应用举例其他问题

1、 1.2应用举例其他问题教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题，掌握三角形的面积公式的简单推导和应用过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理 的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维， 有利地进一步突破难点。情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解， 提高创新能力；进一步培养学生研究和发

2、现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验教学重点推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目教学难点利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题教学过程I.课题导入 创设情境 师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在ABC中,边BC CA AB上的高分别记为ha、hb、hc，那么它们如何用已知边和角表示？生: ha =bsin C=csin Bhb=csin A=asin Chc=asin B=bsina Ac师：根据以前学过的三角形面积公式S=1 ah,应用以上求出的高的公式如ha =bsin C代入，2可以推导出下面的三角形面积公式，S=1 absin C,

3、大家能推出其它的几个公式吗？2生：同理可得， S= bcsin A, S= 1 acsinB2 2师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解n .讲授新课 范例讲解例1、在丄ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1cm2 ）(1) 已知 a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5(2) 已知 B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;(3) 已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三

4、角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。解：(1)应用 S= acsinB，得21 42S= 14.8 23.5 sin148.5 90.9(cm )2(2)根据正弦定理，b = csinBsin Cc= bs inCsin BS = 1 bcsin A = 1 b2 sinCsinA22sin BA = 180-(B + C)= 180-(62.7+ 65.8)=51.5sin 62.7S = 3.16 2弘65.8 弘5 -4.0(cm 2)2(3)根据余弦定理的推论，得c2 +a2 _b2 cosB =2ca2

5、 2 2 =38.72 +41.42 -27.32 =2 38.7 41.40.7697sinB =.1 -cos2 B .1 -0.76972 0.63841应用 S=-acsinB，得21 2S 41.438.70.6384 511.4(cm)2例2、如图，在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？(精确到0.1cm 2) ?师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。 由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲

6、评小结。解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，c2 a2 _b2cosB=2ca1272682 -882疋 0.75322 127 68sinB= . 1 0.753220.6578应用 S= acsinB21 2S 68 127 0.6578 2840.38(m)2答：这个区域的面积是2840.38m 2 。例3、在.：ABC中，求证:(1)a2 b2 sin2 A sin2 B2 csin2 C2 2 2(2) a +b +c =2 (bccosA+cacosB+abcosC)分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题, 用正弦定理来证明证明：(1)根据正弦

7、定理，可设a = b = c = ksi nAsi nBsi nC显然k =0,所以观察式子左右两边的特点,联想到左边=2 2 2 2k sin A k sin B_ r2-_k sin Csin2 A sin2 Bsin2 C=右边(2)根据余弦定理的推论,右边=2(bc2 2 2 2 2 2b c -a c a -b+ca 2bc2ca+abb2-c22ab=(b2 +c2- a 2)+(c 2+a2-b 2)+(a 2+b2 -c 2)=a2+b 2+c2 =左边变式练习1:已知在ABC中，/ B=30 ,b=6,c=6 3 ,求a及厶ABC的面积S提示：解有关已知两边和其中一边对角的问

8、题，注重分情况讨论解的个数。答案：a=6,S=9、3；a=12,S=18、3变式练习2:判断满足下列条件的三角形形状，(1) acosA = bcosB(2) sinC = sin A sinBcosA +cosB提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”(1)师：大家尝试分别用两个定理进行证明。生1:(余弦定理)得.2 2 2 2 2,2b +c -a c +a -b a=b2bc2ca.c2(a2 _b2)=a4 _b4=(a2 b2)(a2 _b2) .a2 =b2或c2 =a2 b2.根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形生2:(正弦定理)得sin AcosA=s in

9、 BcosB,.sin2A=sin2B,.2A=2B,.A=B.根据边的关系易得是等腰三角形 师：根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考， 谁的正确呢？生：第一位同学的正确。第二位同学遗漏了另一种情况，因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角互补，即 2A+2B=180，A+B=90(2)(解略)直角三角形 川.课堂练习课本第21页练习第1、2题IV .课时小结利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。V

10、.课后作业课本第23页练习第12、14、15题板书设计授后记另类教学过程：一、创设情景，发现创新画一个三角形图形，标明角、边上的字母，写出正、余弦定理公式。三角形中一边与其对角正弦的比是一个常数，这个常数是什么？有何几何意义？ 作一个圆及其内接任意三角形，证明所得结论。三角形中通常要计算其角的大小、边的长度，除此之外，通常还有哪些量需要计算? 面积！三角形的面积如何计算？S= a ha = b hb = c hc2 2 2哪些图形的面积计算公式与三角形面积公式形式是一致的?扇形面积：S=2|r,圆锥侧面积：S=-cl2 2如果已知一个三角形的两边及其夹角，如何计算出它的面积?111S= abs

11、 inC= acsinB= bcsinA222二、尝试应用，熟悉结论1 . ABC中，求证：(1)b2 c2 _ sin2 B sin2 C a2sin 2 A2 2 2(2) a + b + c =2 (bccosA + accosB + abcosC)任何一个问题，首先我们得充分挖掘出它所提供给我们的信息，即要能读懂它暗示的东西。实际上，我们若能读懂自然的暗示， 那就能成为一个伟大的科学家； 若能读懂社会交往中的 暗示，那就一定会成为社会中最成功者。 我们在电视剧西游记 中见过的一个很有名的暗 示，它是什么？师傅在孙悟空的头上叩三下，孙悟空半夜三更跑到师傅暗示的地方接受师傅的指点。假若他没

12、有读懂师傅所给的暗示，也就不可能有后面的故事。那么本问题中所证等式给我们解决它提供了些什么暗示呢？2.A ABC中，acosA=bcosB，判断它的形状。判断其形状，即是指明它是等边、等腰、直角三角形等等。等腰三角形。显然，若a=b,即等腰三角形符合条件要求。那是不是一定是等腰三角形呢？怎么样作出合理的推导？混合物纯净化，即边角从前一问题看，它实际上告诉了我们处理这类问题的一种思考方法: 关系的混杂式全向边转化，或全向角转化。注意到条件中等式的角以余弦形式出现，联系余弦定理。(1) a xb2c2 -a22bc=bxc22ac2 . 2 2 2 . 2 2 2 . 2即：a ( b + c a ) =b ( a + c b2 2 2 4 4 c ( a b ) ( a b ) =0/ 2 2、/222、 c(a b ) ( c a b ) =0a =b，或