两角和与差与二倍角公式讲义例题含答案

1、3.3两角和与差及二倍角公式(答案)3.3两角和与差及二倍角公式【复习要求】1. 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联2. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能够利用两角和与差的公式、二倍角公式进行三角函数式的求值、化简和证明、【知识回顾】1两角和与差的三角函数sin();sin()cos()；cos()tan();tan()2 .二倍角公式：在sin( ),cos(),tan()中令，可得相应的二倍角公式。si n2 ；cos2 =tan 2。3 .降幕公式2 sin2； cos注意：二倍角公式具有“升幕缩角“作用，降幕公式具有“降幕扩角”作用4. 辅助角公式y a s

2、inx bcosx a2 b2 sin(x ),(其中 a, b 不能同时为 0)证明：ysin x cosx x2 一 ( ,a sin xbcos X) a2 b2其中，cos. a2 b2 (cos sin x sin cosx) 、a2 b2 sin(x )ab=2 /，sin /，tan.a ba b在使用时，不必死记结论，而重在这种收缩(合二为一)K一且角终边过点(a,b)a思想5. 公式的使用技巧(1)连续应用：sin(sin(sin()cos cos()sin(2)“1 ”的代换：sin2cos2(3)(4)tan(收缩代换：y sin x公式的变形：tan tancosx1

3、, sin2b2 sin(x.a21 tan tantan(tan(tan tan1 tantantan(如：tan 95otan 35o、3ta n95ota n35ota n70otan 50otan70otan 50o(5 )角的变换(拆角与配角技巧)22，1,tan4)tan)tan(其中a, b不能同时为tantan( ) ,(44424(6 )二倍角公式的逆用及常见变形二倍角的正用、逆用、变形应用是公式的三种主要使用方法，在求值、sintantan(tan(1 -( 2)，)tan)tantantan)，特别是二倍角的余弦公式，它化简、证明中有广泛的应用，解题时应根据不同的需要，灵

4、活选取。2sin cos : cos2 2cos2 sin21 2sin2 22cos2122 tan : 1 si n22(sin cos ) ； (sincos)22(sin cos )221 tan 25 三角函数式的化简异角化同角；(1)化简方法：直接应用公式进行降次、消项；化切为弦，异名化同名，角公式的逆用等。降幕或升幕(2 )化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少;尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数。6三角函数的求值类型有三类(1 )给角求值:一般所给出的角都是非特殊角，要观祭所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角

5、的三角函数值问题；(2 )给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，女口(),2()()等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；(3 )给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，关键也在于“变角”，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合所求角的范围或函数的单调性求得角。7三角等式的证明(1)三角恒等式的证明根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一、转换命题等方法，使 等式两端化“异”为“同”；(2 )三角条件等式的证明通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系。若从结论开始，通过变形，将已知表达式代

6、入得出结论，采用代入法；若从条件开始，化简条件，将其代入要证表达式中，通过约分抵消等 消去某些项，从而得出结论，采用消参法；若这两种方法都证不出来，可采用分析法进行证明。三【例题精讲】例1.求值:oocos20 cos10sin 20o考点一、给角求值 ooo,3sin 10 tan70 2cos40【解】原X.=学烝dlb +岳inW罕黑一 2cos40 nliiZOsinO-COS20 .一- : .82cos105sinlO cos JOcos20 男 一 2cos40 Jcos 20 2cos40 sinZO= 2cos40 + 22eos40 = 2+例 2.求值：2sin50 si

7、n 10(13tan10) 2sin280解：原式=(2血MT+ sinlOX空电J作ml ,血菇n&T-coslO + sinlO*=(271150*+2曲口10r-?)xV2coslOcoslO2 coslO* + sinlO cos(6010 )=2 屈in(5(T + lb)=晶【反思归纳】对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有:化为正负相消的项，消去求值化分子、分母使之出现公约数进化为特殊角的三角函数值 行约分而求值。考点二、给值求值22cos sin 1例3.已知tan 22 2,22 ，求2的值.、2si n()4【解】(l)Tan2tf=、黔吧 n

8、一2眞民I 一 tan u42代原式1 +匚0詔一1 _呂 in844例4.已知0-45) ，求 sin(13)的值3 33，cos() 一，sin(4 45412gf+加=_13(a+0)_3665cos(+/3)cos(千一口) +0)sin(寸13)X I,2O = 5665 65*34bx(_T)Q)二 sin(or + /?) = cos-y +=-g$(乎 4 p)-(的值.1，且,(0,)，求 2例 5.已知 tan( ) -,tan2例 6.已知 f(x) 1 COsx sinx1 sinx cosx考点三、给值求角例 7.已知 5sin3sin(2 )，求证：tan( ) 4

9、tan 0证明：把 5石g = 2p)彳匕成5sinL(a +8 = 3sinL(tr/?)旳 * 得 5sin(o!)3)cos4 5cos(a /3)sin/?= 3sin(a /?) cosj3 3cos(a/3)sin移项合并得 2sin(a j3)cos+8cos(a )sin=O.yA厉稣7r+p-上无两边都除以2cosy3to(ap) * 即得 tan(a一/3)+4tai? 0.【练习】1.已知tan 2，则哑Co雪1 cos解亦原式=迥门牛止。凹(Ain a + cos a ) esd asintrcosacos asm 口sin0.5“OS今1 Q252 得 l-sm2.4

10、 = ?t Asin2A 24I- sin 2A - -4V4.(08年咼考山东卷改编)已知 cos() sin ，则sin(65解析：由已知得y-cosa+-sina即 ycosa+sina=百.得?in(a-H )=sin(0,从而 sina= Jl cosa-ttfri同理可得舄因此iana = j aan =-丄工“/小lann+lan2所kZ tan(a+3)=-匕=尸1 tanatanj , 八“ 13卜豆(2)lan(aH2p) tan；(仪 + 0) +0 =rl-(-3)X-i7.已知、为锐角，向量a(cos ,si n)，b(cos ,si n r1)，c (,211)(1

11、)若r【 若a b.2 r r ,a c3 1,求角2的值；r24r右a bc ,求 ta n的值(2)由 a =-fr+r可得从而由 tan(a + 2) = 1 得 口+2=”2cos/3= cosa QsirJ siriir * -y*yJ1J十得 cosa- siik = -y t3 sin2ff *4寸.co .sinocosa5C * 创11盘= 乳nflcos(r=_,sin_a + costr2tanatan a 1 I:.3tan2ff8tana+3=0.1 1 e有严T7i宓1JX V0. .4士疗 tcllla 一L乐舟又： 0 Va V . 0 v号 由得 co4-t AO-1-. t 口口 “r d 3*4 77 (cilia由 J.得立p=二,由(_0为俛角I *p j-m* 2从而 2pj=wjr*8.若 cos-17,cos()47, 且、511都是锐角，求cos39.（2010淮安调研，16