2018-2019学年甘肃省庆阳市宁县二中高二(下)期中数学试卷(理科)

1、2018-2019 学年甘肃省庆阳市宁县二中高二（下）期中数学试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0 分）1. i 是虚数单位，计算23）i+i +i =（A. -1B.1C. -iD. i2. sinxdx=（）A.0B. C.D. 23.一辆汽车按规律2作直线运动，若汽车在 t=2 时的瞬时速度为12，则 a=（）s=at +1A.B.C.2D. 34.若 f（ n） =1+ + +（ nN* ），则当n=2 时， f（ n）是（）A.1+B.C.1+D. 非以上答案5. 函数 y=f（ x）在定义域（ - ， 3）内的图象如图所示记 y=f（ x

2、）的导函数为 y=f（ x），则不等式f（ x） 0的解集为（）A. - ， 12，3）B. -1， ， C. - ， 1， 2）D. （ - ，- ， ，3）6.凡自然数都是整数，而4 是自然数所以 4 是整数以上三段论推理（）A. 正确B. 推理形式不正确C. 两个“自然数”概念不一致D. 两个“整数”概念不一致7.用数学归纳法证明“能被 3 整除”的第二步中，时，为了使用假设，应将变形为第1页，共 12页A.B.C.D.8.设 aR，且（ a+i） 2i 为正实数，则 a=（）A.2B. 1C.0D. -19.信号兵用3 种不同颜色的旗子各一面，每次打出3 面，最多能打出不同的信号有（）

3、A.1B. 3C.6D. 2710.已知 1 ， 2 ? X? 1 ，2， 3， 4，5 ，满足这个关系式的集合X 共有（）个A.2B. 6C.4D. 811.二项式（ a+2b）n 展开式中的第二项系数是8，则它的第三项的二项式系为（）A.24B. 18C.16D. 612. 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（）种A. A34D. CB. 4C. 3二、填空题（本大题共4 小题，共 20.0 分）13. 若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为ab cS= ra+b+c），则三角形的面积（根据类比思想， 若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为

4、S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V=_14. 设函数 f（ x） =（ x 0），观察：f1（ x） =f（ x） =，f2（ x） =f（ f1（x） =，f3（ x） =f（ f2（x） =，f4（ x） =f（ f3（x） =，根据以上事实，归纳推理可得：当 nN* 且 n2时， fn（ x） =f（ fn -1（ x） =_15. 从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人担任奥运志愿者， 若选出的 4 人中既有男生又有女生，则不同的选法共有 _种16. 若（ 3x+1） n（ nN* ）的展开式中各项系数的和是256，则展开式中 x2 项的系数是_三、解答题（本大题共6 小题

5、，共70.0 分）17. 求值的第2页，共 12页18. 已知关于2k 的值x 的方程 x +（ k+2i ） x+2+ ki=0 有实根，求这个实根以及实数19. 设函数 f（ x） = ，求函数 f（ x）的单调区间3在点A处的切线的斜率为3A点处的切线方程20. 曲线 f （ x） =x，求该曲线在21. 在不等边 ABC 中， A 是最小角，求证： A 60 22. 设函数 f（ x） =ln （ x+a）+x2（ ）若当 x=-1 时， f （ x）取得极值，求 a 的值，并讨论 f（ x）的单调性；（ ）若 f（ x）存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于第3页，共 1

6、2页答案和解析1.【答案】 A【解析】解：由复数性质知：i2=-1故 i+i 2+i3=i+ （-1）+（-i ）=-1故选：A利用复数 i 的幂的运算，容易得到答案本题考查复数幂的运算，是基础题2.【答案】 A【解析】解：sinxdx=-cosx=cos（）-cos=0，故选：A由定积分、微积分基本定理得：sinxdx=-cosx=0，得解本题考查了定积分、微积分基本定理，属简单题3.【答案】 D【解析】解：由s=at2+1，所以 S（t）=2at，又 S（2）=12，所以 4a=12，所以 a=3，故选：D由导数的物理意 义得：S（t）=2at，又S（2）=12，所以 4a=12，所以a=

7、3，得解本题考查了导数的物理意 义，属简单题【答案】 C4.【解析】题*），解：由 意得，f （n）=1+ + +（nN当 n=2 时，f （2）=，故选：C第4页，共 12页根据函数的解析式特点，把n=2 代入求出 f（2）即可本题考查特殊的函数 值，按照函数解析式的特点求 值，属于基础题5.【答案】 A【解析】图单调减区间，从而有解集为，解：由 象可知，即求函数的故选：A根据导数大于 0时函数单调递导时原函数单调递减确定函数 f（x）增， 数小于 0的单调性本题主要考查了函数的 单调性与导数的关系，解题的关键是识图，属于基础题6.【答案】 A【解析】解：凡自然数都是整数，而 4 是自然数所

8、以 4 是整数大前提：凡自然数都是整数是正确的，小前提：4 是自然数也是正确的，结论：4 是整数是正确的，这个推理是正确的，故选：A要分析一个演 绎推理是否正确，主要 观察所给的大前提，小前提和 结论是否都正确，根据三个方面都正确，得到 结论 本题是一个简单的演绎推理，这种问题不用进行运算，只要根据所学的知 识点，判断这种说法是否正确，是一个基 础题7.【答案】 A【解析】解：假设 n=k 时命题成立，即：5k-2k 被 3 整除当 n=k+1 时，5k+1 -2k+1=55k-2 2k=5（5k-2k）+52k-2 2k=5（5k-2k）+32k第5页，共 12页故选：A题查归纳骤归纳证nn

9、3整除 ”的本考的数学法的步，在使用数学法明“5能被-2过kk能被 3时 为结论对程中，由 n=k 时成立，即“5-2整除 ” ， 了使用已知5k+1 -2k+1 进行论证，在分解的过程中一定要分析出含5k-2k 的情况数学归纳法常常用来 证明一个与自然数集N 相关的性 质，其步骤为：设 P（n）是关于自然数 n 的命题，若1）（奠基）P（n）在n=1时成立；2）（归纳）在 P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出 P（k+1）成立，则 P（n）对一切自然数 n 都成立【答案】 D8.【解析】222选解：（a+i）i=（a +2ai-1）i=-2a+（a -1D）i0，a=-1故为实数的

10、充要条件是 a0，b=0注意到 a+bi（a，bR） 正本题的计算中，要注意到相应变量的范围9.【答案】 C【解析】解：信号兵用 3 种不同颜色的旗子各一面，每次打出3 面，最多能打出不同的信号有=6，故选：C由排列组合及简单的计数问题得：只需将这 3 种不同颜色的旗子全排即可本题考查了排列组合及简单的计数问题，属简单题10.【答案】 D【解析】解：由题意知集合 X 中的元素 1，2 必取，另外可从 3，4，5 中取，可以不取，即取 0 个，取 1 个，取 2 个，取 3 个，故有 C30+C31+C32+C33=8 个满足这个关系式的集合；故选：D由题意知集合 X 中的元素必有 1，2，另外

11、可从 3，4，5 中取，分类讨论计 算满第6页，共 12页足条件的集合数目，最后将其相加即可得答案本题是考查集合的子集关系11.【答案】 D【解析】n?2=8，n=4，故它的第三解：由于二项式（a+2b）展开式中的第二 项系数是项的二项式系为=6，故选：Dn?2=8，求得 n 的值，可得它的由于二项式（a+2b）展开式中的第二 项系数是第三项的二项式系数的值 本题主要考查二项式定理的应项项公式，求展开式中某用，二 式展开式的通项的系数，属于中档题12.【答案】 C【解析】解：由题意，每个冠军都有 3 种可能，因为有四项比赛，所以冠军获奖者共有 3333=34 种可能故选：C每个冠军都有 3 种

12、可能，因为有四项比赛，根据乘法原理，可得冠军获奖者的可能情况本题以实际问题为载 体，考查计数原理，解题的关键是利用每个冠 军都有 3 种可能13.【答案】R（S1+S2+S3+S4 ）【解析】解：设四面体的内切球的球心 为 O，则球心 O 到四个面的距离都是R，所以四面体的体 积等于以 O 为顶点，分别以四个面 为底面的 4 个三棱锥体积的和故答案为： R（S1+S2+S3+S4）根据平面与空 间之间的类比推理，由点类比点或直 线，由直线 类比 直线或第7页，共 12页平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面 积的方法类比求四面体的体 积即可类比推理是指依据

13、两 类数学对象的相似性，将已知的一 类数学对象的性质类比迁移到另一 类数学对象上去一般步骤： 找出两类事物之间的相似性或者一致性 用一类事物的性 质去推测另一类事物的性 质，得出一个明确的命题（或猜想）14.【答案】【解析】解：函数 f（x）=观（x0）， 察：f1（x）=f（x）=，f 2（x）=f（f1（x）=，f 3（x）=f（f2（x）=，f 4（x）=f（f3（x）=，所给的函数式的分子不 变都是 x，而分母是由两部分的和 组成，n第一部分的系数分 别是 1，3，7，15 2 -1，n第二部分的数分 别是 2，4，8，16 2fn（x）=f（fn-1（x）=故答案为：观察所给的前四项

14、的结构特点，先观察分子，只有一项组成，并且没有变化，在观察分母，有两部分组成，是一个一次函数，根据一次函数的一次 项 系数与常数项的变化特点，得到结果本题考查归纳推理，实际上本题考查的重点是 给出一个数列的前几 项写出数列的通项公式，本题是一个综合题目，知识点结合的比较巧妙第8页，共 12页15.【答案】 34【解析】解：所有的选法共有=35 种，其中选出的 4 人全是男生的方法有1 种，故选出的 4 人中既有男生又有女生的不同的选法共有 35-1=34 种，故答案为：34所有的选法共有=35 种，其中选出的 4 人全是男生的方法有1 种，由此求得选出的 4 人中既有男生又有女生的不同的选法本

15、题主要考查排列与组合及两个基本原理的 应用，属于中档题16.【答案】 54【解析】解：根据题意，展开式中各项系数的和是n（3+1）=256，n=4；该二项式的通项公式是r4-rTr+1=?（3x）?1，令 r=2，得：222；?（3x）=?9?x=54x展开式中 x2 项的系数是 54故答案为：54根据展开式中各 项系数的和求出 n 的值，再由通项公式 Tr+1 求出展开式中 x 2项的系数本题考查了二项式定理的 应用问题，解题时应弄清二项式系数、展开式中各项的系数是什么，是基 础题17.【答案】 解：=【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，是基 础题

16、第9页，共 12页18.【答案】 解：设 x=x0 是方程的实根，代入方程并整理得（+kx0+2）+（ 2x0+k）i=0由复数相等的条件得+kx0+2=2x0+k=0 ，解得，或方程的实根为x=或 x=-，相应的 k 的值为 k=-2或 k=2【解析】利用复数的运算法 则、复数相等即可得出本题考查了复数的运算法 则、复数相等，考查了推理能力与 计算能力，属于基础题19.【答案】 解：易知 f（ x）的定义域为（ - ， 0） （ 0，+），则当 f（ x） 0，即 x 1 时，函数 f（ x）单调递增；当 f（ x） 0，即 x 0 或 0 x 1 时，函数 f（ x）单调递减故函数函数f（

17、 x）的单调增区间为（1， +），单调减区间为（-， 0），（ 0， 1）【解析】首先确定函数的定 义域，再求出函数的导数 f （x），判断导数 f （x）的符号，求出函数 f（x）的单调区间 本题考查了利用导数求解函数的 单调区间，属于中档题目320.【答案】 解：设切点 A 的坐标为（ m， m ）2y=3xy|x=m=3m2=3，解得 m=1而切点坐标为（1，1）或（ -1， -1），斜率为3曲线 y=x3 在 A 处的切线方程为y=3x-2 或 y=3x+2【解析】先求出曲 线 y=x3 在 x=m 处的导数，然后求出切点坐 标，根据点斜式直线方程即可求出切 线方程本题主要考查了利用导

18、数研究曲 线上某点切 线方程，考查运算求解能力、推理能力，属于基础题21.【答案】 证明：假设A 60，A 是不等边三角形ABC 的最小角， B A 60，CA 60，A+ B+ C 180 ，与三角形内角和等于180 矛盾，第10 页，共 12页假设错误，原结论成立，即A 60 【解析】利用反证法假设 A60，从而可得三内角和大于 180，与三角形中三内角和等于 180矛盾本题结合三角形内角和定理考 查反证法，解此题关键要懂得反 证法的意义及步骤22.【答案】 解：（ ），依题意有f（ -1） =0，故从而f （x）的定义域为，当时， f（ x） 0；当时， f（ x） 0；当时， f（ x） 0从而， f（ x）分别在区间单调增加， 在区间单调减少（ ） f（ x）的定义域为（-a， +），22方程 2x+2 ax+1=0 的判别式 =4a -8（ ）若 0，即，在 f（ x）的定义域内f（ x）