数学史融入中学数学教学的实践与案

1、数学史融入中学数学教学的实践与案例数学史融入中学数学教学的实践与案例 数学史融入中学数学教学的实践与案例数学史融入中学数学教学的实践与案例 背景概念与思想公式与定理问题与求解结语 如何在数学教学中体现如何在数学教学中体现“立德树人立德树人”的根本任务，如何实的根本任务，如何实 施数学学科德育，日益受到人们的关注。施数学学科德育，日益受到人们的关注。 国际上，数学核心素养的内涵涉及知识、能力、思维、情国际上，数学核心素养的内涵涉及知识、能力、思维、情 感，而国内目前的数学核心素养框架中并未涉及数学情感。感，而国内目前的数学核心素养框架中并未涉及数学情感。 数学史与数学教育之间的关系（数学史与数学

2、教育之间的关系（HPM）是今日数学教育）是今日数学教育 领域的热门课题。领域的热门课题。 数学史融入数学教学的成效在实践中得到了检验，越来数学史融入数学教学的成效在实践中得到了检验，越来 越多的中学一线教师对越多的中学一线教师对HPM产生浓厚兴趣。产生浓厚兴趣。 如何设计、实施、评价如何设计、实施、评价HPM课例？课例？HPM视角下的数学教视角下的数学教 学实践是否可以促进教师的专业发展？学实践是否可以促进教师的专业发展？ 背背 景景 为什么要将数学史融入数学教学？融入什么？如何融入？为什么要将数学史融入数学教学？融入什么？如何融入？ 背背 景景 数学史料数学史料 人物事人物事 件件 概念术概

3、念术 语语 数学问数学问 题题 公式定公式定 理理 学科思学科思 想想 工具符工具符 号号 选材原则选材原则 趣味性趣味性 可学性可学性 科学性科学性 有效性有效性 新颖性新颖性 运用方式运用方式 附加式附加式 复制式复制式 顺应式顺应式 重构式重构式 效果评价效果评价 知识之知识之 谐谐 方法之方法之 美美 探究之探究之 乐乐 能力之能力之 助助 文化之文化之 魅魅 德育之德育之 效效 背背 景景 教师专业发展教师专业发展 信念信念知识知识能力能力 教学取向的数学知识（教学取向的数学知识（MKT）的构成）的构成 背背 景景 HPM课例的设计、实施和评价课例的设计、实施和评价 数学史融入中学数

4、学教学的实践与案例数学史融入中学数学教学的实践与案例 背景概念与思想公式与定理问题与求解结语 u教学设计教学设计 引入 古埃及一元一次方程问题古埃及一元一次方程问题 探究 古希腊丢番图问题的求解古希腊丢番图问题的求解 形成形成 用字母表示任意数或一类数用字母表示任意数或一类数 巩固 字母表示数的应用字母表示数的应用 小结小结 字母表示数的意义字母表示数的意义 案例案例1 用字母表示数用字母表示数 案例案例1 用字母表示数用字母表示数 问题问题1：一个量，加上它的2/3， 它的1/2和它的1/7，等于33。求 该量。 211 33 327 xxxx 案例案例1 用字母表示数用字母表示数 问题问题

5、2：已知两数的和与差，你能 求出这两个数吗？ 公元前1700年16世纪公元3世纪 古巴比伦人古巴比伦人 修辞代数：修辞代数： 用文字来表达用文字来表达 一个方程一个方程 丢番图丢番图 缩略代数：缩略代数： 用字母表示未用字母表示未 知数知数 符号代数符号代数 用字母表示任用字母表示任 意数意数 韦韦 达达 案例案例1 用字母表示数用字母表示数 案例案例1 用字母表示数用字母表示数 问题问题3：搭5个正方形，需要几根火柴棍？搭任意多个 正方形呢？ 44+134+234+33 生：任意多个正方形所需火柴棍数：生：任意多个正方形所需火柴棍数：4+(正方形个数正方形个数-1) 3 案例案例1 用字母表

6、示数用字母表示数 知识之谐知识之谐 经历从字母表示未知数到字母经历从字母表示未知数到字母 表示任意数的自然过程表示任意数的自然过程 探究之乐探究之乐 积累数学活动经验积累数学活动经验 文化之魅文化之魅 字母表示数的历史字母表示数的历史 德育之效德育之效 数学思想发展的曲折与艰辛数学思想发展的曲折与艰辛 学学 生生教教 师师 内容与课程知识（内容与课程知识（KCC） 字母表示数的历史字母表示数的历史 内容与学生知识（内容与学生知识（KCS） 从字母表示未知数到字母表从字母表示未知数到字母表 示任意数的困难示任意数的困难 内容与教学知识（内容与教学知识（KCT） 借鉴代数学的历史来设计教借鉴代数学

7、的历史来设计教 学学 太上感应篇太上感应篇“入重入重 出轻出轻”的的故事故事。 案例案例2 反比例函数反比例函数 引入引入 案例案例2 反比例函数反比例函数 数据a(cm)n(g)b(cm)m(g) 第1次8100450 第2次810012150 第3次810016200 a和和n不变不变, b和和m之间的正比例关系之间的正比例关系 新课探究新课探究 案例案例2 反比例函数反比例函数 a和m不变, b和n之间的反比例关系 数据a(cm)m(g)b(cm)n(g) 第1次81001650 第2次81008100 第3次81004200 总结：当n增加时，b却减少， b随 n的增加而减小。且满足b

8、n = am = 非零常数，b与n成反比例。 案例案例2 反比例函数反比例函数 定义：设b = y，n = x，则y = k/x。形如y =k/x（k为常数，且k 0）的函数成为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k 是比例系数。 概念形成概念形成 辨析： （1）对“形如”怎样理解？ （2）怎样理解“k为常数，且k 0”？ （3）反比例函数与前面所学的什么知识有联系？ （4）为什么成为反比例函数？ u教学设计教学设计 引入 笛卡儿的故事笛卡儿的故事 探究 如何表示天花板上的苍蝇的位置？如何表示天花板上的苍蝇的位置？ 形成形成 直角坐标的概念直角坐标的概念 巩固 在直角坐标系中求点的坐标在

9、直角坐标系中求点的坐标 小结小结 直角坐标系的意义直角坐标系的意义 案例案例 3 直角坐标系直角坐标系 从那天起，当它们臆测从那天起，当它们臆测 又一个真理揭开了面容又一个真理揭开了面容 在地狱般的圈栏在地狱般的圈栏 暴发出一阵阵哀鸣暴发出一阵阵哀鸣 案例案例 3 直角坐标系直角坐标系 缪斯女神把这光芒馈赠缪斯女神把这光芒馈赠 毕达哥拉斯要把祭礼行毕达哥拉斯要把祭礼行 百牛烤熟又切片百牛烤熟又切片 难表心中感激之情难表心中感激之情 难阻真理发现者的暴行难阻真理发现者的暴行 毕氏让它们永不得安宁毕氏让它们永不得安宁 它们瑟瑟颤抖着它们瑟瑟颤抖着 绝望地闭上了眼睛绝望地闭上了眼睛 复习旧知：数轴的

10、三要素复习旧知：数轴的三要素； 笛卡儿的故事；笛卡儿的故事； 问题问题1：苍蝇向右爬：苍蝇向右爬5cm，如何，如何 表示它的位置？表示它的位置？ 问题问题2：苍蝇向左爬：苍蝇向左爬5cm，如何，如何 表示它的位置？表示它的位置？ 案例案例 3 直角坐标系直角坐标系 问题问题3：苍蝇向上爬：苍蝇向上爬5cm， 如何表示它的位置？如何表示它的位置？ 问题问题4：苍蝇向右爬：苍蝇向右爬3cm， 再向上再向上5cm，如何表示它的，如何表示它的 位置？位置？ S：用：用+3表示。表示。 T：那如果苍蝇向上爬了：那如果苍蝇向上爬了6cm， 7cm，又如何表示它的位置，又如何表示它的位置 呢？呢？ S：还是

11、：还是+3。 T：可是，苍蝇的位置明明：可是，苍蝇的位置明明 不同啊？不同啊？ 案例案例 3 直角坐标系直角坐标系 问题问题4：苍蝇向右爬：苍蝇向右爬3cm，再向上，再向上5cm，如何表示它的位置？，如何表示它的位置？ 案例案例 3 直角坐标系直角坐标系 S：用：用8来表示。来表示。 T：那么如果苍蝇先向右爬：那么如果苍蝇先向右爬4cm， 再向上爬再向上爬4cm，那你怎么表示？，那你怎么表示？ S：还是：还是8。 T：不同的位置，但是你却用：不同的位置，但是你却用同同 一一个个数来表示，同学们觉得这样数来表示，同学们觉得这样 可行吗？可行吗？ S：不可行。：不可行。 问题问题4：苍蝇向右爬：苍

12、蝇向右爬3cm，再向上，再向上5cm，如何表示它的位置？，如何表示它的位置？ 案例案例 3 直角坐标系直角坐标系 S：用：用“5垂直于垂直于3”表示。表示。 T：那如果苍蝇向左爬了：那如果苍蝇向左爬了3cm，再向上爬了，再向上爬了5cm呢？呢？ S：“5垂直于垂直于-3”。 T：这位同学很棒，用两个数来表示点的位置，那么这位同学很棒，用两个数来表示点的位置，那么 能不能再简练一点呢？能不能再简练一点呢？ S：5 3。 S：5.3。 S：5/3。 问题问题4：苍蝇向右爬：苍蝇向右爬3cm，再向上，再向上5cm，如何表示它的位置？，如何表示它的位置？ T：还有其他表示方法吗？：还有其他表示方法吗？

13、 有两组学生开始用量角器与直尺有两组学生开始用量角器与直尺 S7：北偏东北偏东50 。 T： T：我们将：我们将5垂直于垂直于3表示为（表示为（3, 5）。）。 案例案例 3 直角坐标系直角坐标系 案例案例 3 直角坐标系直角坐标系 知识之谐知识之谐 经历坐标概念的自然发生过程经历坐标概念的自然发生过程 探究之乐探究之乐 体验成功的快乐、积累数学活体验成功的快乐、积累数学活 动经验动经验 文化之魅文化之魅 数学与现实生活之间的联系数学与现实生活之间的联系 德育之效德育之效 兴趣、自信心、亲近数学兴趣、自信心、亲近数学 学学 生生教教 师师 内容与课程知识（内容与课程知识（KCC） 直角坐标系的

14、历史直角坐标系的历史 内容与学生知识（内容与学生知识（KCS） 从一维到二维的困境从一维到二维的困境 内容与教学知识（内容与教学知识（KCT） 借鉴坐标概念的历史来设计借鉴坐标概念的历史来设计 教学教学 水平内容知识（水平内容知识（HCK） 直角坐标系与数轴的联系直角坐标系与数轴的联系 案例案例4 函数的概念函数的概念 函数概念的历史函数概念的历史 总之有自变量、因 变量且一个 x 有且 仅有一个 y 的值与 其对应的式子 案例4 函数的概念 师：关于函数概念，同学们并不陌生。现在，请大家回 忆一下，初中数学中的函数是怎么定义的？ 引入引入 L. Euler (1707 1783) 案例案例4

15、 函数的概念函数的概念 欧拉的函数定义欧拉的函数定义(1748)： 一个变量的函数是由该变量一个变量的函数是由该变量 和一些数或常量以任何方式和一些数或常量以任何方式 组成的解析式。组成的解析式。 无穷分析引论 德摩根代数学德摩根代数学的定义的定义(1837)： A. de Morgan (1806-1871) 案例案例4 函数的概念函数的概念 Any expression which contains x in any way is called a function of x. 李善兰李善兰的译文：的译文：“凡式中含天，凡式中含天， 为天之为天之函数函数。”这便是中文这便是中文 “函数函数

16、”名称的由来。名称的由来。 案例案例4 函数的概念函数的概念 例例1(课本课本)：表表1列出了列出了男子一百米栏项目男子一百米栏项目从从1900年开始年开始的世界纪录的世界纪录 创立的时间和成就，创立的时间和成就，请请思考：思考： （1）统计表中有统计表中有哪哪几个变量？是什么？几个变量？是什么？ （2）当时间年份确定时，相应的世界纪录成绩是否确定？能写出当时间年份确定时，相应的世界纪录成绩是否确定？能写出 成绩随时间变化的关系式吗？成绩随时间变化的关系式吗？ 年份年份19001908192019361959197319932006 成绩成绩15.41514.814.213.213.112.9

17、112.88 男子男子100米栏世界纪录统计表米栏世界纪录统计表 案例4 函数的概念 概念生成概念生成 从从“解析式解析式”到到“变量依赖关系变量依赖关系” 案例4 函数的概念 问题问题：下图为某天沪深300指数随时刻变化的图像。该 图像体现了指数和时刻之间的关系，那么这两个变量之 间的关系能否用一个解析式来刻画呢？ 如果某个量依赖于另一个量，如果某个量依赖于另一个量， 当后面这个量变化时，前面这当后面这个量变化时，前面这 个量也随之变化，则前面这个个量也随之变化，则前面这个 量称为后面这个量的函数。量称为后面这个量的函数。 微分学基 础 L. Euler (1707 1783) 案例4 函数

18、的概念 欧拉欧拉的新定义（的新定义（1755）：）： 案例4 函数的概念 例例2：y = 0 ( x R ) 是不是一个函数？说明理由。是不是一个函数？说明理由。 师：初中阶段我们学习了具体的一次、二次函数等，初中阶段我们学习了具体的一次、二次函数等， 在这些函数中，变量在这些函数中，变量 y 与与 x 之间就有明确的依赖关系。之间就有明确的依赖关系。 但是，利用但是，利用“依赖关系依赖关系”来刻画函数，是否尽善尽美来刻画函数，是否尽善尽美 了呢？了呢？ 从从“变量依赖关系变量依赖关系”到到“变量对应关系变量对应关系” 课前的问卷调查表明：课前的问卷调查表明：161人中有人中有 65人认为它不

19、是函数关系，占比人认为它不是函数关系，占比 40.37%。理由是：。理由是： y 不随不随 x 的变化而变化；的变化而变化； 没有没有 y 与与 x 的关系式；的关系式； x 与与 y 之间没有关系；之间没有关系； y没有依赖没有依赖 x 的变化而改变，的变化而改变， 是 60% 否 40% 案例4 函数的概念 例例2：y = 0 ( x R ) 是不是一个函数？说明理由。是不是一个函数？说明理由。 师：那我们该怎样描述这两个变量之间的关系呢？重 新审视函数 y = 0 ( x R ) ，无论 怎样变化， 的值都是 以不变应万变，此处的关键词“应”即为“对应”之 意，也就是对每一个 的值，都有

20、 的值0与之对应。我 们能否从这样一个新的视角来理解前面遇到的例子呢？ 生：男子100米栏世界纪录表中，对于每一个出现的年 份，都能找到一个世界纪录与之对应；而在沪深指数 图像中，每一个时刻都有一个确定的股票指数与之对 应。 案例4 函数的概念 师：理解得很到位，那么对于我们熟悉的函数y=2x2 呢？ 生：对每一个x的值，都有y的值与之对应。 师：我们还发现，对于变量x的每一个值，y都有唯一 的值与之对应，说明我们同样可以从对应的角度来理 解曾经学习过的函数。通过以上实例的分析，同学们 能否提炼并概括一下这些关系的共同特征？ 生：以上函数关系中，对变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一确定的

21、值与之对应。 案例4 函数的概念 师：那么，能不能用集合的语言和对应关系来描述初 中所学的函数概念呢？ 生：如果在某个变化的过程中有两个变量 x 和 y，对 于某个实数集合 D 内的每一个确定的 x， y 都有唯一 确定的值和它对应，那么 y 就是 x 的函数，x 叫做自 变量，x 的取值范围叫做函数的定义域，和 x 对应的 y 的值叫做函数值。 师：非常好！这正是德国数学家狄利克雷于1837年提 出的函数定义。 案例4 函数的概念 狄利克雷的现代定义（狄利克雷的现代定义（1837）：）： 设设 a、b 是两个确定的值，是两个确定的值，x 是可取是可取 a、b 之间一切值的之间一切值的 变量。

22、如果对于每一个变量。如果对于每一个 x， 有唯一有限的有唯一有限的 y 值与它对应值与它对应, 当当x连续变化时，连续变化时，y 也随之变也随之变 化那么化那么 y 叫做叫做 x 的函数。的函数。 L. Dirichlet（1805-1859） 案例4 函数的概念 案例4 函数的概念 师：反观刚才分析过的这些函数，其对应关系可以用 一个图表、一个图像或者一个解析式来呈现，我们把 它统称为“对应法则”。例如表1中，14.2与1936对应， 1973有唯一的13.1与之对应，这个表表格格就是一个对应 法则。那么同学们能否从这个角度来分析其他例子的 对应关系呢? 生：图2的沪指变化图图像像就是一种对

23、应法则。 生：函数 y = 2x2，这个解析式解析式就是一种对应法则。 案例案例4 函数的概念函数的概念 3 4096 32768 案例5 对数的概念 计算： 1 16 256 2 256 4096 案例5 对数的概念 x12345678910 24816326412825651210242x x1112131415161718 2048409681921638432768655361310722621442x x192021222324 5242881048576209715241943048388608167772162x x2526272829 335544326710886413421

24、77282684354565368709122x x30313233 10737418242147483648429496729685899345922x mnm + n MN=MN 案例5 对数的概念 299792.45831536000 + 光在真空中的速度光在真空中的速度 （千米（千米/ /秒秒) ) 一年的秒数一年的秒数 = 1光年光年 一个天文单位一个天文单位 299792458 31536 1798754748 899377374 1498962290 299792458 899377374 9454254955488 案例案例5 对数的概念对数的概念 计算： 案例5 对数的概念

25、x1112131415161718 2048409681921638432768655361310722621442x x2526272829 33554432671088641342177282684354565368709122x 31536 299792458 案例5 对数的概念 x 1416384.000 14.930573.625 14.9431433.166 14.94431520.438 14.944531531.364 14.9445931533.331 14.9450031537.703 1532768.000 2 x 2 log 31536 我们需要创造新数！ 31536.

26、000 几何原本卷11之棱柱定 义 一个棱柱是一个立体图形， 它是有一些平面构成的，其 中有两个面是相对的、相等 的、相似且平行的，其他各 面都是平行四边形。 案例案例 6 棱柱的概念棱柱的概念 Wentworth x 解一元二次方程： 2 2536;x 2 329x 用几何语言来表达上述方程。 案例11 解一元二次方程的配方法 问题提出问题提出 9世纪阿拉伯数学家花拉子米在他的代数学中提出以 下问题：一平方与十根等于二十迪拉姆，求根。（解一 元二次方程方程 ） 2 1020 xx 师：在古代，开方就相当于“已知正方形面积求边长”。 那么，这个问题是否也可以借助几何图形来解决呢？请 同学们观察

27、一下，这个方程的左边可以表示成什么图形？ 生1：边长为x的正方形面积，再加上一个长和宽分别为x 和10的长方形。 方法引导方法引导 案例11 解一元二次方程的配方法 师：将它们拼在一起，能得到什么图形？ 生：长为x +10，宽为x的长方形。 师：请画到黑板上，让大家看看。 生1：在黑板上作出一个长方形。 案例11 解一元二次方程的配方法 师：但问题又来了，这不是一个正方形，不能直接开平 方吧。 生2：要把它变成一个正方形，用截补的方法。 生3：在黑板上将生1所作的长方形补成正方形。 案例11 解一元二次方程的配方法 师：我们一起来看看，此时这个图形的面积是怎么表示 的？ 生：表示为 x2 +

28、20 x +100。 师：对比一下原来的方程，这里的一次项与原方程有出 入，怎么办？ 生4：在等式右边也加上10 x。 生5：不行，这样不满足开平方法的特征呀。 生：左边满足，右边不行，加得太复杂了。 师：右边多了一次项，那怎么办？能不能不让它多出来？ 案例11 解一元二次方程的配方法 生5：在黑板上给出了一种作图法。 案例11 解一元二次方程的配方法 2 545x 师师：请生5说说你的具体做法。 生5：把长为x、宽为10的矩形一分为二，再把其中一半 移到正方形的下方，最后补上边长为5的小正方形。 师：太棒了！和花拉子米的做法完全一样。众生啧啧 称奇。请同学们想一想，这相当于对原方程实施了怎

29、样的操作呢？ 生： 。 师：我们最后得到的方程满足开平方法的特征。 2222 102010520545xxxx 案例11 解一元二次方程的配方法 拓展理解拓展理解 古巴比伦泥板上的问题：已知两数乘积为10，差为4， 求这两数，相当于解方程一元二次方程 x2 - 4x = 10。 教师让学生分小组讨论相应的几何方法。学生遇到 了很大困难，一筹莫展！ 案例11 解一元二次方程的配方法 最后，一个学生仿照一次项系数为正的情形解决了难题。 2 2222 41042102214xxxxx 相应的配方过程： 数学史融入中学数学教学的实践与案例数学史融入中学数学教学的实践与案例 背景概念与思想公式与定理问题

30、与求解结语 数学史融入中学数学教学的实践与案例数学史融入中学数学教学的实践与案例 数学史与教师数学史与教师MKT之间的密切关联之间的密切关联 数学史 一般内 容知识 专门内 容知识 内容与 课程知 识 内容与 学生知 识 内容与 教学知 识 水平内 容知识 一种模式一种模式 一个团队一个团队 一批案例一批案例 一条进路一条进路 数学史融入中学数学教学的实践与案例 谢谢聆听 师：那我们该怎样描述这两个变量之间的关系呢？重 新审视函数 y = 0 ( x R ) ，无论 怎样变化， 的值都是 以不变应万变，此处的关键词“应”即为“对应”之 意，也就是对每一个 的值，都有 的值0与之对应。我 们能否从这样一个新的视角来理解前面遇到的例子呢？ 生：男子100米栏世界纪录表中，对于每一个出现的年 份，都能找到一个世界纪录与之对应；而在沪深指数 图像中，每一个时刻都有一个确定的股票指数与之对 应。 案例4 函数的概念 案例5 对数的概念 x12345678910 24816326412825651210242x x1112131415161718