高中数学竞赛(预赛)训练试题及解答

1、湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（五）姓名：班级 ：分数：一、填空题（本题满分64 分，每小题8 分。直接将答案写在横线上。）1数列 an 满足： a11, a2 3 ，且 an 2| an 1 |an( nN * ) 记 an 前 n 项的和为 Sn ，则 S1002在ABC中，已知B的平分线交于 若=2，=1，BK3 2ACKBCCK，则 ABC 的2面积为3 设 n100 ，则使得 (ab) n 的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数n为4在小于 20 的正整数中，每次不重复地取出3 个数，使它们的和能被3 整除，不同的取法种数为5若 x, y, z均为正实数，且x2y

2、 2z21，则 S(z1)2的最小值为2xyz6 设椭圆 x2y21 的左、右焦点分别为F 1 , F2 ， M 为椭圆上异于长轴端点的一点，4F1 MF22 ， MF1F2 的内心为 I ，则 | MI | cos7 对于 一切 x2,1 ， 不等 式 ax3x 2x10恒 成 立， 则实 数 a 的 取值范 围2为8将总和为 200 的 10 个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58所有满足上述要求的10 个数中最大数的最大值为二、解答题（本大题满分56分，第 9题16分，第10题 20分，第 11题 20分）9已知数列 an 中， a11, a21(n1)an( n2

3、,3,4, ) ，且 an 1nan4（ 1）求数列 an 的通项公式；nak27（ 2）求证：对一切 nN*，有k1610设 Px46x 311x 23x31，求使 P 为完全平方数的整数x 的值2211已知直线yx 与椭圆 C： xy1 交于 A, B 两点，过椭圆C的右焦点 F 、倾斜角16 11为 的直线 l 交弦 AB 于点 P ，交椭圆 C 于点 M , N （ 1）用 表示四边形 MANB 的面积；（ 2）求四边形MANB 的面积取到最大值时直线l 的方程湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（五）详细解答一、填空题（本题满分64 分，每小题8 分。直接将答案写在横线上。）1

4、数列 an 满足： a11,a2 3 ，且 an 2| an1 | an ( nN * ) 记 an 前 n 项的和为 Sn ，则 S100892在 ABC中，已知B 的平分线交 AC于 K若 BC=2，CK=1，BK322，则 ABC的面积为157163设 n100，则使得 (a b) n 的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数n为984在小于 20 的正整数中，每次不重复地取出3 个数，使它们的和能被3 整除，不同的取法种数为3275 若 x, y, z 均 为 正 实 数 ， 且 x 2y 2z21，则 S( z 1) 2的最小值为2x y z32 26设椭圆 x 2y21的左、

5、右焦点分别为F1 , F 2 ， M 为椭圆上异于长轴端点的一点，4F1 MF22， MF1F2 的内心为 I ，则 | MI | cos2 37对于一切 x 2, 1 ，不等式 ax 3x2x 10 恒成立，则实数a 的取值范围为210 a18将总和为 200 的 10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于 58所有满足上述要求的10 个数中最大数的最大值为26二、解答题（本大题满分56 分，第 9 题 16分，第 10题 20分，第 11 题 20分）9已知数列 an 中， a11, a21，且4(n1) an(n2,3,4, ) an 1ann1 an n72nN *a

6、k2k 161n21nann1an 1(n 1)an (n 1)ann 1n111na n 1(n1) ann( n 1)11(11 )na n 1(n 1)ann 1 nn 111n 111k 2 kak 1(k 1) akk 2 k 1 k11(1n1), n2(n1)ana2111(11 )3n 2 an(n1)ana2n1n 1n1an1,nN *3n24(11 )n11, n23n2 82k2ak212) 2(3k11)1 (11)12(3k4)(3k33k 43k1n2nn1(1 1) (1 1)11ak21ak21()k 1k 23 2 55 83n 4 3n 111111173

7、23n6.16n 1a1217 .6N *nak27n16k1610Px46x311x 23x31Px解 P( x23x1) 23( x10) 所以，当 x10时， P1312 是完全平方数5 分下证没有其它整数x 满足要求（ 1）当 x10 时，有 P( x23x1)2，又P(x23 )22x23x31 0，所以 P( x23x)2，x从而 ( x23x) 2P ( x23x 1) 2 又 xZ ，所以此时 P 不是完全平方数10 分（ 2）当 x10 时，有 P( x23x1)2 令 Py 2 , yZ ，则 | y | | x 23x 1 | ，即 | y |1 | x23x 1 | ，

8、所以 y 22 | y | 1 ( x23x1)2 ，即3(x10)2 | x23x1 |10 解此不等式，得x 的整数值为2,1,0,3, 4, 5,6 ，但它们对应的P 均不是完全平方数综上所述，使P 为完全平方数的整数x 的值为 10.20 分11已知直线 yx 与椭圆 C： x2y 21 交于 A, B 两点，过椭圆 C的右焦点 F 、倾1611斜角为的直线 l 交弦 AB 于点 P ，交椭圆 C 于点 M , N （ 1）用表示四边形 MANB 的面积；（ 2）求四边形 MANB 的面积取到最大值时直线l 的方程解（1）直线 MN 的倾斜角为，记MFO，则，|MN |2ab 22ab

9、 2a2c2 cos2a 2c2 cos2而 AB 与 MN 所成的角为4，则四边形 MANB 面积1|AB|sincosSMANB| MN | sin()2 | OA | ab 2 5 分24a 2c 2 cos2而 a 216, b211, c 25， A点坐标为4 33,4 33，且 |OA |4 66，999352 33sincos352 33sincosSMANB165 cos29165 cos290arctan433arctan4331033933954542f ()sincosf ()arctan433,165cos 243395 f ()f ()(cossin)(165 cos2)(sincos)(10 cos sin )(