带电粒子在复合场中运动的17个经典例题

1、.经典习题1、（ 15 分）如图所示，MN、 PQ是平行金属板，板长为L，两板间距离为d，在 PQ板的上方有垂直纸面向里的匀强磁场。一个电荷量为q、质量为m的带负电粒子以速度v0 从 MN板边缘沿平行于板的方向射入两板间，结果粒子恰好从PQ板左边缘飞进磁场，然后又恰好从 PQ板的右边缘飞进电场。不计粒子重力。试求：（ 1）两金属板间所加电压 U的大小；（ 2）匀强磁场的磁感应强度 B 的大小；（ 3）在图中画出粒子再次进入电场的运动轨迹，并标出粒子再次从电场中飞出的位置与速度方向。BQPd0vm,-qNLM2（ 16 分）如图，在 xoy 平面内，面的匀强磁场， y 轴上离坐标原点MN和 x

2、轴之间有平行于 y 轴的匀强电场和垂直于xoy 平4 L 的 A 点处有一电子枪，可以沿+ 方向射出速度为v0x的电子（质量为m，电量为e）。如果电场和磁场同时存在，电子将做匀速直线运动. 如果撤去电场，只保留磁场， 电子将从 x 轴上距坐标原点3L 的 C点离开磁场 . 不计重力的影响， 求：（1）磁感应强度B 和电场强度E 的大小和方向；（2）如果撤去磁场，只保留电场，电子将从D 点（图中未标出）离开电场，求D 点的坐标；（3）电子通过D 点时的动能。3（ 12 分）如图所示，在y 0 的空间中，存在沿y 轴正方向的匀强电场E；在 y 0 的空间中，存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小也为

3、，一电子（电量为，质量为）在Eemy轴上的 P（0， d）点以沿x 轴正方向的初速度 v0 开始运动，不计电子重力，求：（1）电子第一次经过 x轴的坐标值.（ 2）电子在 y 方向上运动的周期（ 3）电子运动的轨迹与 x 轴的各个交点中，任意两个相邻交点间的距离（ 4）在图上画出电子在一个周期内的大致运动轨迹4（ 16分）如图所示，一个质量为m=2.0 10-11 kg，电荷量 q=+1.0 10-5 C的带电微粒（重力忽略不计） ，从静止开始经 U=100V电压加速后，水平进入两平行金属板间的偏转电场中。金属板长 L=20cm，两板间距 d=103 cm。求：微粒进入偏转电场时的速度v是多大

4、？若微粒射出电场过程的偏转角为=30，并接着进入一个方向垂直与纸面向里的匀强磁场区，则两金属板间的电压 U2是多大？若该匀强磁场的宽度为 D=10 3 cm，为使微粒不会由磁场右边射出，该匀强磁场的磁感应强度 B至少多大？U2U 1vBD5、如图所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝 a、 b、c 和 d，外筒的外半径为 r ，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为 B。在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为、带电量为 q 的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a 的 S 点出发，初速为零。如果该粒子经过一

5、段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两电极之间的电压U应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）解析：如图所示，带电粒子从S 点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿过狭缝a 而进入磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。粒子再回到S 点的条件是能沿径向穿过狭缝d. 只要穿过了d，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经d 重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过c、 b，再回到S 点。设粒子进入磁场区的速度大小为V，根据动能定理，有.qU1mv22设粒子做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，有2aBqv m vRSdob由前面分析可知，要回到S 点，粒子从 a 到 d

6、 必经过 34圆周，所以半径R必定等于筒的外半径r，即= . 由以上各R rc式解得；6、核聚变反应需几百万摄氏度高温，为了把高温条件下高速运动粒子约束在小范围内（否则不可能发生核聚变） ，可采用磁约束的方法如所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域内的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘，设环形磁场的内半径R10.5 m，外半径 R2 1m，磁场的磁感应强度B 0. 1T，若被约束的带电粒子的比荷q/m=4107C/kg, 中空区域内的带电粒子具有各个方向大小不同的速度，问（1) 粒子沿环状半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度；（ 2) 所有粒子不能穿越磁场的最大速度解析根据

7、Bqv mv2 /r得 r=mv/Bq ，由于 B、q/m 一定，所以v 越大， r 越大，且最大半径对应最大速度，多作几个沿环半径方向但大小不同的速度所对应的磁场中运动圆轨迹，如图（ b)所示，很容易得出当圆轨迹与环形磁场外边界内切时，对应的半径是粒子射不出磁场的最大半径，对应的速度就是不能穿越磁场的最大速度，由几何知识得v1max 1. 5 10 7m/s, （ 2)由（ 1）可知沿某一方向射不出磁场的最大速度对应的圆轨迹与磁场外边界内切，再作出粒子斜向左上方和竖直方向射入磁场对应的和磁场外边界内切的圆轨迹如图（ C)所示，从而得出沿各个方向射不出磁场的最大速度不同，通过比较发现， 粒子垂

8、直环半径方向射入磁场时不能穿越磁场的最大速度 v1max是最小的， 所以若要求所有粒子均不能穿越磁场， 则所有粒子的最大速度不能超过 v1max，由数学知识可得 v1max 1.0 10 7 m/s.7、如图所示，在直角坐标系的第象限和第象限中的直角三角形区域内，分布着磁感应强度均为 B5.0 10 3T 的匀强磁场，方向分别垂直纸面向外和向里。质量为m6.64 10 27 、电荷量为 q 3.2 10 19C 的 粒子（不计 粒子重力），由静止开始经加速电压为 U 1205V 的电场（图中未画出）加速后，从坐标点M（ 4，2 ）处平行于x 轴向右运动，并先后通过两个匀强磁场区域。(1) 请你

9、求出 粒子在磁场中的运动半径；(2) 你在图中画出 粒子从直线 x 4 到直线 x 4 之间的运动轨迹， 并在图中标明轨迹与直线 x 4 交点的坐标；(3) 求出 粒子在两个磁场区域偏转所用的总时间。y/m2MBv 42O24x/mB 28、真空中有一半径为r 的圆柱形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向里，Ox 为过边界上O点的切线， 如图所示。 从 O点在纸面内向各个方向发射速率均为v0 的电子， 设电子重力不计且相互间的作用也忽略，且电子在磁场中的偏转半径也为r 。已知电子的电量为e，质量为 m。(1) 速度方向分别与Ox 方向夹角成60和 90的电子，在磁场中的运动时间分别为多少？(2)

10、 所有从磁场边界出射的电子，速度方向有何特征？(3) 设在某一平面内有 M、N 两点，由 M点向平面内各个方向发射速率均为v0 的电子。.请设计一种匀强磁场分布（需作图说明），使得由M点发出的所有电子都能够汇集到N 点。解析： (1) 当 =60时，(2) 如右图所示，因TrTrt13v；当 =90 时， t22v64OO2A= 故 O2A Ox而 O2A 与电子射出的速度方向垂直，可知电子射出方向一定与 Ox 轴方向平行，即所有的电子射 A v 出圆形磁场时，速度方向沿 x 轴正向。(3) 上述的粒子路径是可逆的， (2) 中从圆形磁场射出的这些速度相同的电子再进入一相同的匀v o2强磁场后

11、， 一定会聚焦于同一点，磁场的分布如下x图所示。?注：四个圆的半径相同，半径 r 的大小与磁o感应强度的关系是r=mv0/qB ；下方的两圆形磁场与上方的两圆形磁场位置关于 MN对称且磁场方向与之相反；只要在矩形区域 M1N1N2M2 内除图中 4 个半圆形磁场外无其他磁场， 矩形 M1N1N2M2 区域外的磁场均可向其余区域扩展。M1N1MNM2N2.9、如图所示，一质量为 m，带电荷量为 +q 的粒子以速度 v0 从 O点沿 y 轴正方向射入磁感应强度为 B 的圆形匀强磁场区域， 磁场方向垂直纸面向外， 粒子飞出磁场区域后， 从点 b 处穿过 x 轴，速度方向与 x 轴正方向的夹角为 30

12、，同时进入场强为 E、方向沿 x 轴负方向成60角斜向下的匀强电场中，通过了 b 点正下方的c 点，如图所示。 粒子的重力不计，试求：（ 1）圆形匀强磁场的最小面积。（ 2） c 点到 b 点的距离 s。解析：y（ 1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，N轨迹半径为 R，则有mv0MR=Ob30xqB粒子经过磁场区域速度偏转角为cR的1120，这表明在磁场区域中轨迹为半径为圆弧，3此圆弧应与入射和出射方向相切。作出粒子运动轨迹如图中实线所示。轨迹EMN为以 O为圆心、 R 为半径，且与两速度方向相切的1 圆弧， M、 N 两点还应在所求磁场区域的边界上。3在过 M、N 两点的不同圆周中，最小的一个是

13、以 MN为直径的圆周， 所求圆形磁场区域的最小半径为r1MNR sin 603mv 022qB面积为 S=r23 m 2 v 024q 2B 2（ 2）粒子进入电场做类平抛运动设从 b 到 c 垂直电场方向位移x，沿电场方向位移 y，所用时间为t 。则有 x =v0ty1 at 21 Eq t 222 mxcot 60解得 x = 20 2又3 mv /Eqyy =6mv02/Eqdx 2y 24 3mv 02/ Eq.10、如图所示的区域中，第二象限为垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，第一、第四象限是一个电场强度大小未知的匀强电场，其方向如图。一个质量为m，电荷量为 +q 的带电粒子从

14、P 孔以初速度 v0 沿垂直于磁场方向进入匀强磁场中，初速度方向与边界线的夹角 =30，粒子恰好从 y 轴上的 C 孔垂直于匀强电场射入匀强电场， 经过 x 轴的 Q点，已知 OQ=OP，不计粒子的重力，求：（ 1）粒子从 P 运动到 C 所用的时间 t ；（ 2）电场强度 E 的大小；（ 3）粒子到达 Q点的动能 Ek。答案：（ 1）带电粒子在电磁场运动的轨迹如图所示，由图可知，.B.v0.Py.CE.60 0OQx带电粒子在磁场中做匀速圆周Bqv0mv02mv0.y运动的轨迹为半个圆周由r得： r.qBB.CE2 r2 m.D又 T=v0Bq.v0600FO.QxTm. P .得带电粒子在

15、磁场中运动的时间：t2qB（2）带电粒子在电场中做类平抛运动，初速度v0 垂直于电场沿CF 方向，过 Q 点作直线 CF 的垂线交CF于 D，则由几何知识可知，CPOCQOCDQ，由图可知： CP=2r2mv0qB带电粒子从 C运动到 Q沿电场方向的位移为SEDQOQOPCP sin 300rmv0qB带电粒子从 C运动到 Q沿初速度方向的位移为Sv0CDCOCP cos3003r3mv0qB由类平抛运动规律得：SE1at 21 qE t 2Sv0v0t22 mE2Bv0（3）由动能定理得：Ek12qESE联立以上各式解得：3mv02联立以上各式解得：Ek7 mv026y11、如图所示，半径分

16、别为a、 b 的两同心虚线圆所围空间分别存在电.baxO.场和磁场， 中心 O处固定一个半径很小（可忽略）的金属球， 在小圆空间内存在沿半径向内的辐向电场，小圆周与金属球间电势差为U，两圆之间的空间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，设有一个带负电的粒子从金属球表面沿x 轴方向以很小的初速度逸出，粒子质量为m，电量为 q，（不计粒子重力，忽略粒子初速度）求：（ 1）粒子到达小圆周上时的速度为多大？（ 2）粒子以（ 1）中的速度进入两圆间的磁场中，当磁感应强度超过某一临界值时，粒子将不能到达大圆周，求此最小值 B。（ 3）若磁感应强度取（ 2）中最小值，且 b（ 2 1）a，要粒子恰好第一次沿逸出方向

17、的反方向回到原出发点，粒子需经过多少次回旋？并求粒子在磁场中运动的时间。（设粒子与金属球正碰后电量不变且能以原速率原路返回）解析（ 1）粒子在电场中加速，根据动能定律得：qU1mv2v2qU2=m（2）粒子进入磁场后，受洛伦兹力做匀速圆周运动，qBvv2mr要使粒子不能到达大圆周，其最大的圆半径为轨迹圆与大圆周相切，如图，yM则有a2 r 2b r所以 rb2a2b2b联立解得B2b2mUax2a 2qO rb2 2（ 3）图中 tan =r b a1 即 =45a2ab则粒子在磁场中转过 =270，然后沿半径进入电场减速到达金属球表面，再经电场加速原路返回磁场，如此重复，恰好经过4个回旋后，

18、沿与原出射方向相反的方向回到原出发点。N因为T2 m粒子在磁场中运动时间为 t =4 3T = 3b 2a 2mBq4b2qU12、在图所示的坐标系中，x 轴水平， y 轴垂直， x 轴上方空间只存在重力场，第象限存在沿 y 轴正方向的匀强电场和垂直xy 平面向里的匀强磁场，在第象限由沿x 轴负方向的匀强电场，场强大小与第象限存在的电场的场强大小相等。一质量为m ，带电荷量大小为 q 的质点 a ，从 y 轴上 yh 处的 P1 点以一定的水平速度沿x 轴负方向抛出，它经过x2h 处的 P2 点进入第象限，恰好做匀速圆周运动，又经过y 轴上方 y2h 的 P3 点进入第象限，试求：.（ 1）质

19、点 a 到达 P2 点时速度的大小和方向；（ 2）第象限中匀强电场的电场强度和匀强磁场的磁感应强度的大小；（ 3）质点 a 进入第象限且速度减为零时的位置坐标解析、（ 1）质点在第象限中做平抛运动，设初速度为v0 ，由h1gt 22h v0t2解得平抛的初速度v02gh在 P2点，速度 v 的竖直分量vy gt2ghv2gh ，其方向与 x 轴负向夹角45o（2）带电粒子进入第象限做匀速圆周运动，必有mgqEg又恰 能过负 y轴 2h处，故 P2P32 2h2h为圆的直 径，转动 半径R2又由 qvBv2mgBm2gm可解得 EqhRq（ 3）带电粒以大小为v ，方向与x 轴正向夹45o 角进

20、入第象限，所受电场力与重力的合力为2mg ，方向与过 P3 点的速度方向相反，故带电粒做匀减速直线运动，设其加速度大小为a ，则：a2mg2gmO2v22as, 得sv24gh2h此得出速度减为0 时的位置坐标是h, h2a22g13.(2005 徐州二模 ) 如图 13-4 所示，在 x0 的空间中，存在沿x 轴方向的匀强电场，电场强度 E10N / C ；在 x0的空间中，存在垂直xy 平面方向的匀强磁场，磁感应强度B0.5T。一带负电的粒子 （比荷 q / m160C / kg ) ，在 x 0.06m 处的 d 点以 v08m / s的初速度沿 y 轴正方向开始运动，不计带电粒子的重力

21、。求（ 1）带电粒子开始运动后第一次通过y 轴时距 O 点的距离；（ 2）带电粒子进入磁场后经多长时间返回电场；.（ 3）带电粒子运动的周期。答案：（ 1）3 m（ 2）s（3） (3)s25120100120解：（1）粒子在第一象限做类平抛运动（如图 13-4所示），加速度aqE1600 m / s2 ，运动时间 t12 x3v0t3 m 。as ，沿 y 方向的位移 ym20025图 13 -4（ 2 ） 粒 子 通 过 y 轴 进 入 磁 场 时 在 x 方 向 上 的 速 度 vxat1 8 3m/ s ， 因 此vx3，60 。粒子在第二象限以O 为圆心做匀速圆周运动，圆弧所对的圆t

22、anv0心角为 212011 2 ms 。，运动时间 t 2Tg3 3 qB 120（ 3）粒子从磁场返回电场后的运动是此前由电场进入磁场运动的逆运动，经时间t3t1 ，粒子的速度变为v0 ，此后重复前面的运动。可见，粒子在电、磁场中的运动具有周期性，其周期 T t1 t2 t33) s。(100120.14、如图 13 -6 甲所示，空间存在着彼此垂直并作周期性变化的匀强电场和匀强磁场，电场和磁场随时间变化分别如图乙、丙所示 （电场方向竖直向上为正，磁场方向垂直纸面向里为正）。某时刻有一微粒从A 点以初速 v 开始向右运动，图甲中虚线是微粒的运动轨迹（直线和半圆相切于A、B、 C、 D 四点

23、，图中v 、 E0 和 B0 都未知）。（ 1）此微粒带正电还是带负电？可能是什么时刻从A 点开始运动的？（ 2）求微粒的运动速度和BC之间的距离。图 13-6答案：（ 1）带正电， t0.1 (4 n 3) s, n1,2,3（ 2）2m / s,0.4 m解：（ 1）微粒应带正电，并在 t 0.1(s) 的时刻开始运动，这样，在A B 的运动阶段，只要满足 qvB0qE0 mg ，微粒即可做匀速直线运动，历时0.1( s) 至 B 。到 B 点，电场反向。在 BC的运动阶段，要使微粒做圆周运动，必须qE0mg ，洛伦兹力 qvB0提供向心力，周期T0.2 ( s) 。到 C 点，电场、磁场

24、同时反向。在CD 的运动阶段，qvB0 qE0 mg 仍成立，微粒做匀速直线运动，历时0.1( s) 至 D。到 D 点，电场、磁场同时反向。 在 DA 的运动阶段， 因 qE0mg ，洛伦兹力 qvB0提供向心力， 运动 0.1 (s)至 A。到 A，电场反向。此后，微粒周期性重复上述运动。因此，如果微粒在t0.5(s) 的时刻开始运动，也能实现题设运动，考虑到所有情况，微粒从A 点开始运动的时刻应为答案中所给出的通式。.（ 2）Q qvB0qE0 mg, qE0mg2 mmvQ T0.2 (s) v 2m / sqB02gqB0mvQ rBC2r0.4mqB015（ 05 年北京）如图所示

25、，坐标系 xoy 在竖直平面内，空间有沿水平方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B，在 x0 的空间里有沿 x 轴正方向的匀强电场， 场强的大小为 E，一个带正电的小球经过图中 x 轴上的 A 点，沿着与水平方向成 =300 角的斜向下直线做匀速运动， 经过 y 轴上的 B 点进入 x0 的区域，要使小球进入 x0 区域后能在竖直面内做匀速圆周运动， 需在 x0 区域内另加一匀强电场。 若带电小球做圆周运动通过 x 轴上的 C 点，且 OA=OC，设重力加速度为 g，求：（ 1）小球运动速率的大小。（ 2）在 x0 的区域所加电场大小和方向。（ 3）小球从 B 点运动 C点所用时间

26、及 OA的长度。答案：（ 1）油滴从 A 运动到 B 的过程中，油滴受重力、电场力和洛仑兹力作用而处于平衡状态，由题设条件知：所以油滴的运动速率为：（ 2）油滴在 x0 的区域作匀速圆周运动， 则油滴的重力与所受的电场力平衡，洛仑兹力提供油滴作圆周运动的向心力。所以：又所以方向竖直向上./0（ 3）如右图所示，连接 BC，过 B 作 AB的垂线交 x 轴于 O。因为 =30，所/0又 OA=OC故 OCB=300,/0/以在 ABO中, AOB=60,所以 CBO=30，OC=OB,则 O/ 为油滴作圆周运动的圆心。设油滴作圆周运动的半径为/且：R，周期为 T，则 OC=OB=R/0，油滴从

27、B 运动到 C的时间为由于 COB=120/0/又OBO=30 所以 OO= OB=R所以 OC=R+ R=R即 OA=又，所以16所示， X 轴上方有匀强磁场B，下方有竖直向下匀强电场E。电量为 q、质量、如图 7为 m（重力不计），粒子静止在 y 轴上。 X 轴上有一点 N(L.0) ，要使粒子在 y 轴上由静止释放而能到达 N 点，问： (1) 粒子应带何种电荷 ? 释放点 M应满足什么条件 ? (2) 粒子从 M点运动到 N 点经历多长的时间 ?【解析】： (1)粒子由静止释放一定要先受电场力作用( 磁场对静止电荷没有作用力) ，所以 M 点要在 -Y 轴上。要进入磁场必先向上运动，静

28、上的电荷要向上运动必须受到向上的电场力作用，而场强 E 方向是向下的，所以粒子带负电。(2) 粒子在 M点受向上电场力，从静止出发做匀加速运动。在O 点进入匀强磁场后，只受洛仑兹力 ( 方向沿 +X 轴) 做匀速周围运动，经半个周期，回到X 轴上的 P 点，进入匀强电场，在电场力作用下做匀减速直线运动直到速度为零。然后再向上做匀加速运动，在X轴上 P点进入匀强磁场，做匀速圆运动，经半个周期回到X 轴上的 Q点，进入匀强电场，再在电场力作用下做匀减速运动直到速度为零。此后，粒子重复上述运动直到X轴上的 N 点，运动轨迹如图8 所示。.（ 1） 设释放点 M的坐标为 (0.-y O) ，在电场中由静止加速，O2则： qEy = mV在匀强磁场中粒子以速率2V 做匀速圆周运动，有： qBV=mV/R设 n 为粒子做匀速圆周运动的次数( 正整数 ) 则： L=n2R，所以 R=L/2n解式得： V=qBL/2mn，所以 yO