映射与函数习题

1、广州至慧教育学生姓名就读年级授课日期教研院审核【知识点回顾 】1.函数的概念一般地，设A 、B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个 （任意性） 元素 x，在集合 B 中都有 （存在性） 唯一（唯一性） 的元素 y 和它对应，这样的对应叫做集合 A 到集合 B 的一个函数 （三性缺一不可）函数的本质：建立在两个非空数集上的特殊对应这种 “特殊对应 ”有何特点： 1).可以是 “一对一 ” 2).可以是 “多对一 ” 3).不能 “一对多 ” 4). A中不能有剩余元素5).B 中可以有剩余元素判断两个函数相同：只看定义域和对应法则1 / 92.映射的概念一般地，设

2、A 、B 是两个集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合 A 中的每一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素y 与之对应， 那么就称对应f: 为从集合A 到集合 B 的一个映射（ mapping）。思考：映射与函数区别与联系？函数建立在两个非空数集上的特殊对应映射建立在两个非空集合上的特殊对应1）函数是特殊的映射，是数集到数集的映射2）映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数3）映射与函数都是特殊的对应思考：映射有“三性” ：“有序性” ：映射是有方向的，A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往不是同一个映射；“存在性” ：对于集合 A 中的任何一个元素，集合B 中都存在元素和

3、它对应；“唯一性” ：对于集合 A 中的任何一个元素，在集合B 中和它对应的元素是唯一的 .3.用映射定义函数(1). 函数的定义： 如果 A 、 B 都是非空数集，那末A 到 B 的映射 f:A B 就叫做 A B的函数。记作： y= f (x).（ 2）定义域： 原象集合 A 叫做函数 y=f (x) 的定义域。（ 3）值域： 象的集合 C (CB) 叫做函数 y=f (x)的值域。定义： 给定一个集合A 到集合 B 的映射，且 a A， bB 。如果元素 a 和元素 b 对应，那么我们把元素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象。给定映射 f ： A B。则集合 A 中

4、任何一个元素在集合B 中都有唯一的象，而集合B 中的元素在集合 A 中不一定都有原象，也不一定只有一个原象。问题 1：下图中的（ 1）（ 2）所示的映射有什么特点？（1）AfB（2 ） AfB3am1bn25cp37dq49答：发现规律：（ 1）对于集合 A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象，我们把这样的映射称为 单射。（ 2）集合 B 中的每一个元素都有原象，我们把这样的映射称为满射。定义： 一般地，设 A 、B 是两个集合。 f： A B 是集合 A 到集合 B 的映射，如果在这个映射下，对于集合A 的不同元素，在集合B 中有不同的象，且 B 中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到

5、B上的一一映射。单满射射一一映射注意： 1）一 一映射是一种特殊的映射：A到B是映射， B到 A也是映射。2）映射和一一映射之间的充要关系，映射是一 一映射的必要而不充分条件3）一 一映射： A 和 B 中元素个数相等。AB例 2：判断下面的对应是否为映射，是否为一一映射？002 / 91124491） A=0,1,2,4,9,B=0,1,4,9,64,对应法则2f ： a b = (a-1)答：是映射，不是一一映射。 （如右图所示可以很容易可能出。）2） A=0,1,4,9,16,B=-1,0,1,2,3,4, 对应法则 f：求平方根 ？答：不是映射。3） A=Z ， B=N* ，对应法则

6、f ：求绝对值？答：不是映射。4） A=11,16,20,21,B=6,2,4,0,对应法则f ：求被 7 除的余数答：是映射，且是一一映射。例 3：已知集合，(x,y)|x,y ，f 是从到的映射 f:x (x+1,x 2) .（）求2 在 B 中的对应元素（） (2,1)在中的对应元素解: （ 1）将 x= 2 代入对应关系，可得其在中的对应元素为（2 +1， 2）（ 2）由题意得：x+1=2x2=1 x=1即（ 2,1 ）在 A 中的对应元素为 1例 4：设集合 A=a 、 b,B=c 、 d、 e（1）可建立从 A 到 B 的映射个数.（2）可建立从 B 到 A 的映射个数.答： 9,

7、8（可以试着画图看看）小结：如果集合A 中有 m 个元素，集合B 中有 n 个元素，那么从集合A 到集合 B 的映射共有nm个。ABfaba的象b的原象【映射例题精解 】例 1 在下列对应中、哪些是映射、那些映射是函数、那些不是？为什么？设 A=1,2,3,4， B=3,5,7,9，对应关系是f(x)=2x+1,x属于 A设 A=1,4,9,B+-1,1,-2,2,-3,3对应关系是 A 中的元素开平方设 A=R， B=R,对应关系是f(x)=x的 3 次方， x 属于 A设 A=R,B=R,对应关系是f(x)=2x的 2 次方 +1， x 属于 A解析： 1、是一一映射，且是函数2、不是映射

8、（象是有且唯一）3、是一一映射，且是函数4、是映射，但不是函数，因为B 中不是所有值在A 中都有对应。例 2 设 A=a,b,c,B=0,1,请写出两个从A 到 B 的映射从 A 到 B 的映射共有 23=8 个：（a ， b ， c） （ 0， 0， 0）；（a ， b ， c） （ 0， 0， 1）；3 / 9（ a ， b ， c） （ 0， 1， 0）；（ a ， b ， c） （ 1， 0， 0）；（ a ， b ， c） （ 0， 1， 1）；（ a ， b ， c） （ 1， 0， 1）；（ a ， b ， c） （ 1， 1， 0）；（ a ， b ， c） （ 1， 1， 1

9、）。例 3假设集合 m=0 -1 1 n=-2 -1 0 1 2 映射 f :MN 满足条件“对任意的x 属于 M ,x+f(x)是奇数”，这样的映射有 _个当 x=-1 时，x+f(x)=-1+f(-1)恒为奇数，相当于题目中的限制条件“使对任意的x 属于 M，都有 x+f(x) 是奇数”f(-1)=-2,0,2当 x=0 时，x+f(x)=f(0),根据题目中的限制条件“使对任意的x 属于 M，都有 x+f(x) 是奇数”可知 f(0)只能等于 -1 和 1当 x=1 时， x+f(x)=1+f(1)恒为奇数f(1)=-2,0,2综上可知，只有第种情况有限制，所以这样的映射共有323=18

10、 个例 4设集合 A=-1，0，1B=2，3，4，5，6 从 A 到 B 的映射 f 满足条件：对每个 XA有 f（ X） +X 为偶数 那么这样的映射f 的个数是多少？映射可以多对一，要让f （ X） +X偶数，当 X 1 和 1 时，只能从 B 中取奇数，有 3， 5两种可能，当X 0 从 B 中取偶数有2 4 6 三种，则一共有223 12 个以后你学了分步与分类就很好理解啦，完成一件事有两类不同的方案, 在第一类方案中有m种不同的方法 , 在第二类方案中有n 种不同的方法 . 那么完成这件事共有 N=m+n中不同的方法, 这是分类加法计数原理 ; 完成一件事需要两个步骤, 做第一步有

11、m种不同的方法 , 做第二步有 n 种不同的方法 . 那么完成这件事共有 N=mn种不同的方法例 5已知：集合 M a,b,c ， N 1,0,1 ，映射 f : MN 满足 f (a)f ( b)f (c) 0 ，那么映射 f : MN的个数是多少？思路提示： 满足 f (a)f (b)f (c)0 ，则只可能 00 001( 1) 0 ，即 f (a) 、 f (b) 、f (c) 中可以全部为0 ，或 0,1, 1各取一个解： f (a)N, f (b)N,f (c) N ，且 f ( a)f (b)f (c)0有0 0001 (1)0 当 f (a)f ( b)f (c)0 时，只有一

12、个映射；当 f (a)、f (b)、f(c) 中恰有一个为 0 ，而另两个分别为1，1时，有 326 个映射 因此所求的映射的个数为167 例 6给出下列四个对应：其构成映射的是（）A只有B只有C只有D只有答案： B提示：根据映射的概念， 集合 A到集合 B 的映射是指对于集合A中的每一个元素， 在集合 B中都有唯一确定的值与之相对应，故选择B 例 7若函数f ( x) 满足 f (xy)f (x)f ( y)x, yR ，则下列各式不恒成立的（）Af ( 0 )0Bf (3)3 f (1)Cf ( 1 )1 f (1)Df ( x)f ( x)022答案： D提示：令 y0 有 f ( x)

13、f ( x)f (0) ，f (0)0 ， A 正确令 xy1，有 f (3)f (2)f (1)f (1)f (1)f (1)3 f (1)， B 正确令 xy1 ，有 f (1) f ( 1 ) f ( 1) 2 f ( 1 ) ， f ( 1 ) 1 f (1)， C 正确222222令 yx ，则 f (0)f (x)f ( x) 由于 f (0)0 ，f ( x)f (x) ，于是当 xy0 时， f ( x)f ( x)0 ，故 f ( x)f ( x)0 不恒成立，故选D 例 8已知集合P x 0x4 ， Q y 0y2 ，下列不表示从P 到 Q 的映射是（）Af : xy1 x

14、Bf : xy1 x23Cf : xy2 xDf : xyx3答案： C提示： C 选项中 f : xy2 x ，则对于 P 集合中的元素 4，对应的元素 8 ，不在集合 Q 中，33不符合映射的概念例 9集合 A3, 4 ， B5, 6 , 7 ，那么可建立从A到 B 的映射个数是 _，从 B到 A 的映射个数是 _答案： 9 ,8提示：从 A到 B 可分两步进行： 第一步 A 中的元素3 可有 3 种对应方法（可对应 5 或 6 或 7），第二步 A中的元素 4也有这3 种对应方法则不同的映射种数N13 3 9反之从 B到 A，道理相同，有N22 228种不同映射例 10如果函数f ( x

15、)( xa)3 对任意 xR 都有 f (1 x)f (1x)，试求 f (2) f ( 2) 的值解：对任意xR ，总有 f (1x)f (1x) ，当 x 0时应有 f (10)f (10) ，即 f (1)f (1) f (1)0 又 f (x)(xa) 3 ， f (1) (1a) 3 5 / 9故有 (1 a)30（，则a1 f(x) ( x 1)3 f (2) f ( 2)(21)3(21)326【课堂练习】1设 f:A B是集合 A 到集合 B的映射，则正确的是（）A A 中每一元素在B 中必有象B B 中每一元素在A 中必有原象C B 中每一元素在A 中的原象是唯一的D A 中

16、的不同元素的象必不同2集合 A=3,4,B=5,6,7,那么可建立从A 到 B 的映射个数是 _，从 B 到 A 的映射个数是 _.3设集合 A 和 B 都是自然数集 N，映射 f:A B把集合A 中的元素 n 影射到集合 B 中的元素2nn ，则在映射f下，象 20的原象是（） A.2B.3C.4D.54如果 (x,y) 在映射 f 下的象是 (x+y,x-y)，那么 (1,2)在映射下的原象是（）A.（ 3，1） B. （ 3 ,1） C.（1 ,3 ） D. （-1 ，3）22225. 已知点 (x ， y) 在映射 f下的象是 (2x y，2x y) ， 求 (1)点（，）在映射 f

17、下的像；（）点 (4 ， 6) 在映射 f下的原象 .6.设集合 A 1,2,3,k,B 4,7,a 4 ,a2 3a, 其中 a,k N,映射 f:A B，使 B 中元素 y3x 1与 A 中元素 x 对应，求a 及 k 的值 .【综合练习 】一、选择题：1下列对应是从集合 A 到集合 B 的映射的是 （ ） A A=R， B= x|x 0 且 x R ， x A，f：x |x|BA=N ， B=N ， x A， f： x |x 1|CA= x|x0 且 x R ，B=R， x A，f：x x21D A=Q ， B=Q ， f： xx2已知映射f:AB，其中集合A 3， 2， 1， 1， 2

18、，3， 4 ，集合B 中的元素都是A 中的元素在映射f 下的象， 且对任意的a A ，在 B 中和它对应的元素是|a|，则集合 B中的元素的个数是（）A4B5C6D 73设集合A 和 B 都是自然数集合N，映射 f： A B 把集合 A 中的元素n 映射到集合B 中的元素 2n n，则在映射f 下，象 20 的原象是（）6 / 9A 2B 3C 4D 54在 x 克 a%的盐水中，加入y 克 b%的盐水，浓度变成c%(a,b0,a b)，则 x 与 y 的函数关系式是（）A y= c a xB y= c a xcbbcacbcC y=xD y=xbcca5函数 y= 2x3 的值域是（）2 x

19、3A (， 1 )(1， )B (， 1)(1， )C( ， 0 ) (0， )D (， 0) (1， )6下列各组中，函数f(x)和 g(x)的图象相同的是（）A f(x)=x， g(x)=(x )2B f( x)=1 ，g(x)=x0Cf(x)=|x|， g(x)=x 2x, x(0,)D f(x)=|x|， g(x)=x, x(,0)7函数 y=1x2x2 1 的定义域为（）A x| 1x 1B x|x 1 或 x1C x|0 x 1D 1， 18已知函数 f(x)的定义域为2（）0， 1，则 f(x ) 的定义域为A(1，0)B1，1C(0， 1)D 0，19设函数 f(x)对任意 x

20、、y 满足 f(x y)=f(x) f(y)，且 f(2)=4 ，则 f(1) 的值为（）A 21C 1D 2B 210函数 y=2x24x 的值域是（）A2，2B1，2C0，2D 2， 211若 函数 y=x2x4 的定义域为0，m，值域为25 ，-4，则 m 的取值范围是（）4A 0,4B 33D 3， 4C， 3， 22212已知函数 f(x 1)= x 1，则函数 f(x)的解析式为（）A f(x)=x2B f( x)=x2 1(x 1)D f(x)=x2 2x 2(x 1)C f( x)=x2 2x(x 1)二、填空题：7 / 913己知集合A =1 ，2，3，k ， B = 4 ，7，a4，a2 3a ，且 a N* ，x A ，y B，使 B中元素 y=3x 1 和 A 中的元素 x 对应，则 a=_， k =_.14若集合 M= 1，0，1，N= 2，1，0，1，2 ，从 M 到 N 的映射满足： 对每个 x M ，恒使 x f(x)是偶数，则映射 f 有 _个.15设 f(x 1)=3 x 1，则 f(x)=_.16已知函数 f(x)=x2 2x 2，那么 f(1) ，f( 1)，f( 3)之间的大小