Matlab-详解导数及偏导数运算(1)

1、.1 实验3 导数及偏导数运算 .2 实验目的： 1. 进一步理解导数概念及几何意义； 2. 学习Matlab的求导命令与求导法。 .3 l学习 Matlab 命令 l导数概念 l求一元函数的导数 l求多元函数的偏导数 l求高阶导数或高阶偏导数 l求隐函数所确定函数的导数与偏导数 实验内容： .4 1. 学习Matlab命令 建立符号变量命令 sym 和 syms 调用格式： x=sym(x)x=sym(x)建立符号变量 x； syms x y zsyms x y z 建立多个符号变量 x,y,z； .5 Matlab 求导命令 diffdiff 调用格式： diff(f(x)diff(f(x

2、)，求 的一阶导数 ；)(x f )(xf diff(f(x),n)diff(f(x),n)， diff(f(xdiff(f(x，y), x)y), x)， 求 对 x 的一阶偏导数 ； x f ),(yxf );()( )( xfnxf n 阶阶导导数数的的求求 .6 diff(diff(函数函数f(xf(x，y),y),变量名变量名 x,n)x,n)， 求 对 x 的 n 阶偏导数 ； n n x f ),(yxf jacobian(f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z),x,y,z)jacobian(f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z),x,y,z) mat

3、lab 求雅可比矩阵命令 jacobian，调用 格式： .7 z h y h x h z g y g x g z f y f x f .8 2. 导数的概念 导数为函数的变化率，其几何意义是曲线在一 点处的切线斜率。 1). 点导数是一个极限值 .9 例1 . ；，用用定定义义计计算算设设函函数数)0()(fexf x 解： x xfxxf xxf x )()( lim )( 00 0 0 的导数定义为极限的导数定义为极限在某一点在某一点 ，输入命令：，输入命令：我们记我们记xh syms h; limit(exp(0+h)-exp(0)/h,h,0) ans=1 。可可知知结结果果1)0(

4、 f .10 2). 导数的几何意义是曲线的切线斜率 画出 在x=0处(P(0,1)的切线及若 干条割线，观察割线的变化趋势. 例2 x exf )( 解解:在曲线 上另取一点 ， 则PM的方程是: x exf )(),( h ehM 0 1 0 1 h e x y h 1 1 x h e y h 即 .11 取h=3,2,1,0.1,0.01，分别作出几条割线. h=3,2,1,0.1,0.01;a=(exp(h)-1)./h;x=-1:0.1:3; plot(x,exp(x),r);hold on for i=1:5; plot(h(i),exp(h(i),r.) plot(x,a(i)*

5、x+1) end axis square 作出y=exp(x)在x=0处的切线y=1+x plot(x,x+1,r) .12 从图上看，随着M与P越来越接近，割线PM越来越接 近曲线的割线. .13 3. 求一元函数的导数 例3 . 的的导导数数；求求 x x y sin 1) y=f(x)的一阶导数 解： 输入指令 syms x; dy_dx=diff(sin(x)/x) 得结果: dy_dx=cos(x)/x-sin(x)/x2dy_dx=cos(x)/x-sin(x)/x2. pretty(dy_dx) cos(x) sin(x) - - - x 2 x .14 的的导导数数；求求)ln

6、(sinxy 在 matlab中，函数 lnx 用 log(x)表示， log10(x) 表示 lgx。 例4 解：输入指令 syms x; dy_dx=diff(log(sin(x) 得结果: dy_dx=cos(x)/sin(x)dy_dx=cos(x)/sin(x). .15 的的导导数数；求求 202 )2(xxy 例5 解：输入指令 syms x; dy_dx=diff(x2+2*x)20) 得结果: dy_dx=20*(x2+2*x)19*(2*x+2). .16 .lnln;4 ;2cos2cos ;52 4 sin 3 2 2 2 1 xyy xxy xxy x 求求下下列列函

7、函数数的的的的导导数数：例6 解： 输入指令 syms a x; a=diff(sqrt(x2-2*x+5),cos(x2)+2*cos(2*x), 4(sin(x),log(log(x) Matlab 函数可以对矩阵或向量操作。 .17 a = 1/2/(x2-2*x+5)(1/2)*(2*x-2), -2*sin(x2)*x-4*sin(2*x), 4sin(x)*cos(x)*log(4), 1/x/log(x) .18 解： 输入命令 2) 参数方程确定的函数的导数 例7 ; )cos1( )sin( dx dy tay ttax 求求，设设 .19 dy_dx = sin(t)/(1

8、-cos(t) syms a t; dx_dt=diff(a*(t-sin(t);dy_dt=diff(a*(1-cos(t); dy_dx=dy_dt/dx_dt. .20 syms x y z; du_dx=diff(x2+y2+z2)(1/2),x) du_dy=diff(x2+y2+z2)(1/2),y) du_dz=diff(x2+y2+z2)(1/2),z) a=jacobian(x2+y2+z2)(1/2),x y,z) 解：输入命令 4. 求多元函数的偏导数 的一阶偏导数；的一阶偏导数；，求，求设设uzyxu 222 例8 .21 du_dx=1/(x2+y2+z2)(1/2)

9、*x du_dy =1/(x2+y2+z2)(1/2)*y du_dz = 1/(x2+y2+z2)(1/2)*z 222 zyx x x u 222 zyx y y u 222 zyx z z u .22 解： 输入命令 syms x y; diff(atan(y/x),y) ans = -y/x2/(1+y2/x2) syms x y; diff(atan(y/x),x) ans = 1/x/(1+y2/x2) .23 syms x y; Jacobian(atan(y/x),xy,x ,y) ans = -y/x2/(1+y2/x2), 1/x/(1+y2/x2) xy*y/x, xy*

10、log(x) y z x z y z x z J 22 11 .24 5. 求高阶导数或高阶偏导数 ;)()( )20(22 xfexxf x ，求求设设 例10 syms x ; diff(x2*exp(2*x),x,20) 解：输入命令 ans = 99614720*exp(2*x)+20971520*x*e xp(2*x)+1048576*x2*exp(2*x) .25 ;,23 2 2 2 2 2 2246 yx z y z x z yxyxz ，求，求设设 例11 syms x y ; dz_dx=diff(x6-3*y4+2*x2*y2,x,2) dz_dy=diff(x6-3*y

11、4+2*x2*y2,y,2) dz_dxdy=diff(diff(x6-3*y4+2*x2*y2,x),y) 解：输入命令 dz_dx = 30*x4+4*y2 dz_dy = -36*y2+4*x2 dz_dxdy =8*x*y xy yx z xy y z yx x z 8 436,430 2 2224 .26 6. 求隐函数所确定函数的导数或偏导数 ),( ),( 0),( 21 21 21 n i n j j i n xxxf x xxxf x x x xxxf 则则 已知隐函数方程已知隐函数方程 .27 ;ln dx dy eex x y ，求求设设 例12 syms x y ; d

12、f_dx=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp(1),x) df_dy=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp(1),y) dy_dx=-df_dx/df_dy 解： ,ln),( yx x y FFeexyxF再再求求先先求求 df_dx = 1/x+y/x2*exp(-y/x) df_dy = -1/x*exp(-y/x) dy_dx = -(-1/x-y/x2*exp(-y/x)*x/exp(-y/x) y x F F dx dy .28 ;,0)tan()cos()sin( y z x z xzyzxy ，求求设设 例13 syms x y z; a=jaco

13、bian(sin(x*y)+cos(y*z)+tan(x*z),x,y,z) dz_dx=-a(1)/a(3) dz_dy=-a(2)/a(3) 解：),tan()cos()sin(),(xzyzxyzyxF a = cos(x*y)*y+(1+tan(x*z)2)*z, cos(x*y)*x- sin(y*z)*z, -sin(y*z)*y+(1+tan(x*z)2)*x dz_dx = (-cos(x*y)*y-(1+tan(x*z)2)*z)/(- sin(y*z)*y+(1+tan(x*z)2)*x) dz_dy = (-cos(x*y)*x+sin(y*z)*z)/(-sin(y*z)*