高三数学二轮复习专题四第2讲空间中的平行与垂直教案

1、自主学习导引真题感悟1. （2012 浙江）设I是直线，a、卩是两个不同的平面A. 若 I / a, I /卩， U a/B. 若I / a , I丄卩，贝U a丄卩C. 若 a 丄卩，I丄 a,贝U I 丄卩D. 若 a丄卩，I / a ,贝U I丄卩解析 利用线与面、面与面的关系定理判定，用特例法.设a n = a,若直线I / a,且I ?a , I ?卩，则I / a , I /卩，因此a不一定平行于 卩, 故A错误；由于I / a ,故在a内存在直线I / I ,又因为I丄卩，所以I 丄卩，故a丄卩， 所以B正确；若a丄卩，在卩内作交线的垂线I，则I丄a，此时I在平面卩内，因此C错

2、误；已知 a丄卩，若a n = a, I / a,且I不在平面 a ,卩内，贝U I / a且I /卩，因此 D错误.答案 B2. （2012 江苏）如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，州可=A1C1, D E分别是棱 BC CGj上的点（点D不同于点C），且AD丄DE F为B1C|的中点.求证：平面ADE_平面BCCB直线A1F/平面ADE证明 因为ABC A1B1C1是直三棱柱，所以C C1丄平面ABC又AD?平面ABC所以C C1丄AD又因为AD丄DE C C1, DE平面BC q B1,C C1 n DE= E,所以ADL平面BC q B1.又AD?平面ADE所以平面ADEL平面

3、BC q B1.因为A1B1= A1C1, F为B1C1的中点，所以A1FB1C1.因为C C|丄平面Ai Bi Ci，且A|F?平面Ai Bi Ci, 所以C C1丄F.又因为 C Ci, Bi Ci?平面 bc C| Bi, C Ci n Bi Ci = Ci, 所以AF丄平面BC C! Bi.由(i)知ADL平面BC q Bi,所以AiF AD又AD?平面ADE AiF?平面ADE所以AiF平面 ADE考题分析空间线面位置关系的判定与证明是高考的必考考点，多以选择题与解答题的形式出现，难度 中等，解答高考题时，推理过程不完整是失分的重要原因，需引起特别注意.网络构建耳理】丨L厶阻|公理3

4、平面的基倉线与直线平行卜匪空间的平行关系自线与平面平行线直平行的定义线直平行的判定线直平行的忤质 I面直平行前定义平面与平I 面直罕行的判左 面平行I面直平行前性质高频考点突破考点一：线线、线面的平行与垂直【例1】如图，在平行四边形 ABCD中, CD= 1，/ BCD= 60,且 BDLCD正方形 ADEF所在 平面与平面 ABCDt直，G H分别是 DF BE的中点.(1)求证：BDL平面CDE求证：GH/平面CDE 求三棱锥 D- CEF的体积.审题导引(1)先证BDL ED BM CD可证BDL平面CDE 由GH/ CD可证GH/平面CDE变换顶点，求VC DEF规范解答(1)证明四边

5、形ADEF1正方形， EDL AD又平面ADEFL平面ABCD平面ADEA平面 ABCD= AD EDL平面 ABCD - EDL BD又 BDL CD 且 EM DC= D BDL平面 CDE(2) 证明/ G是DF的中点，又易知 H是FC的中点， 在厶 FCD中，GH/ CD又 Ct?平面CDE GH平面CDE GH/平面 CDE(3) 设Rt BCD中 , BC边上的高为h ,/ CD= 1, / BCD= 60 , BDL CD BC=2, BD= 3 , )2X h= 2x 1X 3 ,h=，即点C到平面DEF的距离是-,Vd-cef= VCdef= 1X - X 2x 2x3223

6、【规律总结】线线、线面位置关系证法归纳(1) 证线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利 用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、 面面平行的性质定理进行平行转换.(2) 证线面平行常用的两种方法：一是利用线面平行的判定定理，把证线面平行转化为证线线 平行；二是利用面面平行的性质，把证线面平行转化为证面面平行.(3) 证线面垂直常用的方法：一是利用线面垂直的判定定理，把证线面垂直转化为证线线垂直;二是利用面面垂直的性质定理，把证面面垂直转化为证线面垂直；另外还要注意利用教材中 的一些结论，如：两条平行线中的一条垂直于

7、一个平面，则另一条也垂直于这个平面等.【变式训练】1 . (2012 山东实验中学一诊 )如图，在几何体 ABCDE中，底面ABCD边长为4的正方 形，PAL平面 ABCD PA/ EB 且 PA= 2BE=(1) 证明：BD/平面PEC(2) 若G为BC上的动点，求证： AE! PG证明 连接AC交BD于点O取PC的中点F,连接OF EF,1/ EB/ PA 且 EB= 2PA1又 OF/ PA 且 0F= ?PA EB/ OF,且 EB= OF四边形EBOF为平行四边形， EF/ BD又 EF?平面 PEC BD?平面 PEC - BD/平面 PEC/ EBAZ BAP= 90, EBAA

8、 BAP / PBAfZ BEAZ PBAFZ BAE=Z BEAM BAE= 90, P吐 AE/ PA!平面 ABCD Pa?平面 APEB平面ABC!平面APEB BCL AB,平面 ABCQ 平面 APEB= Ab BCL平面 APEB - BCL AE - AE!平面 PBC G为BC上的动点， PG 平面PBC - AE! PG考点二：面面平行与垂直【例2】如图所示,已知在三棱锥 A- BPC中 , API PC AC!BC M为AB的中点，D为PB的中 点，且厶PMB为正三角形.求证：DM/平面APC求证：平面 ABC_平面APC 若BC= 4 , AB= 20 ,求三棱锥 D-

9、 BCM勺体积.审题导引(1)只要证明M/ AP即可，根据三角形中位线定理可证；证明API BC;(3)根据锥体体积公式进行计算.规范解答(1)证明 由已知，得 皿臾厶ABP的中位线，所以 MD/ AP又MD平面APC AP?平面APC故MD/平面APC 证明 因为 PM助正三角形，D为PB的中点，所以MD_ PB所以API PB又 API Pc PBA PC= P,所以 AP!平面 PBC因为BC?平面PBC所以API BC又 BCL AC AS AF A,所以BCL平面APC因为BC?平面ABC所以平面 ABCL平面APC(3)由题意，可知 MDL平面PBC所以MD是三棱锥D- BCM勺一

10、条高，所以 V- DBC= -X SA bcdX MD= - X2 . 21X5 _ 3 = 10 7.33【规律总结】面面平行与垂直的证明技巧在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，无论是试题本身的已知条件，还是在具体的解题中，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线，而线线平行是平行关系的根本在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视两 个平面垂直的性质定理，这个定理已知的是两个平面垂直，结论是线面垂直.【变式训练】2.如图，在四棱锥 P ABCD，平面 PADL平面

11、 ABCD AB= AD, / BAD= 60, E、F分别是 AR AD的中点.求证：直线EF/平面PCD平面BEFL平面PAD证明 在 PAD中，因为 E, F分别为AP, AD的中点，所以 EF/ PD又因为EF?平面PCD PD?平面PCD所以直线EF/平面PCD（2）如图，连接 BD 因为 AB= AD / BAD= 60,所以 ABD为正三角形.因为F是AD的中点，所以 BF丄AD因为平面 PADL平面 ABCD平面PADn平面 ABCAD BF?平面ABCD 所以BF丄平面PAD又因为BF?平面BEF所以平面 BEFL平面PAD考点三：平面图形的折叠问题【例3】（2012 南京模

12、拟）在厶ABC中，/ BAC= 90,/ B= 60, AB= 1, D为线段BC的中 点，E、F为线段AC的三等分点（如图1） 将 ABD沿着AD折起到 AB D的位置，连接B C如 图2）.图1图2若平面AB DL平面ADC求三棱锥B ADC的体积；记线段B C的中点为 H平面B ED与平面HFD勺交线为I，求证HF/ I ;求证：ADL B E.审题导引(1)解题的关键是根据折叠前后的线面位置关系求得B到平面ADC的距离，可利用线面垂直求得；(2) 线面平行？线线平行；(3) 线面垂直？线线垂直.规范解答(1)在直角 ABC中, D为BC的中点，所以 AD= BD= CD又/ B= 60

13、，所以 ABD是等边三角形.取AD中点0,连接B 0,所以B 0丄AD因为平面 AB D丄平面ADC平面AB DQ平面ADC= ADB 0?平面 AB D,所以B O丄平面ADC在厶ABC中，/ BAC= 90,/ B= 60, AB= 1,D为BC的中点，所以AC= 3 B 0=.所以三棱锥 B ADC勺体积为 V=-x & ad； B C=-.38 证明 因为H为B C的中点，F为CE的中点, 所以 HF/ B E.又HF?平面B ED B E?平面B ED所以HF/平面B ED因为HF?平面HFD平面B EDA平面HFD= l , 所以HF/ l .(3)证明 由知，B O丄ADy/31

14、因为 AE=5, AO= 2,Z DA= 30,所以 EO= pAE+ AO 2AE ACCos 30所以 AO+ EO = AE.所以 ADL EO又B O?平面B所以ADL平面BEQEOEC?平面 B EQ B On EO= 0,又B E?平面BEQ所以 ADL B E.【规律总结】解决翻折问题的注意事项(1) 解决与翻折有关的几何问题的关键是搞清翻折前后哪些量改变、哪些量不变，抓住翻折前 后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口.(2) 把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥,从而把问题转化到我们熟悉 的几何体中去解决.【变式训练】3.如图1,直角梯形 ABC

15、D , AD/ BC / ABC= 90 , E、F分别为AD和BC上的点，且EF/ AB AD= 2AE= 2AB= 4FC= 4.将四边形 EFCD& EF折起成如图2的形状，使 AD= AE求证：BC/平面BFn CF= F, 求四棱锥D- AEFB勺体积.解析 (1)证明 / BF/ AE CF/ DEAEn DE= E,平面CBF/平面DAE又BC?平面CBF BC/平面DAE取AE的中点H ,连接DH/ EFL DE EFL EA EF丄平面 DAE 又 DH?平面 DAE - EFL DH/ AE= DE= AD= 2, DHL AE DH= 3. DHL平面 AEFB则四棱锥D

16、- AEFB的体积V= 1/3 x 2X 2= 43.名师押题高考【押题1】已知直线a、b与平面a、3 ,且bL a ,则下列命题中正确的是若a / a ,贝U aL b；若aL b,贝U a / a ；若b/3 ,贝y aL3 ；若aL3 ,贝U b/ 3 .A.B.C.D.解析 命题，若a /a ,过直线a作一平面Y ,使得a n Y = C ,则由线面平行的性质定理 可得a / c ,又因为bLa , c? a ,所以bL c ,故有aL b,所以该命题为真； 命题，若aL b , bL a ,则直线a与平面a的位置关系有两种：a? a或a / a ,故该命题为假；命题，若b/p，则过直

17、线b作一平面3,使得Sn3= d,则由线面平行的性质定理可得 b/ d，又b丄a，所以d丄a，因为d?卩，所以由面面垂直的判定定理可得a丄卩，故该命题为真；命题，若 a丄卩，b丄a，则直线b与平面卩的位置关系有两种：b?卩或b/ 3 , 故该命题为假.综上，为真命题，故选A.答案 A押题依据线面的平行与垂直，是立体几何的主体内容，在高考试题中通常会有一道解答 题和一道选择题或填空题，主要考查线面位置关系的判定与性质，一般难度不大.n【押题2】如图，在三棱锥 A- BOCK AC丄平面COB/ OAB=Z OA(, AB= AC= 2, BC=6.2, D E分别为AB OB的中点.(1) 求证：COL平面AOBAOC若存在，试确定 F的位置;(2) 在线段CB上是否存在一点 若不存在，请说明理由.解析 证明 因为A8平面COB所以AOh CO ACL BO 即厶AOCfA AOB为直角三角形.n 又因为/ OAB=Z OAC-, AB= AC= 2,6所以 OB= OC= 1.由 OB+ oC= 1 + 1 = 2 = bC,可知 BOC为直角三角形.所以COL BO又因为A6 BO= Q所以COL平面AOB(2)在线