初中数学竞赛模拟试题

1、初中数学竞赛模拟试题 (1)一、选择题（每小题6 分，共30 分）1方程 (x 2x1) x 31的所有整数解的个数是（）个（ A） 2（ B ）3（ C） 4（D ） 52设 ABC 的面积为 1， D 是边 AB 上一点，且AD1 若在边 AC 上取一点 E，使四边形 DECB 的面积为 3 ，则 CE 的值为（AB3）4EA（ A ） 1（B ） 1（C） 1（ D） 1DC23453如图所示，半圆 O 的直径在梯形ABCD的底边 AB 上，且与其余三边 BC ，CD，DA 相切，若 BC 2，DA 3，则 AB 的长（） AB（ A ）等于 4（ B）等于5（ C）等于 6（ D）不能

2、确定O4在直角坐标系中， 纵、横坐标都是整数的点， 称为整点。 设 k 为整数， 当直线 yx 2与直线 ykx4 的交点为整点时，k 的值可以取（）个（ A） 8 个（ B） 9 个（ C）7 个（ D） 6 个5世界杯足球赛小组赛，每个小组4 个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3 分，败队得 0 分，平局时两队各得1 分小组赛完后， 总积分最高的2 个队出线进入下轮比赛 如果总积分相同， 还有按净胜球数排序一个队要保证出线，这个队至少要积 （）分（ A） 5（ B） 6（ C） 7（ D） 8二、填空题（每小题6 分，共30 分）6当 x 分别等于1，1，1，1， 1，1，2000 ，20

3、01，2002 ，2005200420032002200120002003 ， 2004 ， 2005 时，计算代数式x2的值，将所得的结果相加，其和等1x2于7关于 x 的不等式 ( 2ab) x a2b 的解是 x 5 ，则关于 x 的不等式 axb 0 的解为28方程 x2px q0 的两根都是非零整数，且Ap q 198，则 p F9如图所示， 四边形 ADEF 为正方形， ABCD 为等腰直角三角形， D 在 BC 边上， ABC 的面积等于98，BD DCBDC 2 5则正方形 ADEF 的面积等于E10设有n 个数x1 ， x2 ，xn ，它们每个数的值只能取0， 1， 2 三个

4、数中的一个，且 x1x2xn5 ， x12x22xn219，则x15x52x5n 的值是三、解答题（每小题15 分，共60 分）11如图，凸五边形ABCDE中，已知S ABC 1，且EC AB ，AD BC，BE CD，CA DE ， DB EA试求五边形ABCDE 的面积DECFAB12在正实数范围内， 只存在一个数是关于x 2kx 3x 的方程3x k 的解， 求实数 kx1的取值范围13如图，一次函数的图象过点P（ 2，3），交 x 轴的正半轴与A ，交 y 轴的正半轴与B，求 AOB 面积的最小值yBPOAx14预计用 1500 元购买甲商品x 个，乙商品 y 个，不料甲商品每个涨价1

5、.5 元，乙商品每个涨价 1 元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10 个，总金额仍多用29 元又若甲商品每个只涨价1 元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5 个，那么甲、乙两商品支付的总金额是1563.5 元（ 1）求 x 、 y 的关系式；（ 2）若预计购买甲商品的个数的2 倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求 x 、 y 的值参考答案一、选择题1 C2 B3 B4 A5 C二、填空题6 6 7 x 8 8 202 9 116 10 125 三、解答题11BE CD ， CA DE， DB EA ， ECAB ， AD BC ， S BCD S CDE S DEA S

6、EAB S ACB S ACF 1设 S AEF x ，则 SDEF 1 x ，又 AEF 的边 AF 与 DEF 的边 DF 上的高相等，所以， DE1 x ，而 DEF ACF ，则有AFxS DEF2(1x) 2DF1x S ACFAFx251整理解得 x2故 S55 ABCDE 3S ABC S AEF 212原方程可化为 2x23x(k3)0，（ 1）当 0 时， k33x23满足条件；， x14812（ 2）若 x1是方程的根，得231(k3)0， k4 此时方程的另一个根为1 ，故原方程也只有一根x1；22k3（ 3）当方程有异号实根时，x1 x20 ，得 k3 ，此时原方程也只

7、有2一个正实数根；（ 4）当方程有一个根为 0 时， k3 ，另一个根为x3，此时原方程也只有一2个正实根。综上所述，满足条件的k 的取值范围是 k334 或 k3 或 k813解：设一次函数解析式为ykxb ，则32kb ，得 b3 2k ，令 y 0 得xbb，则 OA kk令 x0 得 y b ，则 OA b S AOB1( b )b2k1(32k)22k14k212k 92k132(2)242kk12.所以，三角形 AOB 面积的最小值为 1214（ 1）设预计购买甲、乙商品的单价分别为a 元和 b 元，则原计划是ax by1500 ，由甲商品单价上涨1. 5 元、乙商品单价上涨1 元

8、，并且甲商品减少10 个的情形，得( a 1.5)( x10)(b 1) y1529 再由甲商品单价上涨1 元，而数量比预计数少5 个，乙商品单价上涨仍是1 元的情形，得( a 1)( x 5) (b1) y 1563.5 ， 由、得1.5xy10a44,x y 5a 68.5. 2 并化简，得x 2 y186 （ 2）依题意，有 205 2xy 210 及 x2y 186 ， 54 y 55 2，由 y 是整数，得 y55 ，从而得 x 763答：（ 1） x 、 y 的关系 x2y186 ；（ 2）预计购买甲商品 76 个，乙商品 55 个初中数学竞赛模拟试题 (2)一、选择题（每小题6

9、分，共 30 分）1已知 ab 4 ， ab c24 0 ，则 ab （）（ A ） 4（ B） 0（ C）2（ D） 243 | x |）2方程 | x |的实根的个数为（x x（ A ）1（ B） 2（ C） 3（D ）43已知梯形ABCD 中， AD BC，对角线AC 、BD 交于 O， AOD 的面积为 4， BOC 的面积为 9，则梯形ABCD 的面积为（）（ A ）21（B ） 22（ C） 25（ D ）264已知 O1 与 O2 是平面上相切的半径均为1 的两个圆，则在这个平面上有（）个半径为3 的圆与它们都相切（ A ）2（ B） 4（ C）5（ D） 65一个商人用m 元（

10、 m 是正整数）买来了n 台（ n 为质数）电视机，其中有两台以成本的一半价钱卖给某个慈善机构，其余的电视机在商店出售，每台盈利500 元，结果该商人获得利润为5500 元，则 n 的最小值是（）（ A ）11（ B） 13（ C） 17（ D） 19二、填空题（每小题6 分，共 30 分）6已知等腰ABC内接于半径为5cm 的 O，若底边BC 8cm，则 ABC的面积为7 ABC 的三边长 a 、 b 、 c 满足 bc8， bca212a52 ，则 ABC 的周长等于8若x 表示不超过x 的最大整数，且满足方程3x5 x490 ，则 x 9若直线323x457 y1103 与直线 177

11、x543y897 的交点坐标是（a ， b ），则a22006b2 的值是10抛物线y2x 24 x5向左平移3 个单位，再向上平移两个单位，得抛物线C，则C 关于 y 轴对称的抛物线解析式是三、解答题（每小题15 分，共 60 分）11如图所示，在ABC 中， AC 7， BC 4， D 为 AB 的中点， E 为 AC 边上一点，且 AED 90 1 C，求 CE 的长2BDAEC12某公交公司停车场内有15 辆车，从上午6 时开始发车（6 时整第一辆车开出） ，以后每隔 6 分钟再开出一辆第一辆车开出 3 分钟后有一辆车进场，以后每隔 8 分钟有一辆车进场， 进场的车在原有的 15 辆车

12、后依次再出车 问到几点时， 停车场内第一次出现无车辆？13已知一个两位数，其十位与个位数字分别为p 、 q ，二次函数 yx 2qx p 的图象与 x 轴交于不同的两点 A 、 B，顶点为 C，且 S ABC 1（ 1）求 q 24 p 的取值范围；（ 2）求出所有这样的两位数 pq 14已知 n 是正整数，且 2n 1与 3n 1 都是完全平方数是否存在 n ，使得 5n 3 是质数？如果存在，请求出所有 n 的值；如果不存在，请说明理由参考答案一、选择题1 B2 A3 C4 D5 C二、填空题6 8cm2 或 32cm27 148 199 xx10 y2x28x33三、解答题11作 BF

13、DE 交 AC 于 F，作 ACB 的平分线交AB 于 G，交 BF 于 H 12因为 AED 90 1 C，所以 CHF 90 CHB 。2又 FCH BCH ， CH CH 。 FCH BCH 。 CF CB 4， AF AC CF 7 4 3。D AD DB ， BF DE， AE EF 1.5， CE 5.5AEF12设从 6 时起 x 分钟时停车场内第一次出现无车辆，此时总共出车则BGHCS 辆，进场车y 辆，x6(S 1)Sy158 yx3 8( S15) 6(S 1) 3 ， 解得 S 55.5 S 为正整数， S56，即到第 56 辆车开出后，停车场内第一次出现无车辆此时 x

14、6(561)330 ， 6+ 330 =11.5（时）60答：到11 时 30 分时，停车场内第一次出现无车辆13（ 1）设 A （ x1 ， 0）， B（ x2 ， 0），（ x1x2 ），则 x1 、 x2是方程x2qxp0 的两个不同的实根，所以x1x2q ， x1 x2p ， q 24 p0 又 yc4 pq 2（ yc 表示点 C 的纵坐标），所以41| x1x2 | | yc|1q24p4 pq 21，SABC 242从而 (q 24 p) 364 ， q24 p 4 故 0 q 24 p4 （ 2）由（ 1）知， q 24 p1， 2， 3，4因为 q 2 被 4 除余数为0 或

15、 1，故 q 24 p 被 4 除余数也是0 或 1，从而 q24 p 1，或 4这两个方程中符合题意的整数解有p2p6p3p8p3,p5,p4,p6.故所有两位数pq 为 23， 65，34， 8614设2n1k2 ，3n1m 2 ，其中 k ， m 都是正整数，则5n 34(2n1)(3n1)4k 2m 2(2km)( 2km) 若2km1，则5n3不是质数2m1若2km1，则5n32km，于是( m1) 2m22m1m 2( 2m1)2(3n1)(5n3)22n0，矛盾综上所述，不存在正整数n ，使得 5n3 是质数初中数学竞赛模拟试题 (3)一、选择题（每小题6 分，共 30 分）1.

16、在一个凸 n 边形的纸板上切下一个三角形后，剩下的是一个内角和为2160的多边形，则 n 的值为（）（ A ）只能为 12（ B）只能为13（ C）只能为14（D ）以上都不对2.已知关于 x 的方程 x26x (a2) | x3 |9 2a0 有两个不同的实数根， 则实数 a的取值范围是（）（ A ） a 0（ B） a 0（C） a 2（ D） a 0 或 a 23a 、b满足ab a b3，则a2b2 的最小值为（）若正实数（ A ） 7（ B） 0（ C） 9（D） 184如图，在ABC 中， C Rt， CD AB ，下列结论：（1） DC AB AC BC ；AC 2AD； （3）

17、111（ 2）BDAC 2BC 2CD 2；（ 4） AC BC CD AB BC 2其中正确的个数是（）（ A ） 4（ B） 3（ C） 2（D ） 15设 n 是正整数， 0 x 1，在 ABC 中，如果 AB n x ，BC n2x ，CA n 3x ，BC 边上的高 AD n ，那么，这样的三角形共有（）（ A ）10 个（ B） 11 个（C） 12 个（ D ）无穷多个二、填空题（每小题6 分，共30 分）6 实 数 x 、 y 、 z 满 足 ： x y2 ， 2xy2 2z21 0 ， 则 xy z 的 值为7如果对于任意两个实数a 、 b ，“”为一种运算，定义为a ba2

18、b ，则函数y x2(2x)24 （ 3 x 3）的最大值与最小值的和为8a 、b、 c 、d满足 a bc d，它们两两的和依从小到大的次序分已知四个正数别是： 23、 26、 29、93、 x 、 y ，则 xy 的值为9已知点 P 在直角坐标系中的坐标为（0， 1）， O 为坐标原点， QPO 150，且 P 到Q 的距离为 2，则 Q 的坐标为10在 ABC 中，AB 15，AC 13，高 AD 12，设能完全覆盖 ABC 的圆的半径为 R则R 的最小值是三、解答题（每小题 15 分，共60 分）11实数 x 与 y 使得 xy ， xy ， xy ， x 四个数中的三个有相同的数值，

19、求出所有具y有这样性质的数对（x ， y ）12如图， ABC 的面积为S，作直线 l BC ，分别交 AB 、AC 与点 D 、E，若 BED 的面积为 K求证： K 1SA4DElBC13如图，在直角坐标系内有两个点 A （ 1， 1）， B（ 2，3），若 M 为 x 轴上一点，且使 MB MA 最大，求 M 点的坐标，并说明理由y3B21-3 -2 -11 2 3xA -114在 ABC 中， AB 40， AC 60，以 A 为圆心，在 BC 边上，若BD 和 DC 的长均为正整数，求BCAB 长为半径作圆交的长BC与D ，且D参考答案一、选择题1 D2D3D4 B5 C一、填空题6

20、 0 7 378 195 9（ 1， 13 ），（ 1， 13 ） 1065 或 15二、解答题8211显然， y0，所以 xyxy 依题意，有 xyx或 xyxyxxy，于是yyx yxy,（ 1）x .解得 x0或 y1xyy当 x 0时， y 0 （舍去）；当 y 1时， x 1 x ，无解；1x1当 y1 时， x 1,x ， x，22y1.x yx ,x1 ,（ 2）yx .解得2xyy1.y故数对（ x ， y ）为（1 ， 1），（1， 1）AD2212设x ，ABAEAD l BC ，x ，ACAB由 S S SS又SABEABCABEBDEABEAEx ，得ACSxBD1AD

21、x AB1AB K(1x)SxS x2xSx121 S1 S()()44213作点 A 关于 x 轴的对称点 A ，作直线 BA 交 x 轴于点 M ，由对称性知 MA MA ，MB MA MB MA A B若 N 是 x 轴上异于 M 的点，则 NA NA ，这时 NB NA NB NA A B MB MA 所以，点M 就是使 MB MA 的最大的点，MB MA 的最大值为A B 设直线 A B 的解析式为ykxb ，则1kb,2 ， b5 32k解得 kb,33即直线 A B 的解析式为 y2 x5，令 y0 ，得 x55332故 M 点的坐标为（， 0）2y3B2A1x-3 -2 -11

22、 2 3A-114设 BD a ， CD b ，（ a ， b 为正整数）作 AE BD ，垂足为 E，则 AB AD 40， BE DE a 2 AE 2402( a ) 2 ， AE 260 2( ab) 2 ，( a) 22( a2 40 260 2b) 2 ，22 (ab)b 20002453 ， 20 a b 100，a b 2 52,a b 245, 只有或b 235,b 52 .故 BC 的长为 50 或 80初中数学竞赛模拟试题(4)一、选择题（每小题6 分，共30 分）1若a 、 b 都是质数，且a2b2007 ，则的值等于（）（ A ） xx（B ） xx（ C） xx（

23、D） xx2一个凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形的边数的最大值是（）（ A ） 5（ B ）6（ C） 7（D ）83 已知y| x1 |2 | x | x2 | ，且2 x 1 ，则y的最大值与最小值的和是（）（ A） 1（ B） 2（ C） 4（ D） 54在ABC中，若A 58， AB BC ，则 B的取值范围是（）（ A） 0 B 64（ B） 58 B 64（ C） 58 B 122（ D） 64 B 1225直线y1 xk 与 x 轴的交点分别为A 、 B，如果SAOB 1，那么，k 的取值范围是2（）（ A）k 1（ B） 0 k 1（ C） 1 k 1（D ） k 1

24、 或 k 1二、填空题（每小题6 分，共30 分）6若实数a 满足a 3 a a 2 ，则不等式xa 1ax 的解集为7设x1 、 x2 是方程x22(k1)xk 220的两个实根， 且 (x11)( x21)8则 k的值是8在直角坐标系中，x 轴上的动点M （ x ， 0）到定点 P（ 5， 5）、Q（ 2， 1）的距离分别为 MP 和 MQ ，那么当 MP MQ 取最小值时，点 M 的横坐标 x 9从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线的长分别为1，3，5则这个等边三角形的面积是10 若 正 整 数 a、 b 、 c 满 足 abbc 518 ， abac 360 ， 则 abc

25、的 最 大 值是三、解答题（每小题15 分，共 60分）11甲、乙两个蔬菜基地，分别向A 、B 、C 三个农贸市场提供同品种蔬菜，按签订的合同规定向A 提供 45t，向 BABC提供 75t，向提供40t甲基地可安排60t，乙基地可安排甲1056100t 甲、乙与 A、B、C 的距离千米数如表 1，设运费为1乙4815元（ km t）问如何安排使总运费最低？求出最小的总运费值12已知 p 为质数，使二次方程x22 px p 25 p 1 0 的两根都是整数求出p 的所有可能值13已知 CA CB CD ，过 A ， C，D 三点的圆交AB 于点 F求证： CF 为 DCB 的平分线ADFCB14一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区他们出发后以每天17km的速度前进，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天25km的速度返回在出发后的第60 天，考察队行进了24km 后回到出发点试问：科学考察队在生态区考察了多少天？参考答案一、选择题1 C2 B3 B4 A5C二、填空题6 x1a7 1527 310 10081a892三、解答题11设乙基地向 A 提供