22.2二次函数与一元二次方程[教资优择]

1、1教资借鉴 回顾旧知回顾旧知 2 yaxbxc 二次函数的一般式：二次函数的一般式： （a0） _是自变量，是自变量，_是是_的函数。的函数。xyx 当当 y = 0 时，时， ax + bx + c = 0 2教资借鉴 ax + bx + c = 0 这是什么方程？这是什么方程？ 是我们已学习的是我们已学习的“一元二次方程一元二次方程” 一元二次方程根的情况与一元二次方程根的情况与b-4ac的关系？的关系？ （a0） 3教资借鉴 w 我们知道我们知道: :代数式代数式b2 2-4-4ac对于方程的根起着关键的作用对于方程的根起着关键的作用. . 复习复习 . 2 4 2 a acbb x 有

2、两个不相等的实数根方程时当00,04 22 acbxaxacb :00,04 22 有两个相等的实数根方程时当acbxaxacb . 2a b x 没有实数根方程时当00,04 22 acbxaxacb .4. 004 2 22 acb acbxaxacb 即来表示用根的判别式 的叫做方程我们把代数式 一元二次方程根的情况与一元二次方程根的情况与b-4ac的关系的关系 4教资借鉴 探究一：二次函数探究一：二次函数y = ax2 2 + + bx + + c与与 一元二次方程一元二次方程ax2 2 + + bx + + c = 0 0有什么关有什么关 系系? ? 5教资借鉴 1 1、一次函数一次

3、函数y=kx+by=kx+b与一元一次与一元一次 方程方程kx+b=0kx+b=0有什么关系有什么关系? ? 2 2、你能否用类比的方法猜想二次、你能否用类比的方法猜想二次 函数函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与一元二次方程与一元二次方程 axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的关系的关系? ? 6教资借鉴 以以 40 m /s的速度将小球沿与地面成的速度将小球沿与地面成 30角的方角的方 向击出时，球的飞行路线是一条向击出时，球的飞行路线是一条抛物线抛物线，如果不考，如果不考 虑空气阻力，球的飞行高度虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位单位:m)与飞行时间与飞行时间 t (

4、单位单位:s)之间具有关系：之间具有关系：h= 20 t 5 t 2 考虑下列问题考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要若能，需要 多少时间多少时间? （2）球的飞行高度能否达到）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要若能，需要 多少时间多少时间? （3）球的飞行高度能否达到）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？为什么？ （4）球从飞出到）球从飞出到落地落地要用多少时间要用多少时间? 实际问题 7教资借鉴 解：解：（1）当）当 h = 15 时，时， 20 t 5 t 2 = 15 t 2 4 t 3 = 0 t 1 = 1，t

5、2 = 3 当球飞行当球飞行 1s 和和 3s 时，它的高度为时，它的高度为 15m . 1s3s 15 m 以以 40 m /s的速度将小球沿与地面成的速度将小球沿与地面成 30角的方向击出时，角的方向击出时， 球的飞行路线是一条球的飞行路线是一条抛物线抛物线，如果不考虑空气阻力，球，如果不考虑空气阻力，球 的飞行高度的飞行高度 h (单位单位:m)与飞行时间与飞行时间 t (单位单位:s)之间具有关系：之间具有关系：h= 20 t 5 t 2 考虑下列问题考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间若能，需要多少时间? 8教资借鉴 （2）

6、当）当 h = 20 时，时， 20 t 5 t 2 = 20 t 2 4 t 4 = 0 t 1 = t 2 = 2 当球飞行当球飞行 2s 时，它的高度为时，它的高度为 20m . 2s 20 m 以以 40 m /s的速度将小球沿与地面成的速度将小球沿与地面成 30角的方向击出时，角的方向击出时， 球的飞行路线是一条球的飞行路线是一条抛物线抛物线，如果不考虑空气阻力，球的，如果不考虑空气阻力，球的 飞行高度飞行高度 h (单位单位:m)与飞行时间与飞行时间 t (单位单位:s)之间具有关系：之间具有关系：h= 20 t 5 t 2 考虑下列问题考虑下列问题:（2）球的飞行高度能否达到）球

7、的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间若能，需要多少时间? 9教资借鉴 （3）当）当 h = 20.5 时，时， 20 t 5 t 2 = 20.5 t 2 4 t 4.1 = 0 因为因为(4)244.1 0 ，所以方程，所以方程无实根无实根。 球的飞行高度达不到球的飞行高度达不到 20.5 m. 20.5 m 以以 40 m /s的速度将小球沿与地面成的速度将小球沿与地面成 30角的方向击出时，球的飞行路线角的方向击出时，球的飞行路线 是一条是一条抛物线抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位单位:m)与飞行与飞行 时间时间 t (

8、单位单位:s)之间具有关系：之间具有关系：h= 20 t 5 t 2 考虑下列问题考虑下列问题:（3）球的飞行高度能否达到）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？为什么？ 10教资借鉴 （4）当）当 h = 0 时，时， 20 t 5 t 2 = 0 t 2 4 t = 0 t 1 = 0，t 2 = 4 当球飞行当球飞行 0s 和和 4s 时，它的高度为时，它的高度为 0m ，即，即 0s时，球从地面飞出，时，球从地面飞出，4s 时球落回地面。时球落回地面。 0s 4s 0 m 以以 40 m /s的速度将小球沿与地面成的速度将小球沿与地面成 30角的方向击出时，球的飞行路线角的方向击

9、出时，球的飞行路线 是一条是一条抛物线抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位单位:m)与飞行时与飞行时 间间 t (单位单位:s)之间具有关系：之间具有关系：h= 20 t 5 t 2 考虑下列问题考虑下列问题:（4）球从飞出到）球从飞出到落地落地要用多少时间要用多少时间? 11教资借鉴 从上面发现，二次函数从上面发现，二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c何时为何时为 一元二次方程一元二次方程? 一般地，当一般地，当y取定值时，二次函数为一元取定值时，二次函数为一元 二次方程。二次方程。 如：如：y=5时，则时，则5=ax2+bx+

10、c就就 是一个一元二次方程。是一个一元二次方程。 为一个常数为一个常数 （定值）（定值） 12教资借鉴 例如例如, ,已知二次函数已知二次函数y=-Xy=-X2 2+4x+4x的值为的值为3,3,求自变求自变 量量x x的值的值. . 就是求方程就是求方程3=-X3=-X2 2+4x+4x的解的解, , 例如例如, ,解方程解方程X X2 2-4x+3=0-4x+3=0 就是已知二次函数就是已知二次函数y=Xy=X2 2-4x+3-4x+3的值为的值为0,0,求自变量求自变量 x x的值的值. . 13教资借鉴 已知二次函数值，求自变量的值 解一元二次方程的根 二次函数与一元二次方程的关系（二

11、次函数与一元二次方程的关系（1） 14教资借鉴 1、二次函数、二次函数y = x2+x-2 , y = x2 - 6x +9 , y = x2 x+ 1 的图象如图所示。的图象如图所示。 (1).每个图象与每个图象与x轴有几个交点？轴有几个交点？ (2).一元二次方程一元二次方程? x2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0有几个根有几个根? 验证一下一元二次方程验证一下一元二次方程x2 x+ 1 =0有根吗有根吗? (3).二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象和的图象和x轴交点的坐标与轴交点的坐标与 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系的根有什么关系? 2 2

12、yxx 2 69yxx 2 1y xx 答：答：2个，个，1个，个，0个个 .,2 ,2无实数根个相等的根个根 边观察边思考边观察边思考 15教资借鉴 2 2yxx 2 69yxx 2 1y xx (3),二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象和的图象和x轴交点的坐轴交点的坐 标与标与 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关的根有什么关 系系? 二次函数二次函数 与与x轴交点坐标轴交点坐标 相应方程的根相应方程的根 2 2yxx 2 69yxx 2 1y xx (-2,0),(1,0) x1=-2,x2=1 (3,0) x1=x2=3 无交点无交点 无实根无实根 16教资

13、借鉴 抛物线抛物线y=ax2+bx+c与与x轴交轴交 点的横坐标点的横坐标是方程是方程ax2+bx+c =0 的的根根。 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根的两个根 为为x1,x2 ，则抛物线，则抛物线 y=ax2+bx+c与与x轴轴 的交点坐标是的交点坐标是(x1,0),(x2,0) 17教资借鉴 下列二次函数的图象下列二次函数的图象与与 x 轴有交点轴有交点吗吗? 若有，求出交点坐标若有，求出交点坐标. （1） y = 2x2x3 （2） y = 4x24x +1 （3） y = x2 x+ 1 探究探究 x y o 令 y= 0，解一元二次方程的根 18教资借鉴 （1）

14、 y = 2x2x3 解：解：当当 y = 0 时，时，2x2x3 = 0 （2x3）（）（x1） = 0 x 1 = ，x 2 = 1 3 2 所以与所以与 x 轴有交点，有两个交点。轴有交点，有两个交点。 x y o y =a（xx1）（）（x x 2） 二次函数的交点式二次函数的交点式 19教资借鉴 （2） y = 4x2 4x +1 解：解：当当 y = 0 时，时，4x2 4x +1 = 0 （2x1）2 = 0 x 1 = x 2 = 所以与所以与 x 轴有一个交点。轴有一个交点。 1 2 x y o 20教资借鉴 （3） y = x2 x+ 1 解：解：当当 y = 0 时，时，

15、x2 x+ 1 = 0 所以与所以与 x 轴没有交点。轴没有交点。 x y o 因为（因为（-1）2411 = 3 0 b2 4ac = 0 b2 4ac 0 b2 4ac = 0 b2 4ac 0，c0时，图时，图 象与象与x轴交点情况是（轴交点情况是（ ） A. 无交点无交点 B. 只有一个交点只有一个交点 C. 有两个交点有两个交点 D. 不能确定不能确定 D C 29教资借鉴 3. 如果关于如果关于x的一元二次方程的一元二次方程 x22x+m=0有两有两 个相等的实数根，则个相等的实数根，则m=，此时抛物线，此时抛物线 y=x2 2x+m与与x轴有个交点轴有个交点. 4.已知抛物线已知

16、抛物线 y=x2 8x + c的顶点在的顶点在 x轴上，轴上， 则则 c =. 1 1 16 5.若抛物线若抛物线 y=x2 + bx+ c 的顶点在第一象限的顶点在第一象限,则方则方 程程 x2 + bx+ c =0 的根的情况是的根的情况是. b24ac 0,c0时时,图象与图象与x轴交点情况是轴交点情况是 ( ) A 无交点无交点 B 只有一个交点只有一个交点 C 有两个交点有两个交点 D不能确定不能确定 C X1=0，x2=5 36教资借鉴 (6)如果关于如果关于x的一元二次方程的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相有两个相 等的实数根等的实数根,则则m=,此时抛物线此时抛物线 y

17、=x2-2x+m 与与x轴有个交点轴有个交点. (7)已知抛物线已知抛物线 y=x2 8x +c的顶点在的顶点在 x轴上轴上, 则则c=. 1 1 16 (8)一元二次方程一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根的两个根 是是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数那么二次函数y= 3 x2+x-10与与x轴的交点坐标是轴的交点坐标是. （-2、0）（5/3、0） 37教资借鉴 练习：练习： 1、抛物线、抛物线y=x2-x+m与与x轴有两个交点，轴有两个交点， 则则m的取值范围是的取值范围是 。 2、如果关于、如果关于x的方程的方程x2-2x+m=0有两个相等有两个相等 的实数根，此时抛物线的实数根，此时抛物线y=x2-2x+m