导数知识点总结

1、知 识 要 点函数y f(x)在点xo处连续是y f(x)在点xo处可导的必要不充分条件可以证明，如果y f (x)在点xo处可导，那么y f(x)点xo处连续.事实上，令x X。 x，则xXo相当于x 0 .于是 lim f (x) lim f (xox) lim f (x xo) f (xo) f (xo)x Xox ox of (xo x) f (xo)f(xox) f(xo)lim - x f (xo) lim - lim lim f (xo)f (xo) o f (xo)f (xo).x oxx oxx o x o如果y f (x)点xo处连续，那么y f(x)在点xo处可导，是不成

2、立的.例：f(x) |x|在点xo o处连续，但在点xo o处不可导，因为一y U，当x o时，一y 1 ；x xx当x V o时，-y1，故lim y不存在.xx o x注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数.可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数y f (x)在点xo处的导数的几何意义就是曲线y f (x)在点(xo,f(x)处的切线的斜率，也就是说，曲线y f(x)在点P(xo，f(x)处的切线的斜率是fix。)，切线方程为y yo f (x)(x xo).4、几种常见的函数导数:n n 1(x ) nx (n R)c 0 ( C为常数)5. 求导数的四则运算法则：I

3、IIII.(uv) vu vu (cv) CV CV CV ( c为常数)注：u,v必须是可导函数.若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、 差、积、商不一疋不可导 .22例如：设f (x) 2 si nx , g(x) cosx ,贝U f(x),g(x)在x 0处均不可导，但它们和xxf(x) g(x) sinx cosx在 x 0处均可导.6. 复合函数的求导法则：fx( (x) f(u) (x)或yx yu ux复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.7. 函数单调性：函数单调性的判定方法：设函数 y f(x)在某个区间内可导，如果f(x) 0

4、,则y f(x)为增函数；如果f(x) V0,则y f(x)为减函数.常数的判定方法；如果函数y f(x)在区间I内恒有f(x)=O,则y f(x)为常数.注：f(x) 0是f (x)递增的充分条件，但不是必要条件，如y 2x3在(，)上并不是都有f(x) 0 ,有一个点例外即x=0时f (x) = 0 ,同样f (x) 0是f (x)递减的充分非必 要条件一般地，如果f (x)在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正(或负)，那么 f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的8. 极值的判别方法：(极值是在X0附近所有的点，都有f(x) V f(X0)，则f(X0)是函数f(x) 的极

5、大值，极小值同理)当函数f(x)在点X0处连续时， 如果在X0附近的左侧f(x) 0,右侧f(x) V 0,那么f(X0)是极大值； 如果在X0附近的左侧f (X) V 0,右侧f(x) 0,那么f(X。)是极小值也就是说X0是极值点的充分条件是X0点两侧导数异号，而不是f(x)=0.此外，函数不 可导的点也可能是函数的极值点 .当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确 定的，即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同)注：若点X0是可导函数f(x)的极值点，则f(x)=o.但反过来不一定成立.对于可导函 数，其一点xo是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零 例如：

6、函数y f (x) x3，x 0使f (x) =0，但x 0不是极值点.例如：函数y f(x) |x|，在点x 0处不可导，但点x 0是函数的极小值点.9.极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值 进行比较.注：函数的极值点一定有意义.导数练习一、选择题1 设函数f(x)在R上可导,其导函数f (x),且函数f(x)在x 2处取得极小值,则函数y xf (x)的图象可能是2设aO,bO,e是自然对数的底数A. 若 ea+2a=eb+3b,则 abB. 若 ea+2a=eb+3b,则 abD. 若 ea-2a=eb-3b,则 a0, b0.A.若 2a 2a 2

7、b 3b ,则 abB.若 2a 2a2bC.若 2a 2a 2b 3b ,则 abD.若 2a 2a9.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f (x),且函数的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是A.函数f (x)有极大值f(2)和极小值f (1)B.函数f (x)有极大值f( 2)和极小值f(1)C函数f (x)有极大值f(2)和极小值f( 2)3b,则 aby2bD.函数f (x)有极大值f( 2)和极小值f (2)10.设函数f (x) xex,则A. x 1为f (x)的极大值点B. x 1为f (x)的极小值点C. x 1为f (x)的极大值点D. x 1为f (x)的极

8、小值点11.设a 0且a 1,则“函数f(x)ax在R上是减函数”,是“函数g(x)(2a)x3在R上是增函数”的A.充分不必要条件C. 充分必要条件B必要不充分条件D.既不充分也不必要条件12.已知函数y x33x c的图像与x轴恰有两个公共点，则cA.2 或 2、填空题B.9 或 3C.1 或 1D.3或13.曲线yx(3ln x1)在点(1,1)处的切线方程为14.曲线yx3x 3在点1,3处的切线方程为三、解答题 15 .已知函数f (x) ax3 bx c在x 2处取得极值为c 16(1) 求a、b的值;(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在3,3上的最大值.16 .已知 a R,函数 f (x) 4x3 2ax a(1)求f(x)的单调区间证明：当 0W x0.11a17. 已知函数 f(x) x3- - x2 ax a(a 0)32(I) 求函数f (x)的单调区间；(II) 若函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围；(III) 当a 1时，设函数f (x)在区间t,t3上的最大值为M (t),最小值为m(t),记g(t) M (t) m(