八级数学下册 第一章 三角形的证明 1.2.1 直角三角形课件 （新版）北师大版

1、八年级数学八年级数学下下 新课标新课标 北师北师 第一章第一章 三角形的证明三角形的证明 学习新知学习新知检测反馈检测反馈 1 课堂讲解课堂讲解 u直角三角形中角的关系直角三角形中角的关系 u直角三角形中边角关系直角三角形中边角关系 u逆命题、逆定理逆命题、逆定理 2 课时流程课时流程 逐点逐点 导讲练导讲练 课堂课堂 小结小结 作业作业 提升提升 1知识点知识点直角三角形中角的关系直角三角形中角的关系 想一想想一想 (1) 直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？ (2) 如果如果一个三角形有两个角互余，那么这个一个三角形有两个角互余，那么这个三角

2、形三角形 是直角三角形是直角三角形吗？为吗？为 什么？什么？ 定理定理直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余. 定理定理有两个角互余的三角形是直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形. 如如图，图，在在ABC中，中，C70，B30， ADBC于点于点D，AE为为BAC的平分线，求的平分线，求DAE 的度数的度数 例例 由题意可知，由题意可知， BAC180BC 180307080. AE为为BAC的平分线，的平分线， CAEBAE BAC40. ADBC，ADC90. CAD90C907020. DAECAECAD402020. 解：解： 1 2 总总 结结 三角形中一个角的平分线

3、和过这个角的三角形中一个角的平分线和过这个角的 顶点的高线的夹角等于另外两个角差的绝对顶点的高线的夹角等于另外两个角差的绝对 值的一半值的一半 1 一个三角形三个内角的度数之比为一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则，则 这个三角形一定是这个三角形一定是() A锐角三角形锐角三角形 B直角三角形直角三角形 C钝角三角形钝角三角形 D等腰直角三角形等腰直角三角形 B 2 小明把一副含小明把一副含45，30的直角三角尺如图摆的直角三角尺如图摆 放，其中放，其中CF90，A45，D 30，则，则等于等于() A180 B210 C360 D270 B 2知识点知识点直角三角形中边角关系直角三角

4、形中边角关系 勾股定理勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的平方斜边的平方. A C B 222 ABACBC 反过来反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边 的平方时，我们的平方时，我们曾用曾用度量的办法得出度量的办法得出“这个三角形是直角三这个三角形是直角三 角形角形”的结论的结论.下面我们证明这个结论下面我们证明这个结论. 已知：如已知：如图图 (1)，在，在ABC中中，AB2AC2BC2. 求证求证：ABC是是直角三角形直角三角形 证明：证明：如图如图(2) ，作，作Rt ABC ，使，使 A

5、90 ABAB, ACAC, 则则AB 2AC 2 BC 2（勾股定理）（勾股定理）. AB2AC2BC2 ， BC2 BC 2. BC BC. ABC ABC (SSS). AA90(全等三角形的对应角相等）全等三角形的对应角相等）. 因此，因此， ABC是直角三角形是直角三角形. 例例 A 如图，如图，在在RtABC中，中，C90，AC9， BC12，则点，则点C到到AB的距离是的距离是() 361293 3 ABCD 52544 . 导引：导引：方法一：方法一： C90，AB2AC2BC292122225. AB15. 过点过点C作作CDAB于点于点D，设，设ADx，则，则BD15x.

6、在在RtACD中，中，CD2AC2AD292x2. 在在RtBCD中，中，CD2BC2BD2122(15x)2. 92x2122(15x)2，解得，解得x5.4. CD2925.4251.84. CD7.2 ，即点，即点C到到AB的距离为的距离为 . 36 5 36 5 方法二：方法二：过点过点C作作CDAB于点于点D， 则则S ABC ACBC ABCD， ACBCABCD.又由方法一知又由方法一知AB15， CD ，即点，即点C到到AB的距离为的距离为. 1 2 1 2 91236 155 36 5 总总 结结 应用应用方程思想方程思想求线段的长很常见，而用求线段的长很常见，而用面面 积法

7、积法求线段的长更是简化了计算步骤，使解求线段的长更是简化了计算步骤，使解 题过程变得简明易懂题过程变得简明易懂 1 在在ABC中，已知中，已知AB45，BC3， 求求AB的长的长. 因为因为AB45， 所以所以ABC为等腰直角三角形为等腰直角三角形 所以所以ACBC3. 所以所以 22 3 2ABACBC. 解：解： 2 已知：在已知：在ABC中，中，AB13cm，BC10cm， BC边上的中线边上的中线AD12cm. 求证：求证：ABAC. 如如图，图， 因为因为AD是是BC边上的中线，边上的中线， 所以所以BD BC 10 5(cm) 1 2 解：解： 1 2 在在ABD中中， 因为因为A

8、B13 cm，AD12 cm，BD5 cm， 所以所以AB2AD2BD2. 所以所以ABD为直角三角形所以为直角三角形所以ADBC. 在在RtADC中，中， AC 13(cm)， 所以所以ABAC. 2222 125ADCD 3如图，将两个大小、形状完全相同的如图，将两个大小、形状完全相同的ABC和和ABC拼在拼在 一起，其中点一起，其中点A与点与点A重合，点重合，点C落在边落在边AB上，连接上，连接BC. 若若ACBACB90，ACBC3，则，则BC的长为的长为( ) A3 B6 C3 D. 3 2 21 A 4“赵爽弦图赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，巧妙地利用面积关系证明了勾

9、股定理， 是我国古代数学的骄傲如图所示的是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图赵爽弦图” 是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成 的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为a， 较短直角边长为较短直角边长为b，若，若(ab)221，大正方形的面，大正方形的面 积为积为13，则小正方形的面积为，则小正方形的面积为() A3 B4 C5 D6 C 5 如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都 是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正是正方形，所有的三角形都是直角三角形

10、，若正 方形方形A，B，C，D的边长分别是的边长分别是3，5，2，3，则正，则正 方形方形E的面积是的面积是() A13 B26 C47 D94 C 6我国古代有这样一道数学问题：我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，枯木一根直立地上， 高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其 顶，问葛藤之长几何？顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作题意是：如图，把枯木看作 一个圆柱体，因一丈是一个圆柱体，因一丈是10尺，则该圆柱的高为尺，则该圆柱的高为20尺，尺， 底面周长为底面周长为3尺，有葛藤自点尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕处缠绕

11、而上，绕5周周 后其末端恰好到达点后其末端恰好到达点B处则问处则问 题中葛藤的最短长度是题中葛藤的最短长度是_ 25尺尺 3知识点知识点逆命题、逆定理逆命题、逆定理 观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条 件和结论之间有怎样的关系？第三个定理和第四个件和结论之间有怎样的关系？第三个定理和第四个 定理呢？与同伴交流定理呢？与同伴交流. 再观察下面三组命题：再观察下面三组命题： （1）如果两个角是对顶角，那么它们相等；）如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角如果两个角相等，那么它们是对顶角. （2）如果小明患了肺炎，那么他一定

12、会发烧；）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧； 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎如果小明发烧，那么他一定患了肺炎. （3）一个三角形中相等的边所对的角相等；）一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等一个三角形中相等的角所对的边相等. 上面上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？ 与同伴交流与同伴交流. 1在两个命题中，如果一个命题的条件和结论在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别分别 是是另一个命题的结论和条件，那么这两个另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称命题称 为为互互逆命题逆命题，其中一个命题称为另一

13、个，其中一个命题称为另一个命题的逆命题的逆 命题命题 2如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么那么 它它也是一个定理，其中一个定理称为另一个也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理定理 的逆定理的逆定理，这两个定理称为，这两个定理称为互逆定理互逆定理 例例 判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题 的真假：的真假： (1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (2)如果如果ab，那么，那么a2b2； (3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；如果两个数互为相

14、反数，那么它们的和为零； (4)如果如果ab0，那么，那么a0，b0. 导引：导引： 根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题命题 的的题设和结论部分互换，写出原命题的逆命题，题设和结论部分互换，写出原命题的逆命题，最最 后后判断逆命题的真假判断逆命题的真假 解：解： (1)原命题是真命题逆命题为：如果两条直线原命题是真命题逆命题为：如果两条直线只有只有 一一个交点，那么它们相交逆命题是真命题个交点，那么它们相交逆命题是真命题 (2)原命题是假命题逆命题为：如果原命题是假命题逆命题为：如果a2b2，那么，那么a b.逆命题是假命题逆命题是假命题 (3

15、)原命题是真命题逆命题为：如果两个数的和原命题是真命题逆命题为：如果两个数的和为为 零零，那么它们互为相反数逆命题是真命题，那么它们互为相反数逆命题是真命题 (4)原命题是假命题逆命题为：如果原命题是假命题逆命题为：如果a0，b0， 那么那么ab0.逆命题是真命题逆命题是真命题 总总 结结 写出逆命题的关键是写出逆命题的关键是分清楚原命题的题设和结分清楚原命题的题设和结 论论，然后将它的题设和结论，然后将它的题设和结论交换位置交换位置就得到这个命就得到这个命 题的逆命题判断一个命题是真命题需要进行逻辑题的逆命题判断一个命题是真命题需要进行逻辑 推理，判断一个命题是假命题推理，判断一个命题是假命

16、题只需要举出反例只需要举出反例就可就可 以了以了 总总 结结 判断一个定理是否有逆定理的方法：判断一个定理是否有逆定理的方法：先把定理作先把定理作 为命题，写出它的逆命题，然后判断其逆命题是否正为命题，写出它的逆命题，然后判断其逆命题是否正 确，如果不正确，举一个反例即可；如果是真命题，确，如果不正确，举一个反例即可；如果是真命题， 加以证明即可判断原定理有逆定理加以证明即可判断原定理有逆定理 1 说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假： (1)四边形是多边形；四边形是多边形； (2)两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同旁内角互补； (3)如

17、果如果ab0，那么，那么a0，b0. (1)逆命题：多边形是四边形原命题真，逆命题假逆命题：多边形是四边形原命题真，逆命题假 (2)逆命题：同旁内角互补，两直线平行原命题真，逆命题：同旁内角互补，两直线平行原命题真， 逆命题真逆命题真 (3)逆命题：如果逆命题：如果 a0，b0，那么，那么ab0. 原命题假，原命题假， 逆命题真逆命题真 解：解： 2 下列说法正确的是下列说法正确的是() A每个定理都有逆定理每个定理都有逆定理 B每个命题都有逆命题每个命题都有逆命题 C原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题 D真命题的逆命题是真命题真命题的逆命题是真命题

18、B 3 已知下列命题：已知下列命题： 若若 1，则，则ab； 若若ab0，则，则|a|b|； 等边三角形的三个内角都相等；等边三角形的三个内角都相等； 底角相等的两个等腰三角形全等底角相等的两个等腰三角形全等 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是其中原命题与逆命题均为真命题的个数是() A1个个 B2个个 C3个个 D4个个 a b A (1) 直角三角形角的关系：直角三角形角的关系： 定理定理直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余. 定理定理有两个角互余的三角形是直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形. 1知识小结知识小结 (2)勾股定理及其逆定理：勾股定理及其逆定理： 勾股定理勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的平方斜边的平方. 勾股定理逆定理勾股定理逆定理如果三角形两边的平方和等于如果三角形两边的平方和等于 第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. (3)互逆命题、互逆定理：互逆命题、互逆定理： 一直角三角形的两边长分别为一直角三角形的两边长分别为3和和4，则第三边的长为，则第三边的长为 () A5 B. C. D5或或 易错点：易错点：考虑问题不全面而漏