2、圆内接四边形性质定理

1、圆内接四边形性质定理证明：A如右图：圆内接四边形ABCD，圆心为 O，延长 BC 至 E，AC、BD 交于 P，则：一、圆内接四边形的对角互补：ABC+ ADC=180， BCD+ BAD=180二、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：DCE= BAD三、圆内接四边形对应三角形相似： BCP ADPB四、相交弦定理：APCP=BPDP五、托勒密定理：ABCD+ADCB=ACBDDPOCE一、圆内接四边形的对角互补的证明（三种方法）【证明】方法一： +=360利用一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。 A+C=1 360 =180D2A同理得 B+ D=180（也可利用四边形内角和等于3

2、60）OBC如图，连接 OB、 OD 则 A= 1 ， C=1 22360及同弧所对的圆周角均相等【证明】方法二：利用四边形内角和为利用直径所对应的圆周角为直角。D设圆内接四边形ABCD8证明： A+C=180， B+ D=180A17O263B45C连接 BO 并延长，交O 于 E。连接 AE、 CE。则 BE为 O 的直径 BAE= BCE=90 BAE+ BCE=180 BAE+ BCE- DAE+ DAE=180 即 BAE- DAE+ BCE+ DAE=180 DAE= DCE（同弧所对的圆周角相等） BAE- DAE+ BCE+ DCE=180即 BAD+ BCD=180 A+ C

3、=180 B+D=360-（ A+ C） =180 （四边形内角和等于 360）【证明】方法三：连接 AC、 BD，将 A、 B、 C、 D 分为八个角 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8 1+ 2+ 3+4+ 5+ 6+ 7+ 8=360（四边形内角和为 360） 4= 1， 7= 2， 8=5， 3=6（同弧所对的圆周角相等） 1+ 2+ 5+6= 1 360=1802 1+ 2= A 5+ 6= C A+C=180 B+ D=360-（ A+C） =180 （四边形内角和等于 360）二、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角证明DAPOBCE如图，求证：DCE= BAD B

4、CD+ DCE=180（平角为180） BCD+ BAD=180（圆内接四边形的对角互补） DCE= BAD三、圆内接四边形对应三角形相似如上图，求证： BCP ADP， ABP DCP证明： BAP= CDP， ABP= DCP CBP=DAP， BCP= ADP（一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。）（一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。）又 APB= DPC（对顶角相等）又 APD= BPC（对顶角相等） ABP DCP BCP ADP四、相交弦定理仍用上图，求证：APCP=BPDP证明： BCP ADP（圆内接四边形对应三角形相似） APDP （相似三角形的三边对应成比例）BP

5、CPAPCP=BPDPADPOBCE五、托勒密定理求证：如图，四边形ABCD内接于圆 O，那么 ABCD+ADBC=ACBD【证明】方法一：作辅助线 AE，使 BAE= CAD，交 BD于点 E ABC AED ABE=ACD（同弧 AD所对的圆周角相等） BCAC ，即 BCAD=ACDE (2)又 BAE= CADDDEAD ABE ACDA(1)+(2),得 ABBE ，即 ABCD=ACBE (1)O ABCD+BCAD=ACBE+ACDE=AC（ BE+DE） =ACBDCACCDE BAE=CADB BAE+EAC= CAD+ EAC即 BAC=EAD又 ACB= ADE（同弧 A

6、B 所对的圆周角相等）【证明】方法二：利用西姆松定理证明托勒密定理。（提示：本题要使用正弦定理），初三现有知识还不能求证。广义托勒密定理广义托勒密 (Ptolemy) 定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，其推论是任意凸四边形 ABCD，必有 ACBDABCD+AD，BC而且当 ABCD四点共圆时取等号。内容：凸四边形对边乘积和 对角线的积托勒密定理的推论：任意凸四边形 ABCD，必有 ACBDABCD+AD，BC当且仅当 ABCD四点共圆时取等号。证明如下：在四边形 ABCD中 ,连接 AC、BD,作 ABE= ACD, BAE= CAD，则 ABE ACD BAE= CAD BAE+ EAC=CAD+EAC即 BAC=DAE又 AB/AE=AC/AD, BE/CD=AB/AC,AB/AC=AE/AD BE*AC=AB*CD,AB/AE=AC/AD ABC AED BC/ED=AC/AD ED*AC=AD*B