八级数学下册 第十八章 平行四边形本章总结提升导学课件 （新版）新人教版

1、本本 章章 总总 结结 提提 升升 知识框架知识框架 知识框架知识框架 整合提升整合提升整合提升整合提升 本章总结提升本章总结提升 知 识 框 架 四边形四边形 平行四边形平行四边形 性质：（性质：（1）对边相等；）对边相等； （2）对角相等；（）对角相等；（3） 对角线互相平分对角线互相平分 两组对边分别平行的四边两组对边分别平行的四边 形叫做平行四边形形叫做平行四边形 判定：（判定：（1 1）两组对边分别平行的四边形）两组对边分别平行的四边形 是平行四边形是平行四边形 ；（；（2 2）两组对边分别相等）两组对边分别相等 的四边形是平行四边形的四边形是平行四边形 ；（；（3 3）两组对角）两

2、组对角 分别相等的四边形是平行四边形分别相等的四边形是平行四边形 ；（；（4 4） 对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形 ； （5 5）一组对边平行且相等的四边形是平）一组对边平行且相等的四边形是平 行四边形行四边形 本章总结提升本章总结提升 平行四边形平行四边形 矩形矩形 有一个角是直角有一个角是直角 的平行四边形叫的平行四边形叫 做矩形做矩形 性质：（性质：（1 1）四个角）四个角 都是直角；（都是直角；（2 2）对）对 角线相等角线相等 判定：（判定：（1 1）有一个角是直角的平）有一个角是直角的平 行四边形是矩形行四边形是矩形 ；（；（2 2）对角线相）

3、对角线相 等的平行四边形是矩形等的平行四边形是矩形 ；（；（3 3）有）有 三个角是直角的四边形是矩形三个角是直角的四边形是矩形 菱形菱形 有一组邻边相等有一组邻边相等 的平行四边形叫的平行四边形叫 做菱形做菱形 性质：（性质：（1 1）四角边都相等；（）四角边都相等；（2 2） 两条对角线互相垂直，并且每一两条对角线互相垂直，并且每一 条对角线平分一组对角条对角线平分一组对角 判定：（判定：（1 1）一组邻边相等的平行）一组邻边相等的平行 四边形是菱形四边形是菱形 ；（；（2 2）对角线互相）对角线互相 垂直的平行四边形是菱形垂直的平行四边形是菱形 ；（；（3 3） 四条边相等的四边形是菱形

4、四条边相等的四边形是菱形 本章总结提升本章总结提升 平行四边形平行四边形 正方形正方形 有一组邻边相等的矩形或有一个角是直有一组邻边相等的矩形或有一个角是直 角的菱形是正方形角的菱形是正方形 性质：（性质：（1 1）四条边都相等；（）四条边都相等；（2 2） 四个角都是直角；（四个角都是直角；（3 3）两条对角）两条对角 线互相垂直平分，并且每一条对角线互相垂直平分，并且每一条对角 线平分一组对角线平分一组对角 判定：先证明一个四边形是菱形，判定：先证明一个四边形是菱形， 再证明其是矩形或先证明一个四边再证明其是矩形或先证明一个四边 形是矩形，再证明其是菱形形是矩形，再证明其是菱形 类型之一平

5、行四边形的性质与判定类型之一平行四边形的性质与判定 本章总结提升本章总结提升 平行四边形是一类特殊的四边形，它的性质和判定可以用来解决平行四边形是一类特殊的四边形，它的性质和判定可以用来解决 许多问题，如线段许多问题，如线段( (或角或角) )的相等关系的证明，线段的相等关系的证明，线段( (或角或角) )的计算的计算 等并且为证明三角形全等，特殊三角形问题提供了依据解决等并且为证明三角形全等，特殊三角形问题提供了依据解决 平行四边形问题，常用的辅助线如下：平行四边形问题，常用的辅助线如下： (1)(1)连接对角线，把平行四边形分成两个全等的三角形连接对角线，把平行四边形分成两个全等的三角形

6、(2)(2)过顶点作一边的垂线，将平行四边形分成两个直角三角形和过顶点作一边的垂线，将平行四边形分成两个直角三角形和 一个矩形一个矩形 (3)(3)连接对角线的交点与一边中点，构造三角形中位线连接对角线的交点与一边中点，构造三角形中位线 整 合 提 升 本章总结提升本章总结提升 例例1 1 如图如图1818T T1 1，D D是是ABCABC的边的边ABAB上一点，上一点，CNABCNAB， DNDN交交ACAC于点于点M M，若，若MAMAMC.MC. (1)(1)求证：求证：CDCDANAN； (2)(2)若若ACDNACDN，CANCAN3030，MNMN1 1，求四边形，求四边形ADC

7、NADCN的面的面 积积 图图1818T T1 1 本章总结提升本章总结提升 解析解析 (1) (1) 利用利用“AAS”AAS”或者或者“ASA”ASA”证明证明AMDAMDCMNCMN， 得得ADADCNCN，然后利用，然后利用ADADCNCN，ADCNADCN证明四边形证明四边形ADCNADCN是平行是平行 四边形四边形 (2)(2)利用直角三角形的性质得利用直角三角形的性质得ANAN的长，然后利用勾股定理求的长，然后利用勾股定理求 得得AMAM的长，从而计算出的长，从而计算出RtRtAMNAMN的面积，而的面积，而S S ADCN ADCN 4S4S AMNAMN. . 本章总结提升本

8、章总结提升 本章总结提升本章总结提升 本章总结提升本章总结提升 本章总结提升本章总结提升 【针对训练针对训练】 1 1如图如图1818T T2 2，已知，已知ABCDABCD中，中，F F是是BCBC边的中点，连接边的中点，连接DFDF并延并延 长，交长，交ABAB的延长线于点的延长线于点E.E.求证：求证：ABABBE.BE. 图图1818T T2 2 本章总结提升本章总结提升 本章总结提升本章总结提升 类型之二特殊平行四边形类型之二特殊平行四边形( (如矩形、菱形、正方形如矩形、菱形、正方形) )的性的性 质与判定质与判定 矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平矩形、菱形、正方

9、形都是特殊的平行四边形，它们具有平 行四边形的一切性质，但又有一些特殊的性质它们各自行四边形的一切性质，但又有一些特殊的性质它们各自 的性质可以为证明有关线段相等，角相等，直线平行与垂的性质可以为证明有关线段相等，角相等，直线平行与垂 直等问题提供新的方法和思路在证明一个四边形是矩形、直等问题提供新的方法和思路在证明一个四边形是矩形、 菱形、正方形时，要选择恰当的方法，灵活解决问题菱形、正方形时，要选择恰当的方法，灵活解决问题 本章总结提升本章总结提升 例例2 2 如图如图1818T T3 3，矩形，矩形ABCDABCD中，中，O O是对角线是对角线ACAC，BDBD的交的交 点，过点点，过点

10、O O的直线的直线EFEF与与ABAB，CDCD的延长线分别交于点的延长线分别交于点E E，F.F. (1)(1)求证：求证：BOEBOEDOFDOF； (2)(2)如图如图1818T T4 4，当，当EFEF与与ACAC满足什么关系时，以满足什么关系时，以A A，E E，C C， F F为顶点的四边形是菱形？证明你的结论为顶点的四边形是菱形？证明你的结论 图图1818T T3 3 图图1818T T4 4 本章总结提升本章总结提升 解析解析 (1) (1)由矩形对角线互相平分及平行线的内错角由矩形对角线互相平分及平行线的内错角 相等得到相等得到BOEBOEDOF.DOF. (2)(2)当当E

11、FACEFAC时，四边形时，四边形AECFAECF是菱形，可先证四边形是菱形，可先证四边形 AECFAECF是平行四边形再推出它是菱形是平行四边形再推出它是菱形 本章总结提升本章总结提升 解：解：(1)(1)证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是矩形，是矩形， OBOBODOD，AECFAECF， E EF F，OBEOBEODFODF， BOEBOEDOF.DOF. (2)(2)当当EFACEFAC时，四边形时，四边形AECFAECF是菱形是菱形 证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是矩形，是矩形， OAOAOC.OC. 又又BOEBOEDOFDOF，OEOEOFOF， 四边形四边形

12、AECFAECF是平行四边形是平行四边形 又又EFACEFAC，平行四边形平行四边形AECFAECF是菱形是菱形 本章总结提升本章总结提升 【归纳总结归纳总结】 特殊平行四边形的判定方法：特殊平行四边形的判定方法： 判定一个四边形是矩形、菱形或正方形时，可以先判定这判定一个四边形是矩形、菱形或正方形时，可以先判定这 个四边形是平行四边形，再结合图形，根据条件，灵活选个四边形是平行四边形，再结合图形，根据条件，灵活选 择合适的方法择合适的方法 本章总结提升本章总结提升 【针对训练针对训练】 2 2如图如图1818T T5 5，在正方形，在正方形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC上取一点上取

13、一点E E，使，使CECE CDCD，过点，过点E E作作EFACEFAC交交ADAD于点于点F.F. 求证：求证：AEAEEFEFDF.DF. 图图1818T T5 5 解析解析 连接连接CFCF，证，证CDFCDFCEFCEF，得，得DFDFEF.EF.可证可证 AEAEEFEF，故，故AEAEEFEFDF.DF. 本章总结提升本章总结提升 证明：如图，连接证明：如图，连接CFCF，在正方形，在正方形ABCDABCD中，中，D DDABDAB 9090，ACAC平分平分DABDAB， DACDACCABCAB4545. . 又又EFACEFAC， DACDACAFEAFE4545， AEA

14、EEF.EF. 在在RtRtCEFCEF和和RtRtCDFCDF中，中， CECECDCD，CFCFCFCF， RtRtCEFRtCEFRtCDF(HL)CDF(HL)， EFEFDFDF，AEAEEFEFDF.DF. 本章总结提升本章总结提升 点评点评 本题考查的是正方形的性质，解题中易忽视本题考查的是正方形的性质，解题中易忽视AEFAEF 是等腰直角三角形解题的关键是证是等腰直角三角形解题的关键是证AEFAEF是等腰直角三是等腰直角三 角形，连接角形，连接CFCF，证，证CDFCDFCEF. CEF. 本章总结提升本章总结提升 类型之三特殊四边形的折叠问题类型之三特殊四边形的折叠问题 折叠

15、问题是轴对称与等腰三角形、直角三角形、矩形、菱折叠问题是轴对称与等腰三角形、直角三角形、矩形、菱 形等图形的性质的综合运用，不论折叠的形式怎样，折痕形等图形的性质的综合运用，不论折叠的形式怎样，折痕 所在的直线一定为图形的对称轴在解答此类问题时应注所在的直线一定为图形的对称轴在解答此类问题时应注 意：意：(1)(1)在分析图形变换的过程中充分利用轴对称的性质；在分析图形变换的过程中充分利用轴对称的性质； (2)(2)折叠前后的图形能够完全重合，所以对应边相等、对折叠前后的图形能够完全重合，所以对应边相等、对 应角相等；应角相等；(3)(3)计算时常利用勾股定理来建立方程或由面计算时常利用勾股定

16、理来建立方程或由面 积求解积求解. . 本章总结提升本章总结提升 例例3 3 现有一张矩形纸片现有一张矩形纸片ABCDABCD，如图，如图1818T T6 6所示，其中所示，其中ABAB4 4 cmcm，BCBC6 cm6 cm，E E是是BCBC的中点实际操作：将纸片沿直线的中点实际操作：将纸片沿直线AEAE折叠，折叠， 使点使点B B落在四边形落在四边形AECDAECD内，记为点内，记为点B.B. (1)(1)请用尺规，在图中作出请用尺规，在图中作出AEB(AEB(保留作图痕迹保留作图痕迹) )； (2)(2)试求试求BB，C C两点之间的距离两点之间的距离 本章总结提升本章总结提升 解析

17、解析 (1) (1)只要作出点只要作出点B B关于直线关于直线AEAE的对称点的对称点BB，连接，连接ABAB， EBEB即可即可 (2)(2)由对称的性质和条件，知由对称的性质和条件，知BEBEBEBEECEC，因而有，因而有EBBEBB EBBEBB，EBCEBCECB.ECB.由三角形内角和定理可得到由三角形内角和定理可得到 BBCBBC9090，这时，这时BBCBBC为直角三角形，在为直角三角形，在RtRtABEABE中利中利 用勾股定理和面积公式求出用勾股定理和面积公式求出BFBF的长，易得的长，易得RtRtBBCBBC的直角边的直角边 BBBB的长，再利用勾股定理不难求出的长，再利

18、用勾股定理不难求出BCBC的长的长 本章总结提升本章总结提升 解：解：(1)(1)如图所示如图所示 (2)(2)如图如图1818T T7 7，连接，连接BBBB，设，设BBBB与与AEAE交于点交于点F.F. 因为点因为点B B，BB关于直线关于直线AEAE对称，对称， 所以所以BEBEBEBE， 所以所以EBBEBBEBB.EBB. 因为因为BEBEECEC，所以，所以BEBEECEC， 所以所以ECBECBEBC.EBC. 因为因为EBBEBBEBBEBBEBCEBCECBECB180180， 所以所以BBCBBC9090. . 本章总结提升本章总结提升 因为因为BCBC6 cm6 cm，

19、E E是是BCBC的中点，的中点， 所以所以BEBE3 cm.3 cm. 本章总结提升本章总结提升 【归纳总结归纳总结】 几何图形的折叠问题与轴对称的知识紧密几何图形的折叠问题与轴对称的知识紧密 相连，解决它有两个相连，解决它有两个“秘诀秘诀”：(1)(1)折痕两边折叠部分是折痕两边折叠部分是 全等的全等的( (对应边、对应角相等对应边、对应角相等) )；(2)(2)折叠的某点与所落位折叠的某点与所落位 置点所连线段被折痕垂直平分掌握上述两个置点所连线段被折痕垂直平分掌握上述两个“秘诀秘诀”便便 可使折叠问题迎刃而解可使折叠问题迎刃而解 本章总结提升本章总结提升 【针对训练针对训练】 3 3如

20、图如图1818T T7 7，把矩形，把矩形ABCDABCD沿沿EFEF翻折，点翻折，点B B恰好落在恰好落在ADAD边边 的点的点BB处，若处，若AEAE2 2，DEDE6 6，EFBEFB6060，则矩形，则矩形ABCDABCD的面积的面积 是是( () ) 图图18T7 D D 本章总结提升本章总结提升 本章总结提升本章总结提升 类型之四特殊四边形中的探究问题类型之四特殊四边形中的探究问题 有关特殊四边形中的探究问题是涉及特殊四边形的几有关特殊四边形中的探究问题是涉及特殊四边形的几 何动态型问题，考查同学们自主探索、发现问题、总何动态型问题，考查同学们自主探索、发现问题、总 结规律的能力结

21、规律的能力 本章总结提升本章总结提升 例例4 4 如图如图1818T T8 8，在四边形，在四边形ABCDABCD中，点中，点H H是边是边BCBC的中点，的中点， 作射线作射线AHAH，在线段，在线段AHAH及其延长线上分别取点及其延长线上分别取点E E，F F，连接，连接BEBE， CF.CF. (1)(1)请你添加一个条件，使得请你添加一个条件，使得BEHBEHCFHCFH，你添加的条件，你添加的条件 是是_，并证明；，并证明； (2)(2)在问题在问题(1)(1)中，当中，当BHBH与与EHEH满足满足 什么关系时，四边形什么关系时，四边形BFCEBFCE是矩形？是矩形？ 请说明理由请

22、说明理由 图图18T8 本章总结提升本章总结提升 解：解：(1)(1)添加条件：添加条件：BECF(BECF(答案不唯一答案不唯一) ) 证明：如图，证明：如图，BECFBECF，1 12.2. 点点H H是边是边BCBC的中点，的中点，BHBHCH.CH. 又又3 34 4， BEHBEHCFH.CFH. 本章总结提升本章总结提升 (2)(2)当当BHBHEHEH时，四边形时，四边形BFCEBFCE是矩形理由如下：是矩形理由如下： 如图，连接如图，连接BFBF，CE.CE.BEHBEHCFHCFH， BHBHCHCH，EHEHFHFH， 四边形四边形BFCEBFCE是平行四边形是平行四边形 又又BHBHEHEH，BCBCEFEF， 四边形四边形BFCEBFCE是矩形是矩形 本章总结提升本章总结提升 【针对训练针对训练】 4 4(1)(1)如图如图1818T T9 9，在正方形，在正方形AB