高数和微积分PPT课件：微分方程7-2可分离

1、第二节可今南变董楸今方程dydx可分离变量方程=/l（%）/2（y） M（x）2（J）dx+Nx） N2（y）dy = 0转化V解分离变量方程9（y）dy = fdx例:L求微分方程 =尹的通解.说明：在求解过程中 每一步不一定是同解 变形，因此可能增、 减解.dx解：分离变量得= 3x2 dx两边积分y得 In尹=或= eClex3= |3x2 dx=x3 + Q3In y即 y = e令 C = eC1y = Cex3（C为任意常数）（此式含分离变量时丢失的解j = 0）例2解初值问题X 1vdxl + x2I两边积分得Zd宀+ ln CxyAx + x2 +1) dj = 0 2p) =

2、 i 解：分离变量得3 =pJF+i =c （C为任意常数）由初始条件得C=l,故所求特解为八/兀2 +1 =1例3求下述微分方程的通解:yf = sin2（x-y + l）解：令况=兀一尹+ 1，贝Uu=l-yf故有-u - sin2 u2j即sec u du =解得tan u-x + C所求通解:tan（x 尹+ 1） = x + C （ C为任意常数）练习：求方程 = 的通解.dx解法1分离变量幺一歹3dxe=ex+C即(，+C0+l = O (C0)(初始条件)对万程分离变量，然后积分：冷二”0WlnM = -2/ + lnC?即 M = CeAt 利用初始条件，得C = M0 故所求

3、铀的变化规律为M =M e .例5设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 成正比，并设降落伞离开跳伞塔时(二0)速度为0,求降落伞下落速度与时间的函数关系.解:根据牛顿第二定律列方程初始条件为vt=o = 0 对方程分离变量，然后积分：f得-yln(mg-kv) = -Ckmdvm =mg - kvdtdv _ rdt mg -kv J m（止匕处mg-kv 0）利用初始条件，得C = -In(mg)k_ kt足够大时k)代入上式后化简,得特解v = -(1 e m内容小结1 微分方程的概念微分方程；阶；定解条件；解；通解;特解说明:通解不一定是方程的全部解.例如，方程（兀+尹）j/ = o

4、有解y二一兀及y - C后者是通解，但不包含前一个解2. 可分离变量方程的求解方法:分离变量后积分；根据定解条件定常数3. 解微分方程应用题的方法和步骤（1）找岀事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程 常用的方法：1）根据几何关系列方程2）根据物理规律列方程3）根据微量分析平衡关系列方程（2）利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件（3）求通解，并根据定解条件确定特解.思考与练习 求下列方程的通解:(1) (x + xy2)dx-(x2y + y)dy = 0(2) y + sin(x +y) = sin(x y)提示：(1)分离变量 一dy =匸ydx1+尹1+X(2)方程变形为 yr = -2 cos x sin yy.i In tan =2smx + C2dd亍-F(x.y)cosx = - F(x,y)y sin x exoy即 -Fx cosx + sinx = Fyy sinx +Fsinfy11 XF、,1_y=y tan xrfy = y tan 兀、儿=0 =11a 尹=sec xcosx备用题 已知曲线积分 Ly） y sin xdx - cos xdy与路