an0, m、 nN , 且 n 1)m( aa nn am0 的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 .注： 分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。（2）有理数指数幂的性质ar as=ar+s (a0,r、 s Q)。(a r ) s =ars (a0,r、s Q)。(ab) r =ar bs(a0,b0,rQ)。 .3指数函数的图象与性质y=ax0a1图象定义域R值域（0，+）性质（ 1）过定点（ 0， 1）（ 2）当 x0 时， y1。(2)当 x0 时， 0y1。x0 时 ,0y1x1(3) 在（ -，

3、 +）上是增函（ 3）在（ -， +）上是减函数数注： 如图所示，是指数函数（1）y=ax, （ 2）y=bx, （ 3） ,y=c x（4） ,y=d x 的图象，如何确定底数 a,b,c,d与 1 之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1d1 1a1b1, cd1ab。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。（二）对数与对数函数1、对数的概念（1）对数的定义如果 axN ( a0且 a1) ，那么数 x 叫做以 a 为底， N 的对数，记作 xlog aN ，其中 a叫做对数的底数，N 叫做真数。（2）几种常见对数对数形式特点记法

4、一般对数底数为 a a0,且a 1log a N常用对数底数为 10lg N自然对数底数为 eln N.2 、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（ a0,且a1 ）： log a10， log aa1， alog aNN ， log aa NN 。（2）对数的重要公式：换底公式： logb Nloga N(a,b均为大于零且不等于 1,N0) ；loga b log ab1a。logb（3）对数的运算法则：如果 a0,且a1 ， M0, N0那么 log a (MN )log a Mlog aN ； log aMlog aN ；log a MN log aM nn log a M ( nR)

5、 ； logm bnn log a b 。am3、对数函数的图象与性质a 10a 1图象性（ 1）定义域：（0,+）质（ 2）值域： R（ 3）当 x=1 时， y=0 即过定点（ 1， 0）（ 4）当0 x时， y (,0) ；（ 4）当x1时， y(,0) ；1当 x 1 时， y(0,)当 0 x1时， y(0,)（ 5）在（ 0,+）上为增函数（ 5）在（0,+ ）上为减函数注：确定图中各函数的底数a，b， c， d 与 1 的大小关系提示：作一直线 y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。.0cd1a1 时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3，y=x 2， y=

6、x ， yx2 ， y=x -1 ；1当 0x01，函数 f(x)=log ax 在区间 a,2a 上的最大值与最小值之差为1 , 则 a=()2(A)2（B） 2（C）22（ D）44. （ A）已知 f (x) 是周期为2 的奇函数，当0x 1时， f ( x) lg x. 设af (6 ), bf ( 3 ), cf ( 5), 则（）522（ A） a b c（ B） b ac（ C） cb a（ D） c a b5. （ B）设 f ( x)=2ex 1 , x2,则不等式 f ( x)2的解集为（）log 3 ( x21), x 2,(A) （ 1， 2）（ 3， +）(B)（10

7、 ，+）(C) （ 1， 2）（ 10 ，+） (D) （1，2）6（ A）设 Plog 2 3 ， Qlog 3 2 ， Rlog 2 (log 3 2) ，则（）RQPPRQQRPRPQ7 (A) 已知 log 1blog 1 a log 1 c ，则 ()222A 2b2 a2cB 2a2b2c C 2c2b2aD 2c2a2b8（ B）下列函数中既是奇函数，又是区间1,1 上单调递减的是（）（ A） f ( x)sin x(B)f ( x)x1(C)f ( x)1 ( axa x )(D)f ( x)ln 2x22x9. （ A）函数 ylog1 (3 x2) 的定义域是： （）2A

8、1,)B (32,) C 32 ,1D( 32 ,110.(A)已知函数 ylog 1 x与ykx 的图象有公共点A，且点 A 的横坐标为2，则 k （）4A11C11B2D 44211（ B）若函数 f (x)a xb1(a0且 a1)的图象经过第二 、三、四象限，则一定有（）A 0 a 1且b 0B a 1且 b 0C 0 a 1且b 0 D a1且 b 012 (B) 若函数 f ( x)log ax(0a1) 在区间 a, 2a 上的最大值是最小值的3 倍，则 a=（）A. 2B.2C. 1D. 1424213.(A) 已知 0x y a1，则有（）（ A） log a (xy )0（

9、B） 0log a (xy)1（ C） 1 log a (xy)2（ D） log a ( xy)214. （ A）已知 f ( x 6 )log 2x ，那么 f (8) 等于（）.（A） 4（B）8（C）18（D） 13215（ B）函数 y lg|x|（）A是偶函数，在区间 ( ， 0) 上单调递增B是偶函数，在区间 ( ， 0) 上单调递减C是奇函数，在区间 (0 ， ) 上单调递增D是奇函数，在区间 (0 ， ) 上单调递减lg( 4x )16. （ A）函数 yx3的定义域是 _.17（ B）函数 y a1x ( a0， a1) 的图象恒过定点A ，若点 A 在直线mx ny 1

10、0(mn0)11上，则的最小值为mn18（ A）设 g ( x)ex, x 0._lnx, x则 g ( g( 1 )0.219（ B）若函数 f(x) =2 x2 2axa1 的定义域为 R，则 a 的取值范围为 _.20 (B) 若函数 f (x)log a ( xx22a 2 ) 是奇函数，则 a=21.(B) 已知函数 f (x)1log21x ，求函数 f ( x) 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调x1x性.参考答案：三：例题诠释，举一反三例 1.解：（ 1） 2 ，（ 2） a 29113135 ab .6b 3(a3b 2 )5 a 2b 251(3)110变式：解：（ 1） 1

11、,（32）244ab4ab例 2.解： B变式：解： (0, 1 ) ；2例 3.解：（） b1 （）减函数。1（） k3变式：解：（ 1） a=1. （2）略例 4. 解：（1）-1. （2）1. （3） 1 .2712133（ 2）2.（ 3）5.变式：解： (1)log 2log 2 22484222422例5. 解：选D。变式：解： C例 6. 解： (1 ，3 1 ， 1）3变式：解： a|2-23 a 2.例 7. 解：（ 1）当 x 1 或 x1 时， f ( x)g (x) ；（ 2）当 x 1时， f (x)g( x) ；（ 3）当 1 x1且 x 0 时， f ( x) g

12、( x) 变式：解：（ 1） f(x)=x -4 .（ 2） F（ x） =a2 bx3 ， F（ -x ） = a2+bx3.xx当 a 0，且 b 0 时， F（ x）为非奇非偶函数；当 a=0,b 0 时， F（ x）为奇函数；当 a 0,b=0 时， F（ x）为偶函数；当 a=0,b=0 时， F（ x）既是奇函数，又是偶函数.四：方向预测、胜利在望15 ADDDC；610 AADDA；1115 CADDB.16. (-, 3)(3,4) 17. 418.119.-1,0 20.222x01x21 解 x 须满足由0得 11,1x,1xx1x0所以函数 f ( x) 的定义域为（1， 0）（ 0，1） .因为函