用matlab研究定点投篮命中率问题

1、Matlab课题用 matlab研究定点投篮命中率问题组长：易冬泉组员：福林组员：龚向鹏1 、先只考虑球心对框心的点对点的投篮，合理假设，建立适当的模型，用matlab解出出手速度和出手方向的围2 、然后考虑球的大小和框的大小进行投篮，球入筐时可以偏离框心，在此基础上建立模型，用 matlab解出出手速度、 角度及其最大偏值3 、最后针对实际情况， 考虑空气阻力， 设阻力与速度成正比，比例系数不超过0.05 ，建立适当的物理模型，在用matlab解出出手速度和出手方向的围问题的求解：模块 1 分析：不考虑篮球和篮筐的大小，不考虑空气阻力大小的影响，从未出手时的球心P为坐标原点，x轴为水平方向，

2、 y 轴为竖直方向，篮球在 t=0 时以出手速度 v和出手角度投出，可视为质点的斜抛运动，其运动方程为：其中 g是重力加速度，由此可得球心的运动轨迹如下抛物线以x=L ， y=H-h 代入 式，就得到了球心命中框心的条件可以看出，给定出手速度v和出手高度 h ，就有两个满足条件，而式有解的前提为：可解得：于是对于一定的出手高度h ，使 式等号成立的 v为最小的出手速度球入篮筐处的入射角度为，可从下式得到：dytandx这里的导数由 式计算代入后得对应，有1， ,2，设122( Hh)tantan7L求解的代码见附录1表 1 对于不同的出手速度和出手高度的出手角度和入射角度速度高度最大出手角 1

3、最小出手角对应入框角 1对应入框角 28.00001.800062.409953.876342.792520.92138.00001.850062.777954.887641.843020.49158.00001.900063.117455.820640.918820.14318.00001.950063.433056.686540.015619.86498.00002.000063.728157.494139.130019.64788.00002.050064.005458.250538.259419.48478.00002.100064.267058.961537.401719.36988

4、.50001.800067.697562.172637.504912.62508.50001.850067.866362.692236.754612.68708.50001.900068.028863.188436.007512.77538.50001.950068.185463.663235.263212.88828.50002.000068.336764.117934.521413.02408.50002.050068.482964.554133.781913.18118.50002.100068.624464.972933.044413.35839.00001.800071.069767

5、.142634.13277.65509.00001.850071.173667.475633.44737.90359.00001.900071.274967.797432.76148.16639.00001.950071.373668.108632.07508.44289.00002.000071.470068.409831.38818.73219.00002.050071.564168.701430.70069.03389.00002.100071.656168.984030.01279.3472注：速度单位均为m/s ，高度单位均为m ，角度单位均为模块 2 分析：dAOxBD图2图3考虑

6、篮球和篮筐的大小，如图2 ，若入射角太小，则球无法入筐。由图不难看出，球心命中筐心的条件为d（ 8 ）sinD将 d =24.6cm， D =45.0cm代入得 33.1o 。由此对表1 进行筛选，可得下表：表 2.1 对于不同的出手速度和出手高度的出手角度和入射角度速度 v高度 h出手角度入射角度 8.00001.800062.409942.79258.00001.850062.777941.84308.00001.900063.117440.91888.00001.950063.433040.01568.00002.000063.728139.13008.00002.050064.2670

7、37.40178.00002.100064.267037.40178.50001.800067.697537.50498.50001.850067.866336.75468.50001.900068.028836.00758.50001.950068.185435.26328.50002.000068.482935.26328.50002.050068.482933.78199.00001.800071.069734.13279.00001.850071.173633.4473由图 3 看出，球入筐时球心可以偏前（偏后与偏前一样）的最大距离x 为Dd）x =（ 922sin在（ 2 ）式中，用

8、yHh 代入，可得2xgx tanh 0（10 ）2v2cos2对求导并令 xL ，就有dxL(v2gL tan )x L（11 ）dgL v2 sin cos用x 近似代替左边导数，即可得到出手角度的偏差与x 的以下关系gL v2 sin cos（12 ）Lv( 2xgL tan )由和已经得到的也可以求得相对偏差。类似的，（10）式对 v 求导并令 xL ，可得出手速度允许的最大偏差vgLv2 sin cosv x（13）gL2由（ 12 ）和（ 13 ）式 v 的相对偏差为vv2（14 ）(tan )vgL编程实现见附录2计算结果表 2.2 ：出手角度和出手速度最大偏差出手速度高度 h出

9、手角度偏差 aa偏差 vv相对偏差相对偏差va|aa/a|vv/v|8.00001.800062.4099-0.76520.05280.00660.01231.850062.7779-0.74920.05480.00690.01191.900063.1174-0.73490.05670.00710.01161.950063.4330-0.72190.05850.00730.01142.000063.7281-0.71000.06010.00750.01112.050064.0054-0.69890.06160.00770.01092.100064.2670-0.68870.06300.0079

10、0.01078.50001.800067.6975-0.56030.06940.00820.00831.850067.8663-0.55520.07050.00830.00821.900068.0288-0.55030.07150.00840.00811.950068.1854-0.54560.07250.00850.00802.000068.3367-0.54110.07340.00860.00792.050068.4829-0.53670.07430.00870.00782.100068.6244-0.53240.07520.00880.00789.00001.800071.0697-0.

11、45700.08030.00890.00641.850071.1736-0.45420.08110.00900.00641.900071.2749-0.45150.08180.00910.00631.950071.3736-0.44890.08250.00920.00632.000071.4700-0.44630.08320.00920.00622.050071.5641-0.44370.08390.00930.00622.100071.6561-0.44130.08450.00940.0062模块 3 分析：投球示意图如图分别为不考虑球和球框和考虑球和球框的大小的示意图由于阻力与速度成正比，

12、故有：dxfkdt水平方向由牛顿第二定律有：2d x联立上面两式，有：d2 xkdxm20dtdt初始条件：x(0)0.水平方向速度的初条件：x(0)vcos()综上（ 17 ） （19 ）式，即可建立二次微分方程，为解决这个方程，采用如下代码：syms x y v t theta kx =v*t*cos(theta)y=dsolve(m*D2x+k*Dx=0,x(0)=0,Dx(0)=v*cos(theta),t) y =v*cos(theta)/k-v*cos(theta)/k*exp(-k*t)简化为：simple(y)simplify:ans =(1-exp(-k*t)*m*v*cos

13、(theta)/k即：x(t)(1e kt )mv cos( ) / k对 ekt进行泰勒展开为：a=taylor(exp(-k*t),3)a =1-k*t+1/2*k2*t2将 a 代入 (1-exp(-k*t)*v*cos(theta)/k得：(1-a)*v*cos(theta)/kans =(k*t-1/2*k2*t2)*v*cos(theta)/k扩展得到：expand(ans)ans =v*cos(theta)*t-1/2*v*cos(theta)*k*t2即x(t)m(vt cos()1 vkt 2 cos( )2y(t)vt sin( )1 gt 22水平位移为L ，竖直位移为（

14、H-h ）；即有：Lm(vt cos()1vkt 2 cos( )21Hh vt sin()gt 22求解程序见附录3其结果为（结合了第二问）：表 3有无阻力时对应的出手角度比较速度高度 h/m出手角度 / 无阻力时出手角度 / v/m/s1.800060.786962.40991.850061.218362.77791.900061.610063.117481.950061.969363.4330262.301763.72812.050062.611364.00542.100062.901264.26701.800066.571867.69751.850066.751667.86631.90

15、0066.924368.02888.501.950067.090468.1854267.250468.33672.050067.404868.48292.100067.554068.62441.800070.119771.06971.850070.227771.17361.900070.332871.274991.950070.435371.3736270.535271.47002.050070.632771.56412.100070.727971.6561结果分析：1 、速度一定时，出手高度越大，出手角度应越大，但随着速度的增加，高度对角度的影响变小，这种情形在 1 度左右；出手高度一定时，

16、速度越大，出手角度也应越大， 速度的影响在 79 度左右。（见表 1）2 、出手角度和出手速度的允许偏差总的来看，允许偏差都比较小；进一步分析可知，出手高度一定，速度越大，角度的允许偏差越小，速度的允许偏差越大，且对角度的要求比对速度的要求严格，出手速度一定，高度越大，虽然也是高度的允许偏差越小，速度的允许偏差越大，但这时角度和速度的要求都相对较低（见表 2.2 ）3 、考虑空气阻力的影响对同样的出手速度和高度，考虑阻力影响时出手角度要大一些，约 12 度（见表 3 ）附录1 、第一问代码：% 对于出手速度v=8.09.0m/s和出手高度h=1.82.1m,由 (3) 式% 计算出手角度 a1

17、,a2, 由 (7) 式计算出入射角度 b1,b2, 结果见表 1 clear;clc;H=3.05;h=1.8:0.05:2.1;L=4.6;g=9.8;input( 高度 出手角 1 出手角 2 入框角 1 入框角 2);% v=sqrt(g*(H-h+sqrt(L*L+(H-L)2);for v=8.0:0.5:9.0;for h=1.8:0.05:2.1;% 求球在出手时球心的出射角a=atan(v.2/(g*L).*(1+sqrt(1-2*g./v.2.*(H-h+g*L2./(2.*v.2);b=atan(v.2/(g*L).*(1-sqrt(1-2*g./v.2.*(H-h+g*

18、L2./ (2.*v.2);a11=max(a,b);a21=min(a,b);a1=180.*a11/pi;a2=180.*a21/pi;% 求球入框时的入射角b11=atan(tan(a11)-2.*(H-h)/L);b21=atan(tan(a21)-2.*(H-h)/L);b1=180.*b11/pi;b2=180.*b21/pi;R = v h a1 b1 a2 b2endEnd2 、第二问代码：代码： % 求出手时最大偏移距离% 求出手时最大偏移角D=0.45;d=0.246;H=3.05;L=4.6;g=9.8;input( 出手速度高度 出手角度偏差 a 偏差 v 相对偏差 a

19、 相对偏差 v);for v=8.0:0.5:9for h=1.8:0.05:2.1a1=atan(v.*v./(g.*L).*(1+sqrt(1-2.*g./(v.*v).*(H-h+g.*L.*L./(2.*v.*v);a=180.*a1/pi;b11=atan(tan(a1)-2.*(H-h)/L);b=180.*b11/pi;xx=D/2-d/sin(b11)/2;%xx为aa1=(g*L-v.*v.*sin(a1).*cos(a1).*xx./L./(v.*v-g.*L.*tan(a1);%aa为aa=aa1*180/pi;vv=(g.*L-v.*v.*sin(a1).*cos(a1).*xx.*v/(g*L2)