分类思想在三角形上应用

1、分类讨论思想专题三角形 一、分类讨论思想 数学问题比较复杂时，有时可以分解成若干小问题或一系列步骤进行分类并 分别加以讨论的方法，我们称为分类讨论法或分类讨论思想。 二、分类讨论思想应把握的原则 明确对象，不重不漏，逐级讨论，综合作答。 三、分类讨论思想的应用 线段中分类讨思想的应用线段及端点位置的不确定性引发讨论。 例1已知直线AB上一点C,且有CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为_3： 2_或 _3 。 ? 1 1 1 1 C1/ A BC2 练习：已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段 AB=7cm点M为线段AB的中 点，线段BC=3cm点N为线段BC的中点，求线段MN勺长. 解析

2、：（1）点C在线段AB上:（2）点C在线段AB的延长线上 AMC N BAMB N C 例2下列说法正确的是（） A、两条线段相交有且只有一个交点。B、如果线段AB=AC那么点A是 BC的中点。 B、两条射线不平行就相交。D、不在同一直线上的三条线段两两相交必有 三个交点。 与角有关的分类讨论思想的应用角的一边不确定性引发讨论。 例3在同一平面上，/ AOB=70，/ BOC=30，射线 0M平分/ AOB ON平分/ 练习已知.AOB =60,过0作一条射线0C射线0E平分.AOC，射线0D平分 B0C，求.D0E的大小。 （1）射线0C在.A0B内（2）射线0C在.A0B夕卜 这两种情况下

3、，都有.DOE=-AB 2 2 ZAOC的大小不确 小结：（对分类讨论结论的反思）一一为什么结论相同？虽然 定，但是所求的.DOE与.AOC的大小无关。我们虽然分了两类，但是结果是相 同的！这也体现了分类讨论的最后一个环节一一总结的重要性。 三角形中分类讨论思想的应用 一般有以下四种类型：一是由于一般三角形的形状不确定而进行的分类；二是 由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类；三是由于直角三角形的斜边不 确定而进行的分类；四是由于相似三角形的对应角 （或边）不确定而进行的分类 1、三角形的形状不定需要分类讨论 2 例4、在厶ABC中，/ B= 25, AD是 BC上的高，并且AD = BD

4、DC，则 / BCA勺度数为。 解析：因未指明三角形的形状，故需分 类讨论。如图1,当厶ABC的高在形内时， 2 由 AD = BD DC，得厶ABSACAD 进而 可以证明厶ABC为直角三角形。由/ B= 25。可知/ BAD= 65。所以/ BCAfZ BAD= 65。如图2,当高AD在形外时，此时 2 ABC为钝角三角形。由AD二BD DC， 得厶ABSACAD 所以/ B=Z CAD= 25 图2 / BCAfZ CADkZ ADG 25+ 90= 115 2、等腰三角形的分类讨论： a、在等腰三角形中求边：等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底 边，所以我们要进行分类讨论。 例

5、5、已知等腰三角形的一边等于 5，另一边等于6,则它的周长等于 。 练习若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和 腰的长。 简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm,哪一部分是12cm,因此，应有两种情形。 若设这个等腰三角形的腰长是 xcm底边长为ycm, 1 c x + x = 9, 2 可得或 1. x y = 12,x y = 9. 22 xx = 12, 2 解 1 - 2 - x =6, 或丿 y =9, b、在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，所 以必须分情况讨论。 例6、已知等腰三角形的一个内角为75则其顶角为（

6、） 得= x=8即当腰长是6cm时，底边长是9cm;当腰长是8cm时，底边长是5cm。 y =5. A. 30 B. 75 C. 105 D. 30 或 75 练习1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45，求这个等腰三角形的顶角的 度数。 简析：依题意可画出图 1和图2两种情形。图1中顶角为45,图2中顶角为135。 2、在4 ABC中，AB=AC AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为 50,则底角/ B= 3、直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论 例7、已知x，y为直角三角形两边的长，满足 三边的长为 x2 4 +訂、25v + 6= 0 2 5y 60，则第 解析：

7、由 X2 4 + 0 计 _5y+6=0，可得 x2_4=o 且 V2_5v+6=0 X1 = 2X2 分别解这两个方程，可得满足条件的解 *二2，或 由于x，y是直角边长还是斜边长没有明确，因此需要分类讨论。 当两直角边长分别为2, 2时，斜边长为22 222 ; 当直角边长为2,斜边长为3时，另一直角边的长为5 ; 当一直角边长为2,另一直角边长为3时，斜边长为13 综上，第三边的长为2 2或5或 13 4、相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类 P是AC的中点，过P点的直线 例8、如图所示，在 ABC中，AB=6, AC =4, 交AB于点Q，若以 A P、Q为顶点的三角形和以 B

8、、C为顶点的三角形相似，则 AQ的长为( (A)3 4 (D)3 析解：由于以 C A P、Q为顶点的三角形和以 (C)3 或- 4 (B)3 或- 3 B、C为顶点的三角形有一个公共角 (NA)，因此依据相似三角形的判定方法，过点P的直线PQ应有两种作法：一是过点 P AQ APAQ 2 作PQ / BC，这样根据相似三角形的性质可得 母=竺，即竺二2，解得AQ = 3 ； AB AC6 4 二是过点P作.APQ =/ABC，交边AB于点Q，这时LI APQ_ ABC，于是有 AQapAQ244 ，即，解得AQ .所以AQ的长为3或一，故应选(B)。 ACAB4633 小结：分类讨论思想是在

9、解决问题出现不确定性时的有效方法。线段及端点 的不确定；角的一边不确定；三角形形状不确定；等腰三角形腰或顶角不确定； 直角三角形斜边不确定；相似三角形对应角(边)不确定等，都需要我们正确地 运用分类讨论的思想进行解决。分类讨论思想不仅可以使我们有效地解决一些问 题，同时还可以培养我们的观察能力和全面思考问题的能力。 相关函数题中运用: 1:因动点产生的相似三角形问题 例题： 如图1在平面直角坐标系 xOy中，顶点为M的抛物线y= ax2 + bx (a 0) 经过点 A和x轴正半轴上的点 B, AO = BO = 2,/ AOB = 120. (1) 求这条抛物线的表达式； (2) 连结OM，

10、求/ AOM的大小； (3) 如果点 C在x轴上，且 ABC与厶AOM相似，求点 C的坐标. 练习： 1如图1，已知抛物线的方程 C1: y二一丄(x 2)(x-m) (m 0)与x轴交于点B、C, m 与y轴交于点E，且点B在点C的左侧. (1) 若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值； (2) 在(1)的条件下，求 BCE的面积； (3) 在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH + EH最小，求出点H 的坐标； (4) 在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形 与厶BCE相似？若存在，求 m的值；若不存在，请说明理由. 图1 2如图1，

11、抛物线经过点 A(4, 0)、B ( 1, 0)、C (0, - 2)三点. (1) 求此抛物线的解析式； (2) P是抛物线上的一个动点，过 P作PM丄x轴，垂足为M，是否存在点P,使得以 A、P、M为顶点的三角形与 OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；若不 存在，请说明理由； (3) 在直线AC上方的抛物线是有一点 D,使得 DCA的面积最大，求出点D的坐标. 2:因动点产生的等腰三角形问题 例题：如图1,在Rt ABC中，/ A= 90, AB = 6, AC= 8，点D为边BC的中点， DE丄BC交边AC于点E,点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且/ PD

12、Q =90. (1) 求ED、EC的长； (2) 若BP = 2，求CQ的长； 若厶PDF为等腰三角形，求 BP的长. (3) 记线段PQ与线段DE的交点为F, 备用图 练习：1,如图1,抛物线y= ax2 + bx+ c经过A( 1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线I是抛物 线的对称轴. (1) 求抛物线的函数关系式； (2) 设点P是直线l上的一个动点，当 PAC的周长最小时，求点 P的坐标； (3) 在直线l上是否存在点 M，使 MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合 条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由. 2,如图1，在矩形 ABCD中，AB = m ( m是大于

13、0的常数)，BC= 8, E为线段BC上 的动点(不与 B、C重合).连结DE,作EF丄DE , EF与射线BA交于点F，设CE = x, BF =y. (1) 求y关于x的函数关系式； (2) 若m = 8,求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ 12 (3) 若y二一，要使 DEF为等腰三角形，m的值应为多少？ m 3因动点产生的直角三角形问题 例题：如图1,抛物线y = _3x2 _?X 3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)， 84 与y轴交于点C. (1) 求点A、B的坐标； (2) 设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD的面积等于 ACB的面积 时，求点D的坐标； (3) 若直线I: y=-x+3上有动点M ,当以A、B、M为顶点所作的三角形为直角三角形 时，求点M的坐标. 练习：1，上题第(3)改：若直线I过点E(4, 0), M为直线I上的动点，当以 A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有