曲线积分与曲面积分复习

1、第8章 曲线积分与曲面积分向量值函数在有向曲线上的积分第二型曲线积分概念与形式恒力沿直线方向做功w | F | l | cosF l变力沿曲线运动取微元 dw | F | ds Pdx Qdy，则W l Pdx Qdy。平面曲线l Pdx Qdy，空间曲线l Pdx Qdy Rdz，性质l l一、计算方法1 设参数，化定积分tiLP(x,y)dx + Q(x,y)dy = t Px(t), y(t)x (t)Qx(t), y(t)y (t)dtLt0Q p2.平面闭曲线上积分用格林公式dxdy Pdx Qdy，其中L是Dd x yL的取正向的边界曲线，D为单连通区域，P, Q与D L上有连续一

2、阶偏导数。3 对于积分与路径无关的可自选路径4积分与路径无关P(x,y),Q(x1 y)及偏导数于D L上连续。下列四个命题等价(1) Pdx Qdy = 0，对D内任意闭曲线 CCBL Pdx QdyLdu u |A(2) l Pdx Qdy积分与路径无关(3)存在 u(x, y)使 du= P(x, y)dx Q(x, y)dyP Q(4)在D内恒成立.常以(4)为条件，(2)作为结论，自选路径积分二、例题1 基础题目，设参数，化定积分(1)计算 I xdy ydx, L:L如图ABCDEA解（1）设参数法5于L1上设xcost， ysin t-xdyydx0 /2 +(cos t22si

3、n t)dt2于L2上设xcost， y2sin tL i 1Li02 (cos t 2 costL2xdyydx2sint sint)dt于L3上以x为参数,dy 2xdxxdy ydxL3 20x( 2x)(2)dx ?2于L4上以y诶参数x .2， dxL xdy ydx于L5上综上解（2）Lxdy(2)2 x2 xy 1，以x为参数l xdy ydx 3（用格林公式）ydx计算(dy 0)14 232dxdy 2(S1D2 14S2S3L5xdyydx(1)dx 2S4)c y2dxz2dy2 2、2 23x2dz。其中C是曲线2y2yRxr2(r0,z0)从x轴正向看去,逆时针方向。

4、解（1）R R cos2 2R .sin2z 一 R2x2Rsi n2R2.2 R . sin sin 42R2 sin2-cos2 2cos)2- COSd2 214解（2）R3由对称性: z2dy20，而，y dx2x dz 0 ,由上述参数法2 2R sincos d2 22sin tcos2t 2dt322R o sin t(1 2sin t)dt31c 3 112R3224 2 242R3 o 2(4x y ) (sin2t 2sin4t)dtR3向。(令 x Rcost, yRsint, z 1Rcost Rsint)注（1）设参数注重平面，“抓住平面痕迹，解得空间曲线（2）对称性

5、问题，以直观（几何）定义解之为好（3）计算：2 2 2x y Rydx zdy xdz。L:交线，从z轴正向看去逆时针方Lx y z 1例2格林公式（加线减线）(ex cosy ax)dy，C :从点 A(0,2a)沿曲线(1)计算exsin y b(x y)dxCx . 2ay y2到点O（0,0）的曲线。连接O, A直线段(记为L) I : Pdx Qdy Pdx QdyC LLexs iny b(x y)dx (ex cosy ax)dyC L：exsiny b(x y)dx (excosy ax)dyL2axx(e cosy a) (e cosy b)dxdy 0 cosydyD(b

6、a)dxdy sin y |亍Da)sin 2axdy ydxL 4x2 y22. L是不过原点的简单闭曲线（正向）计算曲线积分解当L不包围原点ldxdy2 24x y2 2(4x y )2 24x y（2）当L包围原点时，做小椭圆 L :4x y（使充分小，从而Le含于闭曲线内）。则:xdy ydx2L12(11)dxdy A 2Q PQ 可微，此时对于任注：本题为一特殊类型，形式：闭曲线围奇点；只当满足意围奇点的闭曲线积分相等。例3 (积分与路径无关问题)a. P，Q已知，积分与路径无关，自选路径(1)计算xdy ydx , L： y cosx,2则原式L x2yQp，积xyxdyydx解

7、易验证L1，做由A 1,0)至B(0,1)再到C(1,0)弧段x2y2 1(y 0)段(记为 L1)22 xdy ydx(cos21 sin 2t)dtx y L(2)计算1,1)沿 y x2 到A(12xy ey)dx (cosy xey)dy，其中 AOB为起于 A(AAOB0(0,0)再沿 y0 至 B(2,0)。eydx xeydyAOOB AO212xydx cosydy o(0 1)dxAAOd(xey)AAO12xx2dx101 cosydy 2xey(0,0)(1,1)4x n . n12| 1 sin y h 2 e 14sin1b. P, Q之一未知,已知积分于路径无关问题

8、。(1)设f具有连续二阶导数，且f(1)(1)xf其中L是任一不与y轴相交的简单光滑逼曲线，求f (x)。L原积分为零，则2f2yxt，得 tf(t)2f (t)2t ,f (t) | f (t)2f (t)2e2dtdtt22$dtt2t2tct22t ct2代入f (1)3 , f (t) 3t22t,f(t)t3 t2C1 ,代入初值 f (1)1 得 111 gg 1,则 f(t) t3 t21 即 f(x) x3 x21(2)设函数Q(x, y)与xOy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分l 2xydx Q(x, y)dy 路径无关,且t恒有(t,1)(1,t)2xydx Q(x, y

9、)dy 2xydx Q(x, y)dy (0,0)(0,0)求 Q(x, y)。解由于积分与路径无关，得 一 (2xy) 2x，则Q(x, y) x2 c( y)， c(y)为待定函数，则(t,1)(0,0)2xydx Q(x, y)dy1 2 20(t c(y)dy t10c(y)dy(1,t)ttt2xydxQ(x, y)dy Q(1,y)dy0(1 c(y)dy tc(y)dy(0,0)1t00x y21i从而 t 0c(y)dy t 0c(y)dy，对 t 求导得 2t 1 c(t) , c(t) 2t 1 ,c(y) 2y 1 从而 Q(x, y) x2 2y 1 ；小注：上述两例由

10、积分与路径无关，和P，Q之一未知而导得微分方程，称为解方程问题。向量值函数在有向曲面上的积分一、概念与形式1 定义流量 Q | v | S cos(n,v)=v s , dQ v ds=Pdydz Qdzdx Rdxdyv (P(x, y,z),Q(x, y,z), R(x,y,z)v dS Pdydz Qdzdx RdxdySS2 物理意义：计算流量，通量3. 性质:SS4. 计算方法：投影，定号：上正下负，右正左负，前正后负，做二重积分PQR5. 高斯公式dv Pdydz Qdzdx Rdxdy，：一(PcosQcosRcos )dS这里 是的整个边界曲面的外测，cos ,cos ,cos

11、是 在点(x, y,z)处的法向量的方向余弦二、例题2 2 2例1求积分 xyzdxdy，其中S: x y z 1， x 0, y 0部分外测s外解把 S 分成两部分：St: z . 1x2y2，Sr: z 1x2y2xy. 1 x2 y2dxdy ( 1) xy(、1 x2 y2 )dxdyr2rdr215S外 S上外 S下外 D xyD xyJ 2242 xy. 1 x y dxdy 2 ； sin cos dD xy4被z x 2,z0所截部分曲2 2ydzdx (z 1)dxdy ,其中 S: x yS面外测。解:ydzdx ydzdx ydzdxS外S左外S右外(4 x2)dzdx.

12、4 x2dzdxD zxDzx24 x2dzdx22422 2 xx dxdz 80Dzx(zS外1) dxdy0综上，原式8。axdydz(xa)dxdy例3计算:下半球面z. a2 x2y2上侧(a 0)。(x22y1 ,z2)2解做xoy面，记S0，则、 1原式axdydz (x a)dxdy丄(axdydz( 0) (x a)dxdyaa S as 下1 1adv ( 1)(x(0) a) dxdy232aaa Va Dxy3例 4 计算二 x2dydz 1 f () y2 dzdx z z 丄f() z2 dxdy,其中f具有连续偏 y z导数,. 2 2 2:z x y ,xz21

13、和x22 2y z 4所围立体表面外测。2x2y2zdv(A)0|(xv5 .240|z)dvzdv 2v- 2 2d 4 sin cos d r rdr0 1设S为上半球面:x2z2a2 (z0),(a0)，下列积分不为零的是x2dydz；S上(B)xdydz；S上(C)xdS ；(D)xyzdS ( B)SStoks公式应用例dydzdzdxdxdy、公式：；PdxQdyRdzSR Q()dydzs y z(上zR)dzdx xQ(上xP-)dxdy, yl与S的方向满足右手定则。二、例题例1计算 ydxCzdyxdz，C为曲线x2z2反时针方向。dydzdzdxdxdy解原式a其方向为从

14、z轴正向看去为0由 F (x, y, z)n0111(coscoscos0，Fxgg .3，cosdydzSdzdx dxdy)dS1，Fy 1，Fz 1，n (1,1,1)。1cos cos 。.3上式 .3 dS 3 a 。S2 2 2 2 2 2例 2 计算 | L(y z )dx (2z x )dy (3x y )dz，其中 L是平面| y | 1的交线，从z轴正向看去为逆时针方向。dydzdzdxdxdy解原式2y注意至U dydzcosdS上式(4x2 (x yDy2z2 x24z) dydz (3x22z-dS , dzdx2y 3z)dS6) dxdy 12D6 x) dzdx

15、cos dS23s4x(2x 2y)dxdy1 1:dS , dxdy cos dS -:- dS2y 3(2 x y) 一 3dxdydxdy 24。注：此类问题命题方式通常都是平面与曲面交线，且总是要化成第一型曲面积分来处理。同时为减少计算量 P, Q, R通常为一次函数，充其量不过二次。习题课1.计算曲线积分(x2 y2)ds，其中L是圆周x2 y2 ax .解利用L的极坐标方程r( ) a cos ,I22被积函数2 xy2r2( ) a2cos2,ds2 2 ,r r dad ，于二曰是(x2 y2)ds2 a2 cos2ad22 a3 2 cos2 d02a图 8 20例2 计算-

16、Jx y3)ds，其中L是圆周x2 y2 R2.解 利用曲线积分的性质，得l(x y3)ds = Lxds + ： y3ds对于*xds，因为积分曲线L是关于y轴对称的，被积函数fi(x,y) x是L上关于x的奇函数，所以xds = 0.L对于l y3ds，因为积分曲线L是关于x轴也是对称的，被积函数f2(x,y)y3是L上关于y的奇函数，所以y3ds = 0.综上所述，得l (x y3)ds = 0.关于对称性的一般法则设函数f(x, y)在一条光滑(或分段光滑)的曲线L上连续，L关于y轴(或x轴)对称，则(1)当f (x, y)是L上关于x (或y)的奇函数时，l f (x,y)ds 0

17、；(2)当f (x, y)是L上关于x (或y)的偶函数时,.f(x, y)ds 2 lLL1f(x,y)ds，其中曲线Li是曲线L落在y (或x)轴一侧的部分。计算ABCDAdx dy|xy| 1，其中ABCDA为|x| y| 1，取逆时针方向解积分路径如图8 21,利用对称即dy性。将原式分成两部分，dx0 ABCDA | xy |1dxdyO OABCDA | xy |1 ABCDA | xy |1第一个积分，曲线关于 x轴对称,在上半平面部分的走向与L在下半平面部分的走向相反(前者A C ,后者CA)，被积函数是y的偶函数。第二个积分，曲线关于 y轴对称，L在右半平面部分的走向与 L在

18、左半平面部图 8 - 21分的走向相反(前者D B，后者B D)，被积函数是x的偶函数。所以两个积分均为零.即ABCDAdx dy|xy| 1上述结论再一般情况下也成立 .对坐标的曲线积分，当平面曲线L是分段光滑的，关于 x轴对称，L在上半平面与下半平面部分的走向相反时，(1)若 P(x,y) P(x, y)(即 P(x, y)为 y 的偶函数)，贝U l P(x,y)dx 0 ；(2 )若 P(x, y) P(x, y)(即 P(x, y)为 y 的奇函数)，贝V LP(x, y)dx2 P(x, y)dx，其中Li为L的上半平面的部分.L1类似地，对LQ(x,y)dy的讨论也有相应的结论.

19、例4 设P(x,y) , Q(x, y)在光滑的有向曲线 C上连续，L为曲线弧 C的弧长，而M max . P2 Q2，证明Qdy证由两类曲线积分的联系和性质，有CPdxQdyc (P cosQsin )ds|(Pcos Qsin )| dsCC|(Pi Qj) (cos i sin j)|dsC|(Pi Qj)|(cos i sin j)|dsP2 Q2ds M ds ML.C C例5求面密度为常数的均匀抛物面壳z 2 (x2y2) (z 0)的重心坐标解由抛物面z 2 (x22y )的对称性和均匀性知，重心坐标中x 0, y 0 ,下面求坐标z.抛物面 在xOy平面上的投影区域 Dxy为x

20、2 y2 2，故有dS4x24 y2 dxdyDxy2213Irj1 4r dr .M xOy03dS2 (x2 y2) 1 4x2 4y2dxdyDxy20 r(2r2) 1 4r 2dr3710M xOy37所以70133投影区域Dxy相同见图9- 22.故图 8 - 22dydz0.dydz dydz dydz dydz12DxyDxy在计算zdzdx时，可分为两块，即右面一块3和左面一块 3，3在zOx平面上的投影为正,2在zOx平面上的投影为负，其投影区域Dzx相同故zdzdx 0.Dzxzdzdx zdzdx zdzdx zdzdxDzx在计算dxdy，时，注意被积函数 R(x,

21、y, z) y2ze2xy2中，在xOy平面上的投影为负，投影区域Dxy可用极坐标表示为1 r2,02 ，故例7计算限部分的上侧解因为cosze dxdy2 2x y2 2Dxy x ydxdydr12 e(1e).xdydz ydzdx (xz)dxdy，其中是平面2x 2y z 2在第一卦取上侧，因此法向量n与z轴正向的夹角为锐角，其方向余弦是cos-,cos 1，则有33xdydz ydzdx (x z)dxdy2211 1x-yx-z dS333333x 3y zz dS.1计算 3x 3y zz dS。3的方程为z 2 2x 2y，其在xOy平面的投影区域Dxy: 0 yx,0 x

22、1，又曲面的面积元素所以dSz! zjdxdy、1 ( 2)2(2)2dxdy 3dxdyxdydzydzdx (xz)dxdy2y 2 2x2y)3dxdy1dx1 x70 (x 2)dy 6例8计算IxL(e sin yA(a,0)到点0(0,0)的上半圆弧,解我们补一条直线OA，可以是呀格林公式I oa (ex siny my)dx = (exsin y my)dx (AnOAXXe cosy (e cosyDD02a2=m 2其中D为半圆x22y ax, y2a0, dxdyd8又“si nymy)dx (excosy my)dy0，故I例9计算一 xdydz ydzdx zdy，其中 为任一不经过原点的闭曲面的外测(x y z )解因为 0 (x2 y2 z2 0)，所以x y z(1) 当不包围原点时，由高斯公式即得xdydz ydzdx zdxdy=0。(x2y2 z2尸(2) 当 包围原点时，取 * x2 y2 z21的外测，由高斯公式，得.- xdydz ydzdx(x2zdxdy _ _ xdy