极坐标、参数方程习题课

1、极坐标与参数方程习题课1设直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，另一直线的方程为，若直线与间的距离为，则实数的值为_9或-11 2在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：（t为参数）与曲线C2: （为参数，a0）有一个公共点在x 轴上，则a=_ 3在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为3r212rcosq10（r0）（1）求曲线C1的普通方程；（2）曲线C2的方程为，设P、Q分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点，求PQ的最小值来解：（1）原式可化为，即 （2）依题意可设，由（1）知圆C1圆心坐标C1

2、(2,0) ，所以4在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为(为参数)（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为(4,)，判断点P与直线l的位置关系；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值解：（1）把极坐标系的点P(4,)化为直角坐标,得P(0,4)，因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x-y+4=0，所以点P在直线 l上（2）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为 (cos，sin)， 从而点Q到直线l的距离 d cos(+)+2， 由此得，当cos(+)1时，

3、d取得最小值,且最小值为5如图，点A在直线x4上移动，OPA为等腰直角三角形，OPA的顶角为OPA（O，P，A依次按顺时针方向排列），求点P的轨迹方程，并判断轨迹形状解：取O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x4的极坐标方程为cos4，设A(0，0)，P(，)PAOyx4点A在直线cos4上0cos04OPA为等腰直角三角形，且OPA，而|OP|，|OA|0，以及POA，0，且0把代入，得点P的轨迹的极坐标方程为cos4由cos4得(cossin)4点P的轨迹的普通方程为xy4，是过点(4,0)且倾斜角为的直线6以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(

4、1,-5)，点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径（1）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（2）试判定直线l和圆C的位置关系解：（1）由题意，直线l的普通方程是y+5=(x1)tan ，此方程可化为，令a（a为参数），得直线l的参数方程为（a为参数）如图，设圆上任意一点为P(,)，则在POM中，由余弦定理，得PM2PO2+OM22POOMcosPOM，422+4224cos化简得=8sin ，即为圆C的极坐标方程 （2）由（1）可进一步得出圆心M的直角坐标是(0，4)，直线l的普通方程是xy5=0，圆心M到直线l的距离d4，所以直线l和圆C相离7已知直线C1：

5、(t为参数)，C2：(为参数)（1）当时，求C1与C2的交点坐标；（2）过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线解：（1）当时，C1的普通方程为y(x1)，C2的普通方程为x2y21.联立方程组解得C1与C2的交点坐标为(1,0)， （2）C1的普通方程为xsinycossin0，过坐标原点O作C1的垂线方程为xcosysin0解方程组得A点坐标为(sin2，sincos)故当变化时，P点轨迹的参数方程为： (为参数)，即(为参数)消去参数，得P点轨迹的普通方程为2y2故P点的轨迹是圆心为，半径为的圆8在平面直角坐标系xOy中，曲

6、线C1的参数方程为(为参数)，曲线C2的参数方程为 (ab0，为参数)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：与C1、C2各有一个交点当0时，这两个交点间的距离为2，当时，这两个交点重合（1）分别说明C1、C2是什么曲线，并求出a与b的值；（2）设当时，l与C1、C2的交点分别为A1、B1.当时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积解：（1）C1是圆，C2是椭圆当0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a3；当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以

7、b1（2）C1，C2的普通方程分别为x2y21和y21当时，射线l与C1交点A1的横坐标为x，与C2交点B1的横坐标为x；当时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形故四边形A1A2B2B1的面积为9在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）M是C1上的动点，P点满足2，P点的轨迹为曲线C2（1）求C2的方程；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.解：(1)设P(x，y)，则由条件知M.由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为(为参数

8、) (2)曲线C1的极坐标方程为4sin，曲线C2的极坐标方程为8sin.射线与C1的交点A的极径为14sin，射线与C2的交点B的极径为28sin.所以|AB|21|2.10已知曲线C1的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D以逆时针次序排列，点A的极坐标为.（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2的取值范围解：(1)由已知可得A， B，C， D，即A(1，)，B(，1)，C(1，)，D(，1)(2)设P(2cos，3s

9、in)，令S|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2，则S16cos236sin2163220sin2.因为0sin21，所以S的取值范围是32,5211平面直角坐标系中，将曲线 （为参数）上的每一点横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍得到曲线C1以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴,建立的极坐标系中，曲线C2的方程为r4sinq（1）求和的普通方程；（2）求和的公共弦的垂直平分线的极坐标方程解：（1）横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍得到 （为参数）， C1：(x2)2+y24又C2：r4sinq即x2+y24y （2）公共弦的垂直平分线的极坐标方程是12在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：

10、x2+y21，在极坐标系（与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的极坐标方程为r(2cosqsinq)6（1）将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的倍、倍后得到曲线，试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；（2）在曲线上求一点,使点到直线的距离最大,并求出此最大值解：（1）由题意知,直线的直角坐标方程为，由题意知曲线的直角坐标方程为， 曲线的参数方程为(为参数) （2）设,则点到直线的距离 , 当时,即点的坐标为时，点到直线的距离最大，此时 3已知点，参数，点在曲线C：上（1）求在直角坐标系中点的轨迹方程和曲线的方程；（2）求的最小

11、值.解：（1）设点P的坐标为(x，y)，则有消去参数，可得由于0,，y0，故点P的轨迹是上半圆曲线C:，即，即 sincos=10，故曲线C的直角坐标方程：xy+100（2）如图所示：由题意可得点Q在直线xy+100上,点P在半圆上,半圆的圆心C(1,0)到直线xy+100的距离等于即|PQ|的最小值为1 13已知曲线C的极坐标方程是以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是:(是参数)（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,将直线的参数方程化为普通方程;（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点,且,试求实数m值.解： （1）曲线C的极坐标方程是

12、化为直角坐标方程为: 直线l的直角坐标方程为yxm （2）解法一：由（1）知，圆心的坐标为(2,0),圆的半径R=2， 圆心到直线l的距离 或 解法二：:把(是参数)代入方程, 得, . 或 14在平面直角坐标系xOy中，过点P(1,0)作倾斜角为的直线l，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为=1，将曲线C1上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线C2，直线l与曲线C2交于不同的两点M，N（1）求曲线C2的普通方程；（2）求的值 15 极坐标系中椭圆C的方程为 ，以极点为原点,极轴为轴非负半轴,建立平面直角坐标 系,且两坐标系取相同的单位长度（1）

13、求该椭圆的直角标方程；若椭圆上任一点坐标为，求的取值范围；（2）若椭圆的两条弦交于点，且直线与的倾斜角互补，求证：解：（1）该椭圆的直角标方程为，设, ，x+y2sin(q+)所以的取值范围是 （2）设直线的倾斜角为,直线的倾斜角为, 则直线的参数方程为(为参数), 代入得: 即 设对应参数分别为,则, 同理 所以15极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以x正半轴为极轴，已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数，），射线与曲线交于极点外的三点（1）求证：；（2）当时，两点在曲线上，求与的值解：（1）设点的极坐标分别为 ，点在曲线上, 则= , 所以（2）由曲线的参数方程

14、知曲线为倾斜角为且过定点的直线，当时，B，C点的极坐标分别为 化为直角坐标为,，直线斜率为,，直线BC的普通方程为，过点，解得16已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的极坐标为（1）求点的直角坐标；（2）设为上任意一点，求的取值范围解：（1）点的极坐标为 点的直角坐标为 （2）设；则 17 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(,为参数)，在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆已知曲线上的点对应的参数，射线与曲线交于点（1）求曲线,的方程；（2）若点,在曲线上，求的值 得,即, 所以曲线的方程为(为参数)，或设圆的半径为，由题意，圆的方程为,(或). 将点代入, 得，即（或由，得，代