高中数学2-3第1课时距离和高问题同步导学案北师大版必修5

1、第1课时距离和咼度问题知能目标解读1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法求解不可到达的两点之间的距离2. 学会处理测量距离、测量高度等解三角形的实际问题3. 深刻理解三角形的知识在实际中的应用，增强应用数学建模意识，培养自己分析问题和解决实际问 题的能力.重点难点点拨重点：分析测量的实际情景，找出解决测量距离的方法难点：分析如何运用学过的解三角形知识解决实际问题中距离测量和高度问题 学习方法指导用题要注意两点：意，理解问题的实际背 求，准确理解应用题中的1E弦宦理三角形甬 几何知识1. 解三角形应用题的基本思路宴际间副型警换学模型I 解三角形应(1)读懂题 景，明确已知和所有关术语、名称

2、 那童图 1 鋼 一 实际问题的劇酒I數学模型的詹 -理清量与量之间的关系(2)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求2. 常见应用题型正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面 积问题、航海问题、物理问题等3. 解三角形应用题常见的几种情况(1)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条 边解三角形的问题，从而得到运用正弦定理去解决的方法(2)测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点

3、距离测量问题，然后运用正弦定理 解决知能自主梳理实际问题中的名词、术语于某一正方向(东、西、南即由指北方向旋转久到(2).即是由指北方向旋转a1. 方位角：从指北方向时针转到目标方向的水平角如图 所示.2. 方向角：相对 北)的水平角. 北偏东a, 达目标方向，如图 北偏西a, 到达目标方向.3. 基线：在测量上，我们根据测量的需要适当确定的线段叫做基线.一般来说，基线越，测量的精确度越高4. 测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，这类问题不能直接用解三角形的方法 解决，但常用和，计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的 问题5仰角与俯角：目标

4、方向线（视线）与水平线的夹角中，当目标（视线）在水平线时，称为仰角，在水平线时，称为俯角，如图答案1顺2. 顺时针逆时针3. 长4. 正弦定理余弦定5. 上方 下方思路方法技巧例1如图，测量人员沿直线MNP的方向测量，测得塔 AB的仰角分别是/ AMB命题方向测量高度问题1530,/ ANB45/ APE=60, 且 MN=F=500m 求塔高BF=x cot60分析 解题的关键 解析 设AB高为 AB垂直于地面， ABM ABN ABP BMx cot30 =是读懂立体图形.x.均为直角三角形，3 x, BN=x cot45 = x在厶MN肿,由余弦定理，得 bM=mN+bN-2 MN- B

5、N- cos / MNB,在厶PN沖，由余弦定理，得bP=nP+bN-2 NP- bn- cos / PNB又BNM与/ PNB互补，MN=N=500,22 3x =250000+x -2 x 500x cos / MNB1 2 2-x =250000+x -2 x 500x cos / PNB310 2 2 + ，得 x=500000+2x,3 x=250.6 .答：塔高250 .6 m.说明在测量高度时，要理解仰角和俯角的概念，区别在于视线在水平线的上方还是下方，一般步骤是: 根据已知条件画出示意图； 分析与问题有关的三角形； 运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解； 把解出答案

6、还原到实际问题中还要注意综合运用平面几何和立体几何知识以及方程的思想变式应用1如图，在塔底B处测得山顶C的仰角为60,在山顶C测得塔顶A的俯角为45，已知塔高AB=20m, 求山高DC（精确到0.1m）.E分析如图，DCX45即可求出DC而BC又在解析由已知条AABC90 -60 =30 , / ACB60 DB/ CAB=180 - ( /BC在厶ABC中,sin 135ABsin 15在Rt BCD中，/ DBC60。，只需求出边 BC的长, 斜三角形ABC中，依据条件由正弦定理可求出 BC 件，得/ DBC60 , / EC/=45 ,则在 ABC中，/-45 =15 ,ABC/ ACB

7、 =135 .AB sin135-BC=sin 1520 2 j 20.3 1 .-、6 24在 Rt CDB中CD=BC sin/ CBD20(3 +1)47.3.CBD180 - (45 +75) =60在厶 ACD中, / CAD=80 - (120 +30)BO100；3sin75sin 60200 s in 75答：山高约为47.3m.命题方向 测量距离问题例2 要测量河对岸两地 A B之间的距离，在岸边选取相距100 3米的C D两点，并测得/ACB75 , / BCD45。, / ADC30 , / ADB45（ A、B、C D在同一平面内），求 A、B两地的距离.分析此题是测量

8、计算河对岸两点间的距离，给出的角度较多，涉及几个三角形，重点应注意依 次解哪几个三角形才较为简便解析如图所示，=30 , AC=CD100 . 3 .在 BCD中，/ 由正弦定理，得在厶ABC中，由余弦定理，得AB= (100 3 ) 2+ (200sin75 )2-2 x 100 3 x 200sin75 cos7521 cos1502=1002(3+4 x23 sin 150 )=l002x 5,2 AB=100 5 .答：A B两地间的距离为100 , 5米.说明 (1)求解三角形中的基本元素，应由确定三角形的条件个数，选择合适的三角形求解，如本题选择的是厶 BCDA ABC(2)本题是

9、测量都不能到达的两点间的距离，它是测量学中应用非常广泛的三角网测量方法的原理，其中AB可视为基线(3 )在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，如本例的CD在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高.变式应用2如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔 A的方位角为110，航行半小时后船到达 C点，观测灯塔 A的方位角是65 .问货轮到达C点时与灯塔A的距离是多少?分析根据所给图只要根据所给的方位角数AC的长.解析在

10、厶ABC中,/ ABC140 -110/ACB：(180形可以看出，在厶ABC中,已知BC是半小时路程, 据，求出/ ABC及 A的大小，由正弦定理可得出1B(=40X=20,2=30 ,-140 )+65 =105 , A=180 -(30 +105 )=45BC sin ABC 20 sin 30 由正弦定理，得AC=10 一 2 (km).sin Asin 45答：货轮到达 C点时与灯塔A的距离是10 . 2 km.探索延拓创新命题方向综合应用问题例3如下图所示，甲船以每小时30 . 2海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于 A处时，乙船位于甲船的北偏西 105

11、的方向B处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A处时，乙船航行到甲船的北偏西 120 方向的B处，此时两船相距10.2海里，问乙船每小分析 甲、乙 船航行的距离即可. 的问题.解析如上图，T AaB2=102 ,A?时航行多少海里？两船航行时间相同，要求得乙船的速度，只需求得乙连结AB,转化为在厶ABB中已知两边及夹角求对边连结AB, AiA2=-0 x 30 2 =10 2 .60 AAB是等边三角形，/ BAB=105 -60 =45在厶AE2B中，由余弦定理得2 2 2BE2 =AB +Ai B2 -2 AiBi AiB2cos45=20-+(102 )-2 x 20 x 10

12、 . 2 x 一 =200,2则 BB2=10 . 2 .因此乙船的速度的大小为20即乙船每小时航行 30 ,2海里.说明仔细观察图形，充分利用图形的几何性质挖掘隐含条件，并通过添加适当的辅助线将问题纳入到三角形中去解决是解此类问题的关键变式应用3海中有小岛 A,已知A岛四周8海里内有暗礁.今有一货轮由西向东航行，望见A岛在北偏东75航行20 , 2海里后见此岛在北偏东 30 .如货轮不改变航向继续前进，冋有无触礁的危险?分析如图大小，若AD 8,则无解析如图由已知/所示，要判断有无触焦危险，只要看 触礁危险，否则有触礁危险AD的长与8的所示，作NBA75ADL BC的延长线于D,/ ACD6

13、0 , BC=20、2 .由正弦定理，得ACsin 1520/2sin 18015120 AC=10( . 6 - . 2 ),二 AD=AC- sin60 =15、2 -5 .6 8.无触礁危险说明本题中理解方位角是解题的关键.北偏东75是指以正北方向为始边，顺时针方向转75 .名师辨误做答例4 某观测站C在城A的南偏西20的方向，由城 A出发的一条公路，走向是南偏东40,在C处测得公路上 B处有一人，距 C为31千米，正沿公路向 A城走去，走了 20千米后到达 D处，此时CD间的距离为21千米，问：这人还要走多少千米才能到达A城？误解本题为解斜三角形的应用问题，要求这人走多少路才可到达 A

14、D的长，在厶ACD中，已知 CD=21千米，/ CAD60，只需再求出一个量即可 .如图，设/ ACDa , / CDB3 ,在厶CBD中，由余弦定理，得。BD2 CD2 CB2 cos 卩=2BD CD4(3sin 卩=-7.? ACD中,2 2 220213112 20 217ACsin 1802121sin 603 2.A& 響 473 24. CD=aC+aD-2 AC AD- cos601即 212= 242+ADi-2 X 24X - AD2整理，得 ACJ-24 AD-135=0,解得AO15或AO9,答：这个人再走15千米或9千米就可到达 A城.辨析本题在解厶ACD寸，利用余弦

15、定理求 AD产生了增解，应用正弦定理来求解jF北勺r东cos32oy4廳L sin 3 =.7又 sin a=sin( 3 -60 )Z X1 +遏 X 17227正解如图，令/ ACDa，/ CDB3 ,在厶CBD中，由余弦定理得=sin 3 cos60 -sin605.314 BD2 CD2 CB22BD CD2 220 212 20cos 3在厶ACD中,21sin 60ADsin3121217，.ad= 21 sin =15（千米）. si n60答：这个人再走15千米就可以到达 A城.课堂巩固训练一、选择题1. 如图所示，在河岸 AC测量河的宽度BC测量下列四组数据，较适宜的是（）A

16、. a 和 cB. c 和 bC.c和卩D.b和a答案D解析在厶ABC中，能够测量到的边和角分别为b和a .2. 如图所示，D C、B在地平面同一直线上，DC= 10m从D C两地测得A点的仰角分别为 30和45则A点离地面的高AB等于（）A.10mB.5 , 3 mC.5（3 -1）mD.5（ . 3+1） m答案 D解析 在厶ABC中，由正弦定理得10si n135AD=10 3 1sin 15在 Rt ABC中, AB=ADn30 =5（ . 3 +1）（m）.D. a , 3 ,b3. （2012 福州高二质检）如图所示，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据A.

17、 a ,a,bC.a,b, y答案 C解析根据实际情况，a、3都是不易测量的数据，而 a,b可以测得，角丫也可以测得，根据余弦定理AB=a2+b2-2 abcos 丫能直接求出 AB的长，故选 C.4. （2011 上海理，6）在相距2千米的A B两点处测量目标点 C,若/ CAB75 , / CBA60，贝U A C两点之间的距离为千米.答案6解析本题考查正弦定理等解三角形的知识，在三角形中，已知两角和一边可求第三个角以及利用正弦定理求其它两边/ CAB=75,/ CBA60 ,/ C=180 -75 -60 =45由正弦定理：ACABsin CBAsin CAC2sin 60sin 45A

18、& . 6 .、填空题5.某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上塔CD的高，由A、B两地测得塔顶C的仰角分别为60和45 ,又知A、B两点处测量与地面垂直的AB的长为40米，斜坡与水平面成30角，则该转播塔的高度是米答案解析40 33如图所示,由题意，得/ ABC45 -30 = 15/ DAC60 -30 =30/ BA(=150 , / ACB15 AC=AB40 米，/ ADC120 , / ACD30。在厶ACD中，由正弦定理，得sin ACDsin 30CD= AC=sin ADCsin 120三、解答题40= 43.36.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定

19、两点45 , / CBA75 ,AB=120 米，求河的宽度A B,望对岸的标记物C,测得/ CA昏解析如图,在厶 ABC中，/ CAB45,Z CB/=75,/ ACE=60 .由正弦定理，得AC AB sin CBA sin ACB120si n75sin 60=20 (3、2 6 ).设C到AB的距离为CD则 CD=AGin / CAE=AC=20 (3+3 )2答：河的宽度为 20 ( .3+3)米.一、选择题1.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，课后强化作业如图，测得AC的长度为4m, / A=30 ,则其跨度AB的长为(B.8mA.12mC.3 3 mD.4 , 3 m答案D解析

20、在厶ABC中，已知可得BC=A=4, / C=180 -30 X 2= 120所以由余弦定理得aB=aC+bC_2 AC BGCOS120 2 2 1=4 +4 -2 X 4X 4X( - )=482 AB=4 . 3 (m).2.从塔顶处望地面 A处的俯角为30 ,则从A处望塔顶的仰角是()A.-60 C.60 答案BB.30 D.1503.海上有A B两个小岛相距10海里，从 A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，贝U B C间的距离是()A.10 . 3海里C.52海里答案DB.106海里D.5 一 6海里解析如图，由正弦定理得BCsin 6010sin 45 B

21、C=5 , 6 .4.某人向正东方向走 x km后，他向右转150,然后朝新方向走 3 km,结果他离出发点恰好3 km,那么x的值为（）A. . 3B.2 3C.2 3 或 3D.3答案C解析由题意画出三角形如下图则/ AB（=30 ,2由余弦定理得， cos30 = ，二x=2 , 3 或.3 .6x5. 甲船在湖中B岛的正南A处，AB=3km甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从 B岛出发，以 12km/h的速度向北偏东60方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是（ ）A. 7 kmB. 13 kmC. . 19 kmD. .103,3 km答案B15解析 由题意知AM=8 X

22、2, BN6012更360,MB=AB-AM-2=1 ,所以由余弦定理得mN=MB+bN-2MB BNCos120 =1+9-2 X 1X 3X (-1丄）=13，所以2MNJ13 km.6.在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30、60，则塔高为（A.400 米3B.C.200 . 3 米答案D.200解析如图，设AB为山高，CD为塔高，则 AB=200,/ ADIM30 , / ACB60 , BC=200cot60=2 3 , AMtDMfen303ac=BCta n302003 CD=AB-AM400 .37. 一货轮航行到 M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15,与灯塔

23、S相距20海里，随后货轮按北偏西 30 的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为()A.20( . 2 + . 6 )海里/时B.20( . 6 -2 )海里/时C.20 (、6 + .3 )海里 / 时D.20( . 6 - , 3 )海里 / 时答案解析题意可知/ NMS45,/ MNS105则/ MSN 180 -105 -45 = 30 .而 MS=20,在MN沖，由正弦定理得MNsin 30MSsin 105.mn空迴丄sin 105 sin 604510sin60 cos30 cos60 sin30=_1010 6 、2一 6 24=10( 6 - , 2

24、).1_1,_货轮的速度为10( . 6 -、2 )十一=20( . 6 - . 2 )(海里/时).28. 如图所示，在山底 A处测得山顶B的仰角/ CAB45,沿倾斜角为30 的山坡向山顶走1 000米到达S 点，又测得山顶仰角/ DS号75,则山高BC%()B.200mA.500 . 2 m在厶ABS中，AB=AB sin135sin 3010001C.10002 mD.IOOOm答案D解析/ SA45 -30 =15 ,/ SBA=Z ABC / SBC45 - (90 -75 )=304317=1 000 2 , BC=AB- sin45 =1 000 . 2 x 2 =1 000

25、(m).2二、填空题9. 一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30方向上，15 min后到点B处望见灯塔在船的北偏东75方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是km.(精确到 0.1 km)答案4.2解析 作出示意图如图.由题意知,AB=24X亠,60/ ASB=45 ,由正弦定理得,可得BS=2 =3 2、26= BSsin 45 sin 30 4.2 (km)It10.从观测点A看湖泊两岸的建筑物 B C的视角为60 , AB=100m,AC=200m，则B C相距.答案解析100 . 3 m在厶ABC中，由余弦定理得bC=AB+aC-2 AB AC- co

26、sA2 2 1=100 +200 -2 X 100 X 200 X =300002所以 BO 100 3 m.11.甲、乙两楼相距 20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30。，则甲、乙两楼的高分别是答案20 3米，米3解析如图，依题意有甲楼的高度 AB=20 tan60 =20,3 （米），又CM=DB0米,/ CAM60,所以 AM=CMcot60故乙楼 的 高度为OC处向正东行驶，到心米,312.如图，一辆汽车在一条水平的公路上从CD=20 3-22=42 （米）.33A处时，测量公路南侧远处一山顶D在东南15的方向上，行驶 15km后到达B处,30的方向上，仰角

27、为15,则此山的高度CD等于km.测得此山顶在东偏南答案5 (2- ,3 )解析在厶 ABC中, / A=15 , / C=30-15ARsin A=15 ,由正弦定理，得BG ARSinAsi nC5 sin15 厂5. sin 15又 CD=BC tan / DBC5X tan 15 =5X tan（45 -30 ）= 5（2- 忑）.三、解答题13. （ 2012 厦门高二检测）海面上相距10海里的A B两船，B船在A船的北偏东45方向上，两船同时接到指令同时驶向 C岛，C岛在B船的南偏东75方向上，行驶了 80分钟后两船同时到达 C岛，经测 算，A船行驶了 10 7海里，求B船的速度.解析如图所示，在 ABC中, AB= 10, AO10.7,/ AB（=120由余弦定理，得ItJtLorr cAC=BA+Bd2 BA BC- cos120 即 700 = 100+ BC+