2018-2019学年福建省泉州市泉港一中、南安市国光中学高三(上)期中数学试卷(理科)

1、2018-2019 学年福建省泉州市泉港一中、南安市国光中学高三（上）期中数学试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0分）1.已知集合A=123，B= x|x2 9 ，则 AB=（）， ，A. -2 ， -1， 0， 1，2， 3B. -2 ， -1， 0，1， 2C. 1，2，3D. 1 ，22.已知复数 z=-2i（其中 i 为虚数单位），则|z|=（）A. 3B. 3C.2D.23.在 ABC 中，“? 0”是“ ABC 为锐角三角形”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件4.C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件设数列 an 是单调

2、递增的等差数列，113， a5+5成等比数列，则2019a =2且 a -1， aa =（）A. 1009B. 1011C.2018D.20195.sin +cos =，则 tan =（）A. -1B. -C.D.16. 函数 f（ x）=sin（x+）（ 0，| | ）的最小正周期是 ，若其图象向左平移 个单位后得到的函数为奇函数，则的值为（）A.B.C.-D.-7.函数+2 的图象可能是（）A.B.C.D.第1页，共 17页8. 我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一并五关所税，适重一斤 .”其意思为“

3、今有人持金出五关，第1 关收税金为持金的，第 2 关收税金为剩余金的，第 3 关收税金为剩余金的，第 4 关收税金为剩余金的，第 5关收税金为剩余金的 5关所收税金之和，恰好重1 斤 ,则在此问题中，第5 关收税金（）A. 斤B.斤C.斤D.斤abab，则（）9.设正实数满足6=2，A. 0B.1C.2D.310.已知数列 an为等差数列，若nn，且它们的前 n 项和 S有最大值，则使得 S 0 的 n 的最大值为（）A. 39B.40C.41D.4211. 已知两个单位向量 ， ，且满足 ? =- ，存在向量 使 cos（ - ， - ） = ，则 | |的最大值为（）A.2B.C.D.11

4、2. 已知点 P 是曲线 y=sinx+ln x 上任意一点， 记直线 OP（ O 为坐标系原点） 的斜率为 k，则（）A. 至少存在两个点P 使得 k=-1B.C. 对于任意点 P 都有 k 1D.二、填空题（本大题共5 小题，共35.0 分）对于任意点P 都有 k 0存在点 P 使得 k113.=（213+=54），则cos =设向量 与 的夹角为， ），（ ，14.已知若函数 g（ x）=f（ x）-kx+k 只有一个零点，则 k 的取值范围是 _ABCabcABCa2 2 2，则 tanB 的最15.的三边所对的角分别为，已知+4 b =c设 ， ，大值为 _16.在直角坐标系 xOy

5、 中，以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2+12 cos +11=0（ ）求圆 C 的直角坐标方程；（ ）设过点 P（ 1，0）且倾斜角为 的直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，且 |PA|= |PB|，求直线 l 的普通方程17. 已知函数 f（ x） =|2x+b|+|2x-b|（ I）若 b=1 解不等式 f（ x） 4（ ）若不等式 f（ a） |b+1|对任意的实数 a 恒成立，求 b 的取值范围三、解答题（本大题共5 小题，共60.0 分）18. 已知在等差数列 an 中， Sn 为其前 n 项和， a2=2， S5=15；等比数列

6、bn 的前 n 项和第2页，共 17页（ I）求数列 an ， bn 的通项公式；（ II ）设 cn=an?bn，求数列 cn 的前 n 项和 Cn19. 如图，在 ABC 中，点 P 在 BC 边上， PAC =60 ，PC =2， AP+AC=4 （ ）求边 AC 的长；（ ）若 APB 的面积是，求 sinBAP 的值20. 食品安全问题越来越引起人们的重视，农药，化肥的滥用给人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200 万元，搭建了甲，乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20 万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现

7、种西红柿的年收入P 与投入 a（单价：万元）满足，种黄瓜的年收入Q 与投入 a（单价：万元）满足，设甲大棚的投入为x（单价：万元），每年两个大棚的总收益为f（ x）（单价：万元）（ ）求 f（ 50）的值（ ）试问如何安排甲，乙两个大棚的投入，才能使总收益f（ x）最大？21. 将射线y= x（x0后所得的射线经过点A（cos sin ）绕着原点逆时针旋转，）（ ）求点 A 的坐标；（ ）若向量=（ sin2x， 2cos），=（3sin， 2cos2x），求函数在区第3页，共 17页间上的单调性22. 已知函数 f（ x） =（ln x-k-1） x（ kR）（ 1）当 x 1 时，求 f（

8、 x）的单调区间和极值；（ 2）若 x1x2，且 f（ x1） =f（ x2），证明：第4页，共 17页答案和解析1.【答案】 D【解析】【分析】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用先求出集合 A 和 B，由此利用交集的定 义能求出 AB的值 【解答】2解：集合 A=1 ，2，3 ，B=x|x 9=x|-3 x3 ，故选 D2.【答案】 B【解析】解：z=-2i=-2i=3-i-2i=3-3i ，则 |z|=3 ，故选：B根据复数的运算法 则和复数的模 计算即可本题考查了复数的运算法 则和复数的模，属于基 础题3.【答案】 B【解析】解：由只能得到角 A 是锐

9、 角，无法得到ABC 为锐 角三角形；但ABC 为锐角三角形 时，角A 一定是锐角，故“?0”是“ABC 为锐角三角形 ”的必要不充分条件故选：B由只能得到角 A 是锐角，无法得到ABC 为锐角三角形；但ABC为锐角三角形 时，角A 一定是锐角，可得即可判断出本题考查了向量的 夹角与三角形的形状之 间的关系，考查了推理能力，属于基础题4.【答案】 B【解析】第5页，共 17页【分析】本题考查等差数列的第 2017 项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性 质的合理运用利用等差数列通 项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出 结果【解答】解：数列 an 是单调递

10、增的等差数列，a1=2 且 a1-1，a3，a5+5 成等比数列，a 2=（a -1）（a+5），3152+2d 2=（2-1）（2+4d+5），（）解得 d=-（舍）或d=，a2019=2+2018（ ）=1011故选：B5.【答案】 D【解析】解：由sin +cos=，得，sin（则）=0，）=1， cos（sin =sin（）-=sin（）cos-cos（）sin=cos =cos（）-=cos（）cos+sin（）sin=则 tan = 故选：D由已知求得sin（）=1，cos（）=0，再由 sin =sin（）-，cos =cos- 展开两角差的三角函数求得sin cos 值 则 t

11、an （），的，可求本题考查三角函数的化 简求值，考查两角和与差的正弦、余弦，是基 础题6.【答案】 C【解析】第6页，共 17页解：函数 f（x）=sin（x+）的最小正周期是 ，=2，得函数表达式为 f （x）=sin（2x+ ）将函数的图象向左平移个单位后，得到的函数为 y=f x+=sin 2x+（） （）由题意，得函数为 y=sin（2x+）为奇函数，f（0）=sin（ +）=0，解之得+ =k，所以 =k- ，（kZ）| | ，取 k=0，得 =-故选：C根据函数的周期算出=2，从而得到函数表达式 为 f（x ）=sin（2x+），所以得出函数图象向左平移个单位后，得到 y=sin

12、（2x+图+）的 象，再根据奇函数的特性取 x=0，得sin（结值+）=0， 合| | 可得 的本题给出一个三角函数式，将其 图象平移得到奇函数的 图象，求初相 的值，着重考查了函数 y=Asin （x+）的图象与性质等知识，属于基础题 【答案】 D7.【解析】解：由解析式可知为偶函数，f（x ）的图象关于 y 轴对称，排除 A ；又 f（0）=30，排除 C；x2单调递 减，当 x0 时，y=（ ）单调递减，y=-xfx 2+2单调递减的，排除 B；（x ）=（ ）-x在（0，+）上是故选：D利用奇偶性判断 对称性，再计算 f（0）的值，判断f （x）在（0，+）上的单调性即可得出答案本题考

13、查了函数的 图象判断，一般从奇偶性，单调性和特殊 值等方面考 虑，属于中档 题8.【答案】 B【解析】【分析】本题考查 5 关收税金的求法，考 查函数在生 产生活中的具体 应用，考查运算第7页，共 17页求解能力，考查函数与方程思想，是基 础题设第一关收税金则，第三关收税金， 第二关收税金=，第四关收税金x=x，第五关收税金（1-）x=x，由此列出方程，能求出第 5关收税金【解答】设则，第三关收税金解： 第一关收税金， 第二关收税金= ，第四关收税金=，第五关收税金（1-）x=，由题意得：=1，解得 x=，第 5 关收税金：=斤故选：B9.【答案】 C【解析】解：6a=2b，aln6=bln2

14、， =1+=1+log23，1log232，23，故选：C两边同时取对数，再根据对数的运算性 质即可得到答案本题考查了对数的运算性 质，属于基础题10.【答案】 A【解析】第8页，共 17页解：由，可得 0，由它们的前 n 项和 Sn 有最大值，可得数列的 d 0，a200，a21+a20 0，a210，a1+a39=2a200，a1+a40=a21+a200使得 Sn 0 的 n 的最大值 n=39故选：A由，可得进 0， 一步得到 a200，a21+a20 0，a210，从而得到使得 Sn 0 的 n 的最大值本题考查了等差数列的前n 项和，考查了等差数列的性 质，是基础题 11.【答案】

15、 A【解析】解：=-1，的夹角为120，不妨设= =（1，0）， =（-，），= ，则=，cos- ，-=，ACB=60，C 在圆 x2+y2=1 的优弧上或 C 在 AOB 的外接圆的优弧上显然|得最大值为 AOB 的外接圆直径由正弦定理可知外接 圆直径 2R=2，|的最大值为 2故选：A由 AOB=120 ，ACB=60 可知 C 在圆弧上运动，作出图形得出 |取得最大值时的位置，利用正弦定理求出外接 圆直径本题考查了平面向量的运算，正弦定理得 应用，属于中档题第9页，共 17页12.【答案】 C【解析】解：任意取 x 为一正实数，一方面 y=sinx+lnx lnx+1，另一方面由 y=

16、lnx 和直线 y=x-1 的图象容易证 lnx+1 x成立，所以y=sinx+lnxx，因为 y=sinx+lnx lnx+1与 lnx+1 x中两个等号成立条件不一 样，所以 y=sinx+lnx x 恒成立，所以 k1，排除 D；当x 时，y=sinx+lnx 0，所以 k 0，所以排除 B；对于 A 选项，至少存在两个点 P 使得 k=-1，也就是=-1 至少存在两解，即 sinx+lnx+x=0 至少存在两解，（sinx+lnx+x ）=cosx+ +10 恒成立，所以 sinx+lnx+x=0 至多存在一解，故排除 A ，故选：C结合正弦函数的 值域和对数函数 y=lnx 和直线

17、y=x-1 的关系，即可判断 D；当时=-1，即sinx+lnx+x=0 至少x ，y=sinx+lnx 0，即可判断 B；存在两解，运用导数判断单调性，即可判断 A ，由排除法思想即可得到 结论 本题考查直线的斜率的范 围，考查分类讨论 思想方法，以及正弦函数的性质、函数的导数与单调性的运用，考查分析问题和判断能力、推理能力，属于中档题13.【答案】【解析】解：=（2，1），3+=（5，4），=（1，1）， =21+1 1=3=，=cos =故答案为：第10 页，共 17页利用向量的运算可得，再利用向量的夹角和数量 积即可得出本题考查了向量的运算、向量的夹角和数量积础题，属于基14.【答案】

18、 （ -， -10， 1【解析】解：由题意可得函数 y=f （x）的图象（红线部分）和直线 y=k（x-1）（蓝线部分）只有一个交点，如图所示：直线 y=k（x-1）经过定点（1，0），斜率为k当 0x1 时，f（x ）=lnx ，f （x）= 1，此时，应有 0k1当 x1时 ，f（x）=-1，f （x）=-1 ，0），此时 应， 有 k-1如图所示：故k（-，-1 0，1，故答案为：（-，-1 0，1由题意可得函数 y=f （x）的图象和直线 y=k（x-1）只有一个交点，数形结合以及运用对数的几何意 义，求得 k 的范围 本题主要考查函数的零点与方程根的关系，体 现了转化的数学思想，属于

19、中档题15.【答案】【解析】解：已知a2+4b2=c2，可得 C 是钝角；第11 页，共 17页那么=-=-，即 tanC=tanAtanB=-tan（A+C ）=-=-=tanA0，仅时等号成立，=当且 当 tanA=那么 tanB故答案为：根据诱导公式以及两角和的正切公式和基本不等式即可求出本题考查了正弦定理和余弦定理以及三角函数的化简和基本不等式，属于中档题【答案】 解：（ ） 圆 C 的极坐标方程为2+12 cos +11=016.222x= cos，y= sin，=x +y ，圆 C 的直角坐标方程为x2+y2+12x+11=0，即（ x+6） 2+y2=25（ ）过点 P（1， 0

20、）且倾斜角为 的直线 l 的参数方程为：，（ t为参数），将，（ t为参数）代入（ x+6）22+y =25得： t2+14tcos +24=0，设 A，B 两点对应的参数分别为t1， t2 ，由韦达定理得： t1+t2=-14cos ， t1t2=24 ，过点 P（ 1， 0）且倾斜角为的直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，且 |PA|= |PB|，或，直线 l 的斜率 k=1，直线 l 的方程为 y=x-1或 y=-x+1【解析】22 2圆C 的直角坐标方程x=cos，y=sin，能求出（）由=x +y（）过点 P（1，0）且倾斜角为 的直线 l 的参数方程 为，（t为第12 页，共

21、17页参数），将为22得：，（t参数）代入（x+6）+y =25t2+14tcos +24=0，利用韦达定理，结合已知条件能求出直 线 l 的方程本题考查圆的直角坐标线的普通方程的求法，考查直角坐标方程、方程、直极坐标方程、参数方程等基础知识查查化归与转化思，考 运算求解能力，考想，是中档题17.【答案】 解：（ ）函数 f（ x） =|2x+b|+|2x-b|，b=1 时，不等式f（ x） 4 为|2x+b|+|2x-b| 4，它等价于或或，解得 x 1 或 x -1 或 x?；不等式 f（ x） 4 的解集为（ -，-1） （ 1，+）（ ） f（ a）=|2a+b|+|2a-b|=|2a

22、+b|+|b-2a| |（2a+b） +（ b-2a） |=|2b|，当且仅当（ 2a+b）（ b-2a） 0时 f（a）取得最小值为|2b|；令 |2b| |b+1|，得（ 2b） 2（ b+1 ） 2，解得 b - 或 b 1，b 的取值范围是（-， - ） （ 1， +）【解析】（）利用分段讨论法去掉绝对值，求不等式 f （x）4 的解集；（）利用绝对值不等式求出 f （a）的最小值，再解对应的不等式本题考查了含有绝对值不等式的解法与 应用问题，是基础题18.【答案】 解：（ ）设等差数列 an 的首项为 a1，公差为 d，由 a2=2， S5=15，得，解得an=1+ （ n-1） 1

23、=n；由，得 b1=1，当 n2时，且 b1 满足上式，；（ ），第13 页，共 17页则，-，【解析】（）设等差数列 a n 的首项为 a1，公差为 d，由已知列方程组求得 a1 和 d，代入等差数列的通 项公式求得数列 a 的通项公式；再由b =1n，得1 ，当n2时，验证 b1 满足，可得数列b n 的通项公式；（），然后利用错位相减法求数列 c n 的前 n 项和 Cn本题考查数列递推式，考查了等差数列与等比数列通项公式的求法，训练了错位相减法求数列的前n 项和，是中档题19.【答案】 解：（ ）在 ABC 中，点 P 在 BC 边上， PAC=60 ， PC =2， AP+AC =4

24、则：设 AC=x，利用余弦定理得： PC222=AP +AC -2AP AC cos PAC? ?，则：，整理得： 3x2-12x+12=0，解得： x=2故： AC=2（ ）由于 AC=2， AP+AC=4，所以： AP=2，所以 APC 为等边三角形由于： APB 的面积是，则：，解得： BP=4在 APB 中，利用余弦定理：AB2=BP2+AP 2-2?BP?AP?cosBPA，解得： AB=2，在 APB 中，利用正弦定理得：，所以：，解得：【解析】第14 页，共 17页（）利用三角形的边角关系式，利用余弦定理求出 结果（）利用三角形的面积公式和正弦定理求出 结果本题考查的知识要点：正

25、弦定理和余弦定理及三角形面 积公式，主要考查学生的运算能力和 转化能力，属于基础题型20.501504II620x18020x18078=x=128f x max =222111287222212（1）由甲大棚投入 50 万元，则乙大投棚入 150 万元，把 a 的值代入即可得出（2）求出函数的解析式，列出不等式组，通过换元利用二次函数的 单调性即可得出本题考查了函数的 应用、二次函数的单调性，考查了换元方法、推理能力与计算能力，属于中档题21.y= xx 0xtan = 02 tan tan 0tan =tan=4 0 第15 页，共 17页所以点 A 的坐标为（） （6 分）（ II ）f（ x）=3sin ?sin 2x+2cos ?2cos 2x，= sin 2x+cos 2x=sin（ 2x+ ） （8 分）由 x得 2x+ ，当 2x+ ，即 x时， f（ x）单调递增，所以 f（ x）在 x上单调递增在 x上单调递减 （1