数学中的误差基本性质与处理

1、 本章阐述。 三、系统误差的分类和特征 四、系统误差对测量结果的影响 五、系统误差的发现 六、系统误差的消除 2.3 粗大误差 一、粗大误差产生的原因 二、判别粗大误差的准则 三、防止与消除粗大误差的方法 2.4 测量结果的数据处理实例 一、等精度测量数据处理 二、不等精度测量数据处理 2.5 三类误差性质与特征小结 零部件变形及其不稳定性，信号 处理电路的随机噪声等。 温度、湿度、气压的变化，光照 强度、电磁场变化等。 瞄准、读数不稳定，人为操作不 当等。 o L i l i oii Ll ni,2,1 )2/( 22 2 1 )( ef )(f)(F deF )2( 22 2 1 )( 0

2、)(dfE df)( 22 5 4 )(|df 2 1 )(df 3 2 6745.0 0)(f)()(ff )0()( max ff 返回本章目录 )0()(ff )(f 0lim 1 n n i i n 从正态分布的随机误差都具有 的四个特征：对称性、单峰性、 有界性、抵偿性。由于多数随 机误差都服从正态分布，因此 正态分布在误差理论中占有十 分重要的地位。 对某量进行一系列等精度测量时，由于存在随机误差，因 此其获得的测量值不完全相同，此时应以算术平均值作为最后 的测量结果。 (一)算术平均值的意义 设 为n次测量所得的值，则算术平均值为: n i i n l nn lll x 1 21

3、 1 n lll, 21 三、算术平均值三、算术平均值 oii Ll onn nLlll)( 2121 n i oi n i i nLl 11 nn l L n i i n i i o 11 0lim 1 n n i i n 0 1 L n l x n i i xl ii 0 l nilll oii ,2, 1 0 l i l 0 0 1 0 111 )( xl n l l n nll n ll n l x n i i n i oi n i io n i i 0 x 若测量次数有限，由参数估计 知，算术平均值是该测量总体 期望的一个最佳的估计量 ，即 满足无偏性、有效性、一致性， 并满足最小二

4、乘法原理；在正 态分布条件下满足最大似然原 理。 0 l i l 0 x x xli i n i n i ii xnlv 11 x x n i i v 1 0 i l 64.1879 01. 065.1879 x 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1879.64 1879.69 1879.60 1879.69 1879.57 1879.62 1879.64 1879.65 1879.64 1879.65 -0.01 +0.04 -0.05 +0.04 -0.07 -0.03 -0.01 0 -0.01 0 0 +0.05 -0.04 +0.05 -0.07 -0.02 0 +0.

5、01 0 +0.01 01. 0 1 n i i v 01.0 10 10 1 0 i i l x i l i v 12表 n l x n i i 1 n i n i n i i ii n n l nlv 11 1 )( n i i xnl 1 n i i v 1 x n i i xnl 1 x n i i v 1 x n i i xnl 1 x n i i v 1 x A n v n i i 2 1 A n v n i i )5.0 2 ( 1 x , 5 2 10 2 n 05.0 2 01.0 10 1 A n v i i x mmmm l x i i 0673.2000 11 74.2

6、2000 11 11 1 x i li v序号 (mm) (mm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2000.07 2000.05 2000.09 2000.06 2000.08 2000.07 2000.06 2000.05 2000.08 2000.06 2000.07 +0.003 -0.017 +0.023 -0.007 +0.013 +0.003 -0.007 -0.017 +0.013 -0.007 +0.003 74.22000 11 1 i i l 003.0 11 1 i i v 22表 mmmmxnmml i i 737.22000067.20001174.

7、22000 11 1 mmmmmmxlv i i i i 003. 0737.2200074.2200011 11 1 11 1 mmA n mmv mmA n i i 005. 05 . 0 2 003. 0 001. 0, 55 . 0 2 11 5 . 0 2 11 1 )(f 2 exp )2( 1 )( 2 2 f 2 1 h exp 1 )( 22 hf 四、测量的标准差四、测量的标准差 )(f )(f 5.0)()( fzf )(zf5 . 0)(zf 3 2 6745.0 z )(| 1 1 n n n i i 5 4 7979.0 2 )(f s 3 im 0 Lli i 0

8、 022 011 Lxxl Lxxl Lxxl nn x Lx)( 0 xlv ii x nn x x v v v 22 11 x n i i n i i nv 11 nn v n n i i n i i n i i x 111 n i x i n i i xx n i i n i i nvvnv 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 12 2 nnn n ji ji n i i n i i x n i ji 1 n v n i i n i i n i i 1 2 1 2 1 2 2 1 2 n n i i n i i vn 1 222 1 2 n v i nn v n

9、i i i 1 2 2 1 n i i n i i v n n 1 2 1 2 1 1 11 n n v n i i n i i n i i n i i v nnn 1 1 )1( 1 253. 1 7979. 0 1 ) 1( 2533. 1 2 nn vi 1 253.1 1 nn v n i i x v x mmmm mmmm z 0104. 0 11010 250. 0 253. 1 0330. 0 11010 250. 0 253. 1 )(mmli)(mmvi mmx045.750 10 1 i i v 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 75.01 75.04 75.

10、07 75.00 75.03 75.09 75.06 75.02 75.05 75.08 0.035 0.005 0.025 0.045 0.015 +0.045 +0.015 -0.025 +0.005 +0.035 0.001225 0.000025 0.000625 0.002025 0.000225 0.002025 0.000225 0.000625 0.000025 0.001225 2 10 1 2 00825. 0mmv i i )( 2 mmvi 32表 n xxx, 21 max x min x minmax xx n nn dE)( )( n n d E n n d n

11、d n2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1.13 1.69 2.06 2.33 2.53 2.70 2.85 2.97 3.08 3.17 3.26 3.34 3.41 3.47 3.53 3.59 3.64 3.69 3.74 n d 42表 08. 3 09. 000.7509.75 10 minmax d mmmmmmll n mmmm d n 0292.0 08.3 09.0 10 max | 1 i n K max i i max | i v max | 1 i n v K n K n K 10n mmvi045. 0

12、max 57.0 1 10 K mmmm K vi 0256. 0045. 057. 0 10 max n K1 n K1 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1.25 0.88 0.75 0.68 0.64 0.61 0.58 0.56 0.55 0.53 0.52 0.51 0.50 0.50 0.49 n 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0.48 0.48 0.47 0.47 0.46 0.46 0.45 0.45 0.45 0.44 0.44 0.44 0.44 0.43 0.43 n 2

13、 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 25 30 1.77 1.02 0.83 0.74 0.68 0.64 0.61 0.59 0.57 0.51 0.48 0.46 0.44 n K1 52表 m63299130. 0 m63299144. 0 mmm 8 101463299144. 063299130. 0 25. 1 1 1 K mm K 78 1 1075. 1101425. 1 x n lll x n 21 )()()( 1 )( 21 2 n lDlDlD n xD )()()()( 21 lDlDlDlD n )( 1 )( 1 )( 2 lD n lnD n xD

14、n x 2 2 n x n/1 x )1(3 2 1 2 nn v R n i i ) 1(5 4 1 2 nn v T n i i 0,045.75 1 n i i vmmx 0045.751045.750 10 1 mmmmnl i x i nn R xx 3 2 3 2 6745. 0 nn T xx 5 4 5 4 7979.0 0 10 1 i i v mmmm n v n i i 0303. 0 110 00825. 0 1 1 2 mmmm n x 0096. 0 10 0303. 0 mmmmR x 0065.00096.06745.06745.0 mmmmT x 0076.

15、00096. 07979. 07979. 0 1 2 1 )( 2 2 2 dedfp dedfp 2 2 2 2 1 )( d dtt, )(2 2 2 2 1 0 22 22 tdtedtep t t t t t dtet t t 0 2 2 2 1 )( x lim 3 lim x t 62表 t 不超出 的概率超出 的概率 测量次数n 超出 的 测量次数 0 . 6 7 1 2 3 4 0.67 1 2 3 4 0.4972 0.6826 0.9544 0.9973 0.9999 0.5028 0.3174 0.0456 0.0027 0.0001 2 3 22 370 15626 1

16、 1 1 1 1 )(2t )(21t tx lim x ox Lx ), 2 , 1(Ni i x x tx lim x x x3 lim xa tx lim x a tnv11p 44.802 66 6 11 i i n i i ll x 047.0 161 6 1 2 1 2 i i n i i v n v 019. 0 6 047. 0 n x 51 nv 01. 003. 4 a t 076. 0019. 003. 4 lim x a tx 99. 01p01. 0 049.0019.060.2 lim x tx ii np mi ni ix , 2 , 1 222 22 2 11

17、mxmxx nnn ii np 222 22 2 11 mxmxx ppp 22 2 2 1 4321 1 : 1 : 1 : mxxx pppp i p xi i x i p mmmmx mmmmx mmmmx x x x 10.0,60.2000 20.0,15.2000 05.0,45.2000 3 2 1 3 2 1 4:1:16 )10. 0( 1 : )20. 0( 1 : )05. 0( 11 : 1 : 1 : 2222 3 2 2 2 1 321 xxx ppp 4, 1,16 321 ppp m xxx, 21 , 1 1 1 1 1 n l x n i i , 2 1 2

18、 2 2 n l x n i i m n i i m m n l x m 1 , x m i i n i n i n i i m ii nlllx m 1111 21 /)( 12 m m m m m m ppp xpxpxp nnn xnxnxn x 21 2 211 21 2 211 m i i m i i i p xp x 1 1 pppp m 21 m x mp xp x m i i m i i 11 m i i m i oii o p xxp xx 1 1 )( 0 x ix 5, 2, 3 321 pppmmx94.999 0 mmmmmmx9420.999 523 0019. 0

19、50016. 020025. 03 94.999 ), 2 , 1( 22 miPix i ) 1( 22 ppPix i 2 2 i p i x 2 2 2 ix i p mixpz ii , 2 , 1 22 )()( i x iz ii p xDpzD 22 2 2 1 21 1 : 1 : 1 : mxxx m ppp i p 1 1 11 z i i z p p p p z pz 不等精度测量列，经单位权 化处理后，就可按等精度测 量列来处理。 , 21m xxx mi ni ix , 2 , 1 x m i i x n 1 m i i i xx n n i 1 m i i m i

20、iii npnp 11 m i i m i i i xx p p p i 1 1 m i i p 1 i x i p x xxv ix i i x xpxpvp iiixi i 11 1 2 2 1 m vp m m i x i m i i 残差 m i i m i x i x pm vp i 1 1 2 )1( x mmx9420.999 mvmvmv xxx 1 .0,4 .0,5 .0 321 5, 2, 3, 3 321 pppm mmmm x 0002. 024. 0 20 12. 1 )523() 13( ) 1 . 0(5)4 . 0(25 . 03 22 0 21 )( a f

21、 a aa a a a F 当 当 当 1 2 0 )( a a d a E0 2 3 2 2 a 3 a )(f )(F a a2 1 )(f a 图 2-5 o )(f )(F a a a f 当 当 0 11 )( 22 a aa a a F 当 当 当 1 arcsin 1 2 1 0 )( 0 22 d a E a a 2 2 2 a 2 a )(f )(F a a a a a a a f 当 当 当 0 0 0 )( 2 2 a a a a a a a a 当 当 当 当 1 0 2 )( 1 0 2 )( 0 )(F 2 2 2 2 0E 6 2 2 a 6 a 2 v , 21

22、 v 22 2 2 1 2 v 2 v 2 )( 2 f 00 0)( ) 2 ( 2 )( 2 22122 2 2 2 当 当e v f v v 为) 2 ( v 0 22122 2 2 2 )( ) 2 ( 2 vde v E v v v2 2 v2 2 2 v v v v 2 v t v )(tf 2/ )1( 2 )1 ( ) 2 ( ) 2 1 ( )( v v t v v v tf dt v t v v v E v2/ )1( 2 )1 ( ) 2 ( ) 2 1 ( 2 2 v v 2 v v v 12 21 22 11 / / v v v v F 1 1 v 2 2 v 1 v

23、 2 v )(Ff 00 0 )( ) 2 () 2 ( ) 2 ( )( 2/ )( 12 12/ 21 21 2/ 2 2/ 1 21 1 21 F F Fvv F vv vv vv Ff vv v vv 当 当 )0( 2 )(E 2 0 2 2 v v v dFFFf ) 4( ) 4() 2( ) 2(2 2 2 2 21 21 2 22 v vvv vvv )4( )4()2( )2(2 2 2 2 21 21 2 2 v vvv vvv 计量校准后发现的偏差、仪器设计原理缺陷、仪 器制造和安装的不正确等。 测量时的实际温度对标准温度的偏差、测量过 程中的温度、湿度按一定规律变化的

24、误差等。 采用近似的测量方法或计算公司引起的误差等。 测量人员固有的测量习性引起的误差等。 返回本章目录 0 x 2 L mmL)1 (K mmLKL)1 (Kmm LKLK K e sineL 0 0 0 180 0 90 0 270 o x n xxx, 21 o n , 21 oo n i ioo n i i x n xx n x 11 11 x x i 0 0 iooiooii xxxxv)()( 0 0 0 z n i i n i i n i i x nn xx n x 11 0 1 111 x i x i i )( iiii xxv 0 ii i v 由于它在数据处理中只影响算术平

25、均值， 而不影响残差及标准差，所以除了要设 法找出该恒定系统误差的大小和符号， 对其算术平均值加以修正外，不会影响 其他数据处理的过程。 由于它对算术平均值和残差均产生影响， 所以应在处理测量数据的过程中，必须要 同时设法找出该误差的变化规律，进而消 除其对测量结果的影响。 秩和检验法 检验法计算数据比较法，正态 检验法 检验法 组间 不同公式计算标准差法 残余误差校核法 残余误差观察法 实验对比法 组内 发现系统误差的方法 F t n lll 21, n lll 21, , 21n lll nnn lll lll lll 222 111 xxx ii vxl ii vxl )( xlvv i

26、i i v xlv ii n kj j K i i n kj j K i i n kj i K i i xlxlvv vv 1111 11 )()( 0 11 n kj j K i i vv n Kj ji K i n Kj j K i i xlxl vv 11 11 )()( n vvv, 21 1 ii vv 1 ii vv 1 ii vv nn n i ii vvvvvvvvu 13221 1 1 1 2 1nu HelmertAbbe 1 2 1 n vi ) 1( 253. 1 2 nn vi u1 2 1 1 2 n u 在判断含有系统误差时，违反 “准则”时就可以直接判定，而 在

27、遵守“准则”时，不能得出 “不含系统误差”的结论，因为 每个准则均有局限性，不具有 “通用性”。 n nxxx,;,;, 2 2 1 1 jixx ji 22 ix jx jijixx 22 2 yi xi niy nix ,2, 1 ,2, 1 10, 21 nn 1 n 2 n T T TTT T T n n 2 1 T T n n 2 1 T T n n 2 1 T T n n 2 1 2 4 3 11 2 5 3 13 2 6 4 14 2 7 4 16 2 8 4 18 2 9 4 20 2 10 5 21 3 3 6 15 3 4 7 17 3 5 7 20 3 6 8 22 3

28、7 9 24 3 8 9 27 3 9 10 29 3 10 11 31 4 4 12 24 4 5 13 27 4 6 14 30 4 7 15 33 4 8 16 36 4 9 17 39 4 10 18 42 5 5 19 36 5 6 20 40 5 7 22 43 5 8 23 47 5 9 25 50 5 10 26 54 6 6 28 20 6 7 30 54 6 8 32 58 6 9 33 63 6 10 35 67 7 7 39 66 7 8 41 71 7 9 43 76 7 10 46 80 8 8 52 84 8 9 54 90 8 10 57 95 9 9 66 1

29、05 9 10 69 111 10 10 83 127 102 表 ) 2 ) 1( , 2 ) 1( ( 2121211 nnnnnnn N 10, 21 nn T T a ,taT aT t )(t tt i x i y i x i y T1234567 14.714.815.215.6 14.615.015.1 4, 3 21 nn , 7 T17 T TTT17107 221 121 , , n n yyy xxx )( )2( )( 2 22 2 1121 2121 oo SnSnnn nnnn yxt 2 21 nn ii y n yx n x 21 1 , 1 2 2 2 22

30、1 1 2 )( 1 ,)( 1 yy n Sxx n S i o i o )(ttP t tt 2 1o S 2 2o S 2 1 2 2 33. 2 10 1 x x 75. 0 10 1 y y 61. 3)( 10 1 22 xxi x 89. 2)( 10 1 22 yyi y 86. 1 )89. 21061. 310)(1010( )21010(1010 )75. 033. 2( t 1821010v5 . 0 10. 2 t 10. 286. 1 tt j n i ij j j x n x 1 ji ij x n x 1 m j j nn 1 21 2 )(QQxxQ ji i

31、j ji jij j jj xxQ xxnQ 2 2 2 1 )( )( 1 Q 2 Q ij x 1 Q 1 1 mv 2 Q 2 Q 2 2 mnv 21 Q 22 11 / / vQ vQ F 1 1 mvmnv 2 1 Q 2 Q 01. 005. 0或 21 vv 和 )(FFP F FF 组号次数算术平均值 1261247 2321243 371239 4501239 5241230 6321239 7361236 8421213 9861234 10331238 1171223 1291243 13551248 38786 1 Q 152094 2 Q 12 1 v426 2 v

32、 05. 9 357 3232 / / 22 11 VQ VQ F 05. 0 77. 1 F FF 12 1 v426 2 v )( 11 x)( 22 x 21 xx ), 0( 2 2 2 1 N 2 2 2 1 21 xx K K K 00041.0,29971.2 11 00019.0,31022.2 12 323 00045.0 0105.0 2 2 2 1 21 0 x x xx 0 0 x n xxx, 21 0 xxi 左 P 右 P ， 右左 PPPP 右左、P P P PPPP 2 )( 2 右左 P l l X 1 2 21 ll X l l PPP 1 2 2)( P

33、PPPX 3 4251 22 x xxxx sinal 1 11 sinal 12 1112 sin)sin(laal 0 22 1121 llll 返回本章目录 测量者工作责任感不强、工作过于 疲劳、缺乏经验操作不当，或在测 量时不小心、不耐心、不仔细等， 造成错误的读书或记录。 测量条件意外地改变（如机械冲击、 外界振动、电磁干扰等）。 d x x 3 3 x d x 3|xxv dd 3 3 3 3 表 准则 “弃真”概率a n 11 16 61 121 333 a 0.019 0.011 0.005 0.004 0.003 3 v 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

34、12 13 14 15 20.42 20.43 20.40 20.43 20.42 20.43 20.39 20.30 20.40 20.43 20.42 20.41 20.39 20.39 20.40 +0.016 +0.026 -0.004 +0.026 +0.016 +0.026 -0.014 -0.104 -0.004 +0.026 +0.016 +0.006 -0.014 -0.014 -0.004 0.000256 0.000676 0.000016 0.000676 0.000256 0.000676 0.000196 0.010816 0.000016 0.000676 0.0

35、00256 0.000036 0.000196 0.000196 0.000016 +0.009 +0.019 -0.011 +0.019 +0.009 +0.019 -0.021 -0.011 +0.019 +0.009 -0.001 -0.021 -0.021 -0.011 0.000081 0.000361 0.000121 0.000361 0.000081 0.000361 0.000441 0.000121 0.000361 0.000081 0.000001 0.000441 0.000441 0.000121 003374.0 15 1 2 i i v 404.20 15 1

36、n l x i i 01496.0 15 1 2 i i v 0 15 1 i i v 2 v v 2 vl 404.20 x 033. 0 14 01496. 0 1 1 2 n v n i i 099. 0033. 033 3 099. 0104. 0 8 v 411.20 x 016.0 13 003374.0 1 1 2 n v n i i 3 i v n xxx, 21 i x )1( 1 2 nv xxv x n x ii i x i x )(i x )()2()1(n xxx xx g n n )( )( )1( )1( xx g ),( 0 ng ),( 0 )( ng xx

37、P n ),( 0 )1( ng xx P )1( x )1( )1( xx g )(n x xx g n n )( )( ),( 0)( ngg i a 0.050.010.050.01 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.15 1.46 1.67 1.82 1.94 2.03 2.11 2.18 2.23 2.28 2.33 2.37 2.41 2.44 1.16 1.49 1.75 1.94 2.10 2.22 2.32 2.41 2.48 2.55 2.61 2.66 2.70 2.75 17 18 19 20 21 22 23 24 25 30

38、35 40 50 100 2.48 2.50 2.53 2.56 2.58 2.60 2.62 2.64 2.66 2.74 2.81 2.87 2.96 3.17 2.78 2.82 2.85 2.88 2.91 2.94 2.96 2.99 3.01 3.10 3.18 3.24 3.34 3.59 ),( 0 ang),( 0 ang n a n 122 表 404.20 x033. 0 , 30.20 )1( x 43.20 )15( x )1( x )15( x 104. 030.20404.20 )1( xx 026. 0404.2043.20 )15( xx )1( x 15.

39、3 033. 0 30.20404.20 )1( g 41. 2)05. 0 ,15( 0 g 41. 2)05. 0 ,15(15. 3 0)1( gg 8 x )15( x ， 411.20 x016. 0 18.1 016.0 411.2043.20 )15( g )15( x )(i g x n xxx, 21 )(i x i x )()2()1(n xxx )(n x )1( x 14 1311: 108: 7 )1()2( )1()3( 22 )3()( )2()( 22 )1()1( )1()3( 21 )2()( )2()( 21 )1()1( )1()2( 11 )2()(

40、)1()( 11 )1()( )1()2( 10 )1()( )1()( 10 n xx xx r xx xx r n xx xx r xx xx r n xx xx r xx xx r n xx xx r xx xx r nn nn nn nn nn nn nn nn 与 与 与 与 22221010 ,rrrr ij r ij r ij r ij r ),( 0 nr ij r ij r )(n x )1( x a )( )()1( )2()1( )1()( )1()( 10 10 n n nn xx xx r xx xx r 统计量统计量 0.010.050.010.05 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 0.988 0.889 0.780 0.698 0.637 0.683 0.635 0.597 0.679 0.642 0.615 0.341 0.765 0.642 0.560 0.507 0.554 0.512 0.477 0.576 0.546 0.521 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0.641 0.616 0.595 0.577 0.561 0.547 0.535 0.524 0.514 0.505 0