推荐结构弹塑性分析的新本构关系

1、推荐结构弹塑性分析的新本构关系秦荣（广西大学 南宁市 ）摘要 本文介绍了作者创立的新本构关系。这种新本构关系避开了屈服曲面，加载曲面及流动法则，避免了传统的经典本构关系带来的巨大困难及严重缺陷，突破了传统的经典本构关系。关键词：结构 弹塑性分析 新本构关系 弹塑性应变理论 弹粘塑性应变理论结构分析与结构材料的本构关系有密切关系。结构的材料是多种多样的，不同的材料有不同的本构关系。因此在结构非线性力学中，研究材料本构关系是一个重要问题。目前，国内外对结构弹塑性分析主要采用传统的经典本构关系-流动法则理论，它依赖于流动法则，而流动法则又依赖于屈服曲面、强化准则及加载曲面。在复杂应力状态中，屈服曲面

2、及加载曲面是否存在，现在还没有实验证实，只是推猜及理想化，同时流动法则会导致复杂的非线性应力应变关系。因此，利用这种传统的经典本构关系分析结构弹塑性问题，不仅计算非常复杂，而且也难保逼真度，为结构弹塑性分析带来了巨大的困难和严重的缺陷。本构关系是结构非线性分析不可缺少的理论基础。评价一个本构关系的好坏，不仅要看它们所反映客观的逼真度，而且还要看它们在计算上是否经济方便。如果一个本构模型在计算上很复杂，难以实现，则这个模型的逼真度再好，也难以推广使用。由此可知，建立一个新的本构模型，必须同时考虑到理论上的严格性、参数的易确定性及计算机实现的可能性。一个好的本构模型应在这三者之间达到最优的平衡状态

3、。针对经典本构关系存在的问题，作者建立了新的本构关系112。这种新的本构关系避开了屈服曲面、加载曲面及流动法则，避免了经典本构关系带来的巨大困难及严重缺陷。本文介绍这种新的本构关系。1 弹塑性应变增量理论1.1 单向拉伸状态图1 单向曲线图1是一个单向拉伸状态的应力应变曲线，其中A点为材料的弹性极限点或屈服极限点，也称初始弹性极限点或初始屈服点。材料在拉伸作用下应力-应变关系沿曲线OAB到达B点后，如果卸载，则卸载应力-应变关系沿直线BD下降，且BDOA。由此可知，当应力超过弹性极限或屈服极限时，材料的总应变为 （1）式中及分别为弹性应变及塑性应变，而应力可写成形式 （2）由此可得 （3）式中

4、、及分别为、及p的增量。如果采用线性强化弹塑性模型，则由式（3）可得 （4）式中为材料的强化函数，即 （5）当重新从D点开始加载时，应力-应变关系沿曲线DBC变化。不论加载曲线是OAB还是DB，在B点的应力都是，因此可以按路径DB来确定B点的应力状态。因为在DB段中的变形处于弹性状态，因此。故由式（1）可得 （6）将式（4）代入式（6）可得 （7）式中 （8）将式（8）中的代入式（7）可得 （9）这是塑性应变与总应变的关系（图2）。如果采用增量形式，则图2p关系 （10）式中、及分别为、及的增量。为弹性极限应变或后继弹性极限应变（屈服应变或后继屈服应变）。E为弹性模量。在图1中，B点为材料的后

5、继弹性极限点或后继屈服极限点。由此可知，在加载过程中，加载路径超过A点后，经过加载路径ABC上的任何一点（除A点外）都是后继弹性极限点或后继屈服极限点。例如，如果设BC上有B1、B2、B3及B4点，则B点、B1点、B2点、B3点、B4点及C点都是后继弹性极限点或后继屈服极限点，即由此可得 （11）式中及分别为加载路径ABC上B点及C点的应力。1.2 简单加载状态如果在加载过程中，结构内任一点的应力分量之间的比值保持不变，且按同一个参数单调增长，则这个加载称为简单加载，它符合简单加载定理5。在简单加载条件下的实验研究发现，等效应力及等效应变之间存在着几乎相同的关系，而与应力状态无关。因此，可以假

6、定，结构在任何应力状态下，其等效应力与等效应变之间存在着唯一的关系 （12）式中的具体形式由简单拉伸实验确定。这个假定称为单一曲线假定。实际上，在验证单一曲线假设的实验中，并没有完全满足简单加载条件，因此可以认为，在偏离简单加载不大的情况下，单一曲线假设仍然适用。由此可以得出一个结论：只要是简单加载或偏离简单加载不大，任何应力状态的曲线基本上与简单拉伸的曲线相同，可以用曲线表示曲线。在空间受力状态，如果加载方式是简单加载，则各点的应力分量都遵循同一比例，即 （13）各点的同类应力应变曲线都遵循同一曲线。如果材料处于塑性状态，则由图3可得 （14）式中：为应力分量；为弹性极限应力或屈服极限应力；

7、为总应变；为弹性应变；为塑性应变分量；为强化系数，即 （15）对于各向同性体，由广义虎克定律可得B点的应力分量： （16）式中。E为弹性模量，G为剪切模量，即 （17）其中为泊松比。由上述可求出图3 B点的应力分量。 图3 曲线如果设1、2及3为空间应力问题的主应变方向，则可以证明，在简单加载情况下，主方向的塑性应变分量为 （18）式中：为i方向的弹性模量；为i方向的弹性极限应变或后继弹性极限应变（屈服应变分量或后继屈服应变分量）；，其中为i方向的强化系数，即。如果固体为各向同性体，则可写为下列形式： （19）式中1，2，3。、及可写成下列形式： （20）其中及分为屈服应力及屈服应变，或后继屈

8、服应力极限及后继屈服应变极限（或后弹性极限）。对于各向同性体，任意方向的塑性应变分量可以通过坐标变换获得 （21）式中、及分别为与主应力方向1、2及3之间的夹角余弦，。如果固体为各向同性体，则将式（18）代入式（21）可得 （22）式中 / （23）式（23）的具体形式见式（30），这时式（30）按各向同性处理。由式（24）确定： （24）如果固体为正交各向异性体，则可以证明 （25）式中（26） I为单位矩阵，其中及分别为 （27） （28） 由式（2.17）可简化为 （29）式中 （30）由图3可知，利用正交广义虎克定理可求出点的应力分量： （31）式中为i方向应力引起j方向应变的泊松比。

9、由上述可得：（32）式中为屈服应变或后继弹性应变极限或后继屈服应变极限。如果采用,则可证明 （33）其中 （34）式中：D为弹性矩阵；I为单位矩阵。式（31）可简化为 （35）式中 （36）由上述可知，式（18）、（22）、（25）、（29）、（33）及（35）分别代表塑性应变向量与总应变向量的新关系。这种新关系称为弹塑性应变理论1，5。可利用式（24）或式（26）确定。1.3 复杂加载状态如果结构处于复杂加载状态，则由上述可得 （37）或 （38）如果采用，则 （39）或 （40）式中：、及分别为、及的增量。由上述可知，式（37）（40）代表塑性应变向量增量与总应变向量增量的新关系，这种关系

10、称为弹塑性应变增量理论1，5。1.4 应力应变关系如果结构处于弹塑性状态，则应力与应变有关系 （41）式中 如果采用增量形式，则由式（41）可得 （42）其中 式中：D为弹性矩阵，及由上述弹塑性应变理论的表达式确定。及可分别利用式（24）或式（26）确定。2 热弹塑性应变增量理论热弹塑性分析在工程中应用很广。实验证明，材料的弹性模量、Poisson比、热膨胀系数以及屈服应力等一般与温度有关，但某些材料，当温度在一定范围内变化时，上述物理量的改变并不显著，可以近似地看作与温度无关。本节介绍作者提出的热弹塑性本构关系。2.1 材料性质与温度无关的本构关系对于结构工程，如果采用弹塑性模型，则总应变向

11、量为 （43）式中、及分别为结构的弹性应变向量、塑性应变向量及温度应变向量。由上述可得 （44）式中：为塑性变形引起的应力变量；为温度变化引起的应力变量，即 （45）其中 （46）式中：T为温度变化；为热膨胀系数向量。如果采用弹塑性应变理论，则或 （47）因为，因此由式（47）可得 （48）上式可简化为 （49）由上述可知，式（48）（49）代表热塑性应变向量与总应变向量及温度应变向量的新关系，这种关系称为热弹塑性应变理论1，5。如果采用增量形式，则 （50）式中 （51）其中、及分别为应力向量、应变向量及温度的增量。由式（48）及（49）可得 （52）上式可简化为 （53）由上述可知，式（5

12、2）及（53）代表热塑性应变向量增量与总应变向量增量及温度应变向量增量的新关系，这种关系称为热弹塑性应变增量理论1，5。可利用式（24）或式（26）确定。2.2 材料性质与温度有关的本构关系如果材料性质与温度有关，则弹性模量、Poisson比、热膨胀系数都是温度T的函数，并且弹性极限应力或屈服应力也与温度有关。如果采用弹塑性模型，则 （54）因为 （55）因此 （56）由上式可得 （57）将式（57）代入式（54）可得 （58）式中 （59）其中 + （60）由此可得 （61）式中 （62）如果采用热弹塑性应变理论，则 （63）由此可得图4 弹粘塑性模型+ （64）由式（61）及（64）可得+

13、 （65）由此可得 （66）式中 （67）其中 （68）由上述可将式（66）简化为 （69） 由上述可知，式（66）及（69）代表热塑性应变向量增量与总应变向量增量及温度应变向量增量的新关系，这种新关系称为热弹塑性应变增量理论1，5。及可分别利用式（24）或式（26）确定。上述弹塑性应变理论、弹塑性应变增量理论、热弹塑性应变理论及热弹塑性应变增量理论是秦荣于1986年以来创立的。3 弹粘塑性应变增量理论弹粘塑性模型由弹性元件E、粘性元件V及塑性元件P混联构成。因为这种模型能较好地反映材料的力学特性，因此在塑性力学中应用很广。但传统的弹粘塑性理论对结构分析很困难，本文避开传统的弹粘塑性理论，创立

14、了弹粘塑性应变理论。3.1 单向应力状态图4是一个一维的弹粘塑性模型。弹性元件E代表弹性性质，粘性元件V代表粘性性质，塑性元件P代表塑性性质。由图4可得 （70） （71） （72）式中：、及分别为弹性元件、粘性元件及塑性元件的应力；、及分别为总应变、弹性应变及粘塑性应变。因为塑性元件代表塑性性质，因此当时，塑性元件不会发生变形；当时，塑性元件发生变形。对于强化材料，如果，则塑性元件中的应力可写成形式 （73）因为粘性元件代表粘性性质，因此粘性元件的应力可写成形式 （74）式中：为粘性系数；为应变率。将式（73）及（74）代入式（72）可得 （75）将式（71）代入上式可得 （76）将式（70

15、）代入上式可得 （77）它的增量形式为 （78）如果设 （79）则将式（79）代入式（78）可得 （80）这是粘塑性应变增量与总应变增量的新关系1，5。式中、及分别为总应变、粘塑性应变及屈服应变的增量，是一个参数，可在00.3范围内根据具体情况选定。3.2 复杂应力状态如果结构处于复杂应力状态，则 （81）式中 （82） （83）其余记号见式（23）（36）。将代入式（81）可得 （84）式中 （85）如果采用，则可得 （86）式中由式（36）及（86）可得或 （87）式中 （88） （89）由上述可知，式（84）、（86）及（87）代表粘塑性应变向量增量与总应变向量增量的新关系，这种新关系称

16、为弹粘塑性应变增量理论1，5。可利用式（24）或式（26）确定。3.3 应力应变关系如果结构处于弹粘塑性状态，则应力与应变有关系 （90）式中 （91）4 热弹粘塑性应变增量理论4.1 材料性质与温度无关如果结构处于复杂应力状态，则 （92）上式可简化为 （93）由上述可知，式（92）及（93）代表热粘塑性应变向量增量与总应变向量增量及温度应变向量增量的新关系。这种关系称为热弹粘塑性应变增量理论1，5。4.2 材料性质与温度有关如果材料性质与温度有关，则或 （94）上式可简化为或 （95）由上述可知，式（94）及（95）代表热弹粘塑性应变向量增量与总应变向量增量及温度应变向量增量的新关系，这种

17、关系称为热弹粘塑性应变增量理论1，5。可利用式（24）或式（26）确定。4.3 统一的本构理论如果采用全量形式，则 （96）上式可简化为 （97）式（96）及（97）代表热弹粘塑性应变全量理论1，5，式（94）及（95）代表热弹粘塑性应变增量理论，它们可以代表统一的本构理论，由此可以导出各类本构理论，式（94）及（95）可变为弹粘塑性应变增量理论。如果，则式（96）及（97）可变为热弹塑性应变全量理论，式（94）及（95）可变为热弹塑性应变增量理论。如果,则式（96）及（97）可变为弹塑性应变全量理论，式（94）及（95）可变为弹塑性应变增量理论。如果，则由式（94）及（95）可知，故结构处于

18、弹性状态。由此可知，式（94）及（96）代表统一本构理论1，5。上述弹粘塑性应变理论及热弹粘塑性应变理论是秦荣1986年以来创立的。5 新的本构关系如果将式（35）代入式（41），则可得： （98） 式中为弹塑性矩阵，即 （99） 其中为塑性矩阵，即 （100）它是由弹塑性应变理论建立的，不是由流动法则理论建立的，它是一个创新。将式（100）代入式（99）可得 （101）由上式可知，式（98）是一种新的本构关系。式中为弹性极限应变（或屈服极限应变）或后继弹性极限应变（或后续屈服极限应变），可利用式（24）或式（26）确定。 如果采用增量形式，则由式（40）及（42）可得 （102）这是增量形式

19、的本构关系，也是一种新的本构关系。式中及分别为及的增量。由式（24）或式（26）的增量确定。上述新的本构关系与流动法则理论不同。对于流动法则理论，式（102）中的为0，由流动法则理论建立的，给结构弹塑性分析带来巨大的困难及严重的缺陷。用本文新理论建立的比用流动法则理论建立的优越。6结语（1）本文介绍的结构塑性力学分析的新本构关系，是作者1985年以来长期研究的新成果，它避开了经典本构关系（流动法则理）带来的巨大困难及严重缺陷，突破了传统的经典本构关系。（2）塑性动力学的本构关系与应变率有密切关系。如果应变率不大，可以不考虑应变率的影响，采用静力本构关系。如果应变率较大，可采用弹粘塑性本构关系1

20、0。（3）作者的有些研究生利用这些新本构关系，研究过结构塑性力学分析，利用语言，编制过有关程序，算过一些例题，效果很好13-19。（4）有些学者引用过这个新本构关系，算过一些例题，效果很好20-27。（5）本文对作者过去的文献中有关笔误及印刷错漏进行了修正，并对有的问题进行解释，供读者参考，请注意。参考文献1秦荣，塑性力学中的新理论新方法，广西科学，1994，1（1）；广西力学学会1985年学术大会特邀报告，1985。2秦荣，板壳弹塑性问题的样条有限点法，力学学报，1989，21（增刊）。3秦荣，高层建筑结构弹塑性分析的新方法，土木工程学报，1994，27（6）。4秦荣，结构本构关系，广西科学，2002，9（4）。5秦荣，大型复杂结构非线性分析的新理论新方法，北京：科学出版社，2011。6秦荣，板壳非线性分析的新理论新方法，工程力学，2004，21（1）。7秦荣，朱旭辉，潘春宇，钢结构弹塑性分析的样条有限点法，科学技术与工程，2009，9（8）。8秦荣，计算结构力学，北京：科学出版社，2001。9秦荣，工程结构非线性，北京：科学出版社，2006。10秦荣，计算结构非线性力学！，南宁：科学技术出版社，1999。11秦荣，智能结构力学，北