湖北省长阳县高中数学 第一章 计数原理 1.2.2 组合组合（三）课件 新人教A版选修2-3

1、 1 1、组合定义、组合定义: : 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素）个元素并成一并成一 组组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合 从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数个元素的所有组合的个数 ，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示. . m n C 2 2、组合数、组合数: : 3、组合数公式、组合数公式: (1)(2)(1) ! m m n n m m An nnnm C Am ! !()! m n n C

2、 m nm 0 1. n C我们规定： 1: mn m nnCC 定理 一个口袋内装有大小相同的一个口袋内装有大小相同的7个白球和个白球和1个黑球个黑球 从口袋内取出从口袋内取出3个球，共有多少种取法？个球，共有多少种取法？ 从口袋内取出从口袋内取出3个球，使其中含有个球，使其中含有1 1个黑球，有个黑球，有 多少种取法？多少种取法？ 从口袋内取出从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少个球，使其中不含黑球，有多少 种取法？种取法？ 56 3 8 C 21 2 7 C 35 3 7 C 解：解：（1） 性质性质2 我们可以这样解释：我们可以这样解释：从口袋内的从口袋内的 8个球中所取出的个球

3、中所取出的3个球，可以分为个球，可以分为 两类：一类两类：一类含有含有1个个黑球，一类不含黑球，一类不含 有黑球因此根据分类计数原理，有黑球因此根据分类计数原理， 上述等式成立上述等式成立 我们发现：我们发现： 3 8 C 2 7 C 3 7 C 为什么呢为什么呢 CC m n m n 1 :证明 )!1()!1( ! )!( ! ! mnm n mnm n )!1( ! !) 1( ! mnm mnmnn )!1( ! !)1( mnm nmmn !) 1(! )!1( mnm n . 1C m n ccc m n m n m n 1 1 性质性质2 注注:1 公式特征：下标相同而上标差公式

4、特征：下标相同而上标差1的两个组合数的两个组合数 之和，等于下标比原下标多之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标而上标与原组合数上标 较大的相同的一个组合数较大的相同的一个组合数 2 此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学 习习“二项式定理二项式定理”时，我们会看到它的主要应用时，我们会看到它的主要应用 ccc m n m n m n 1 1 例计算：例计算： 32 9999 ( 1 ) ; CC 332 898 ( 2) . 2CCC 161700 123 9899100 3 100 C 56 3 8 2 8 2 8 3 8 3 8 )(2

5、CCCCC ; 1 11 1 1 )1( CCCC m n m n m n m n . 2 1 2 11 )2( CCCC m n m n m n m n 例例2 求证求证: . 1 1 1 11 1 )1( C CC CCC m n m n m n m n m n m n . )()( 2 1 2 1 1 1 11 11 )2( C CC CCCC CCC m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n 例例3、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法； （1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；）分给甲、乙、丙三

6、人，每人两本； （2）分成三份，每份两本；）分成三份，每份两本； （3）分成三份，一份）分成三份，一份1本，一份本，一份2本，一份本，一份3本；本； （4）分给甲、乙、丙）分给甲、乙、丙3人，一人人，一人1本，一人本，一人2本，一人本，一人3本；本； 练习：练习： (1)今有今有10件不同奖品件不同奖品,从中选从中选6件分成三份件分成三份, 二份各二份各1 件件,另一份另一份4件件, 有多少种分法有多少种分法? (2) 今有今有10件不同奖品件不同奖品,从中选从中选6件分给甲乙丙三人件分给甲乙丙三人,每每 人二件有多少种分法人二件有多少种分法? 解解: (1) (2) 6411 1 10621

7、2 3150CCCC 6222 10642 18900CCCC 三、混合问题，先三、混合问题，先“组组”后后“排排” 例例5 对某种产品的对某种产品的6件不同的正品和件不同的正品和4件不同的次品件不同的次品, 一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次 品恰好在第品恰好在第5次测试时全部发现次测试时全部发现,则这样的测试方法则这样的测试方法 有种可能？有种可能？ 解：由题意知前解：由题意知前5次测试恰有次测试恰有4次测到次品，且第次测到次品，且第5 次测试是次品。故有：次测试是次品。故有： 种可能。种可能。 576 4 4 1 6 3 4 ACC

8、练习：练习：1、某学习小组有、某学习小组有5个男生个男生3个女生，从中选个女生，从中选3名名 男生和男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1 人参加，则有不同参赛方法人参加，则有不同参赛方法_种种. 解：采用先组后排方法解：采用先组后排方法: 3123 5343 1080CCCA 2、3 名医生和名医生和 6 名护士被分配到名护士被分配到 3 所学校为学生所学校为学生 体检体检,每校分配每校分配 1 名医生和名医生和 2 名护士名护士,不同的分配方不同的分配方 法共有多少种法共有多少种? 解法一：先组队后分校（先分堆后分配）解法一：先组队后分校（先

9、分堆后分配） 223 364 540 C C A 解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医 生和护士生和护士. 5401)()( 2 4 1 2 2 6 1 3 CCCC 四、分类组合四、分类组合,隔板处理法隔板处理法 例例6、 从从6个学校中选出个学校中选出30名学生参加数学竞赛名学生参加数学竞赛,每每 校至少有校至少有1人人,这样有几种选法这样有几种选法? 分析分析:问题相当于把个问题相当于把个30相同球放入相同球放入6个不同盒子个不同盒子(盒盒 子不能空的子不能空的)有几种放法有几种放法?这类问可用这类问可用“隔板法隔板法”处理处理.

10、解解:采用采用“隔板法隔板法” 得得: 5 29 4095C 2、从、从6位同学中选出位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中位参加一个座谈会，要求张、王两人中 至多有一个人参加，则有不同的选法种数为至多有一个人参加，则有不同的选法种数为 。 3232 8778 .()()A CCCC 3232 8778 .()()B CCCC 3232 8778 .C C CC C 321 8711 .DC C C 3、要从、要从8名男医生和名男医生和7名女医生中选名女医生中选5人组成一个医疗队，如果人组成一个医疗队，如果 其中至少有其中至少有2名男医生和至少有名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数名女医生，则不同的选法种数 为（为（ ） 4、从、从7人中选出人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员， 则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（ ） 23 53 . AC A 33 53 .2B