2018年云南省保山市高考数学二模试卷(文科)

1、2018 年云南省保山市高考数学二模试卷（文科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0 分）1.复数（ 1-i） 2 的虚部是（）A. -2iB.2. 已知集合A.3B.2C. -2D. 0B=x y |y=x2），（，） ，则 AB 中元素的个数为 （2C. 1D. 03. 我国古代数学名著增删算法统宗中有如下问题：“有个金球里面空，球高尺二厚三分，一寸自方十六两，试问金球几许金？”意思是：有一个空心金球，它的直径 12 寸，球壁厚0.3 寸，1 立方寸金重1 斤，试问金球重是多少斤？ （注 3（）A. 125.77B.864C. 123.23D. 369.69

2、4.P 为双曲线 C：上一点， F 1， F2 分别为双曲线的左、右焦点， PF=60 ，则 |PF1|PF |的值为（）F 1 22A. 6B. 9C. 18D. 365.若 x，y 满足约束条件（ x-1） 2+（y-1） 21，则的最小值为（）A.B.C.D.f xx，g（ x）=ln x，若有 f（ m）=g（ n），则 n 的取值范围是（）6.=e已知函数 （ ）B.（，）C. （D.A.（，），）1，）0 10 +1+7.已知等差数列的前项和为，则取最大值时的为A.4B.5C.6D.4或58. 某四棱锥的三视图如图所示，正视图和侧视图为全等的直角边为 1 的等腰直角三角形， 则该四

3、棱锥的表面积为 （）A.B.C.D.9.如图所示， 其功能是判断常数P 是否为完全数的程序框图，若输出的结果是P 是完全数，则输入的P 可以是（）第1页，共 19页A.5B. 12C.16D. 2810.四棱锥 P-ABCD 中，PA平面 ABCD ，底面 ABCD 是边长为2 的正方形，E 为 PC 的中点，则异面直线BE 与 PD 所成角的余弦值为（）A.B.C.D.11.322在 x=-1时有极值 0，则椭圆的离心率为已知函数 f（ x） =x +3mx +nx+m（）A.B.C.或D.12.在 ABC 中，若，则的最小值为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4 小题，共 20.0

4、分）13.甲同学在“附中好声音“歌唱选拔赛中，5位评委评分情况分别为76778890，94，则甲同学得分的方差为_14.函数的最大值是 _15.数列 an 的通项公式，其前 n 项和为 Sn ，则 S2018=_ 第2页，共 19页16.已知 F 是抛物线2C： y =8x 的焦点，点 A 的坐标为（ 2， 6），点 P 是 C 上的任意一点，当 P 在点 P1 时， |PF|-|PA|取得最大值，当P 在点 P2 时， |PF |-|PA|取得最小值，则 P1，P2 两点间的距离为 _三、解答题（本大题共7 小题，共 82.0 分）17.已知函数+sin 2（ 3+x）（ ）求函数f（ x）

5、的最小正周期及对称中心；（ ）设 ABC 的内角 A， B，C 的对边分别为a， b， c，若，且sinB=2sinA，求 a， b 的值18. 某校进行文科、理科数学成绩对比，某次考试后，各随机抽取100 名同学的数学考试成绩进行统计，其频率分布表如下分组频数频率分组频数频率135 ，15080.08135 ，15040.04120，1350.17120，135） 180.18） 17105，1200.4105，120） 370.37） 4090， 105）210.2190， 105）310.3175， 90）120.1275， 90）70.0760， 75）20.0260， 75）30.0

6、3总计1001总计1001理科文科（ ）根据数学成绩的频率分布表，求理科数学成绩的中位数的估计值；（精确到0.01）（ ）请填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为数学成绩与文理科有关：数学成绩 120分数学成绩 120 分合计理科文科合计200参考公式与临界值表：P（K2k0）0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828第3页，共 19页19. 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，且ABC =60 E是DP中点，（ ）证明： PB平面 ACE；（ ）若， AB=PC=2，求三棱锥 C-PAE 的体积20. 已

7、知平面内动点 M 到两定点 F 1（ -1， 0）和 F2（ 1，0）的距离之和为 4（ ）求动点 M 的轨迹 E 的方程；（ ）已知直线l1 和 l 2 的倾斜角均为，直线 l 1 过坐标原点O（ 0，0）且与曲线E相交于 A， B 两点，直线l 2 过点 F2 （ 1， 0）且与曲线E 是交于 C， D 两点，求证：对任意 0， ），2 x21. 已知函数 f（ x） =（2x -2x-1） e （ ）设函数 h（ x） =exf（x），试讨论函数 h（x）的单调性；（ ）设函数T（ x） =（ x-1）（ 2xe2x-1），求函数T（ x）的最小值22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l

8、 的参数方程为（t 为参数），在以直角坐标系的原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方第4页，共 19页程为（ ）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（ ）若直线l 与曲线 C 相交于 A， B 两点，求 AOB 的面积23. 已知函数 f（ x） =|x-1|+|2x-a|（ ）当 a=1 时，求 f（ x） 1的解集；（ ）当 x-1， 1时， f（ x）1恒成立，求实数a 的取值范围第5页，共 19页答案和解析1.【答案】 C【解析】解：原式=-2i，虚部 为-2故选：C利用复数的运算法 则、虚部的意义即可得出本题考查了复数的运算法 则、虚部的意

9、义，属于基础题2.【答案】 B【解析】解：集合，B= （x，y）|y=x2 ，A B=（x，y）| ，由，得4y2+3y-12=0，=9+192=2010，AB中元素的个数 为 2故选：BA B= （x，y）| ，由，得4y2+3y-12=0，由此能求出AB中元素的个数本题考查交集中元素个数的求法，考 查交集等基 础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是基 础题3.【答案】 C【解析】解：由题意，空心金球，它的直径 12 寸可得体积为 V=463：=864球壁厚 0.3 寸，空心的球的部分体 积为：=740.77第6页，共 19页该个空心金球的黄金中 为：864-740.

10、77=123.231 立方寸金重 1 斤金球重是 123.23故选：C根据直径 12 寸，球壁厚 0.3 寸，求解球环的体积，即可求解金球重本题考查球的体积的求法，公式的应用和计算能力属于基础题4.【答案】 D【解析】解：设 |PF1|=m，|PF2|=n，且m n，在F1PF2 中，F1PF2=60，由余弦定理可得222（2，4c）=m +n -2mncos60 = m-n+mn222mn=4c -4a =4b =36，双曲线的简单性质以及余弦定理即可求出本题考查了双曲线的简单性质以及余弦定理，属于基 础题5.【答案】 A【解析】22为圆心，1为半径的圆和圆内的点，解：（x-1） （）1表示

11、以 C（1，1）+ y-1表示点（x，y）与O（0，0）的距离，显然最小值为 |OA|-1=-1，故选：A由两点的距离公式和圆结合图形即可得到所求最小值的方程，本题考查不等式的几何意 义，注意运用两点的距离和 圆的方程，考查运算能力，属于中档题6.【答案】 C【解析】解：g（x）=lnx ，函数的定义域为：x|x 0 ，函数的值域为 R，函数 f （x）=ex，函数的值域为：（0，+），第7页，共 19页有 f（m）=g（n），em=lnn，可得 lnn 0，则 n 的取值范围是：（1，+）故选：C利用函数的定 义域，求出函数的值域，判断求解即可本题考查函数与方程的 应用，函数的定义域以及函数

12、的 值域的判断，考查转化思想的 应用7.【答案】 B【解析】【解答】解：等差数列a n 的前 n 项和为 Sn， =a1+d 为等差数列，设公差为，首项为 a1a1=9，-4=4 ，解得 d=-2则 Sn=9n-222=-n+10n=-（n-5）+25，当 n=5 时，Sn 取得最大 值故选：Ba项和为，可得：=ad为等差数列设公【分析】等差数列 n 的前 nSn1+差为，首项为 a1根据a1=9，可得 d，即可得出本题考查了等差数列的通 项公式与求和公式及其性 质，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题8.【答案】 B【解析】【分析】根据三视图还原出几何体的 图形，结合图形求出该几何体的表面

13、 积本题考查了利用几何体的三 视图求表面积的应用问题，是基础题【解答】解：正视图和侧视图都是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形，第8页，共 19页四棱 锥的底面是正方形，且边长为 1，其中一条侧棱垂直于底面且 侧棱长也为 1，四棱 锥的四个侧面都为直角三角形，且 PB=PD=，如图所示；四棱锥的表面积S=S 正方形 ABCD +2SPAB +2SPBC=1+211+21=2+故选：B9.【答案】 D【解析】解：当P=28 时，符合情况在执行循环前：P=28，S=0，t=1，执行第一次循 环时，S=1，t=2，由于：t，所以：，故选：D直接利用程序框 图和赋值 法求出结果本题考查的知识要点：

14、程序框图的应用10.【答案】 C【解析】第9页，共 19页解：四棱锥 P-ABCD 中，PA平面ABCD ，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，E 为 PC 的中点，B（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，），E（1，1，），D（0，2，0），=（-1，1，），=（0，2，-），设异面直线 BE 与 PD 所成角为 ，则 cos=异面直 线 BE 与 PD 所成角的余弦 值为故选：C以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直

15、线 BE 与 PD 所成角的余弦 值 本题考查异面直线所成角的余弦 值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基 础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基 础题11.【答案】 B【解析】解：f（x ）=x3+3mx2+nx+m 2f （x）=3x2+6mx+n依题意可得即：，解得，或，当 m=1，n=3 时函数 f（x）=x3+3x2+3x+1 f x =3x2+6x+3=3 x+1 20， （）（）第10 页，共 19页函数在 R 上单调递增，函数无极值，舍去，椭圆，m=2，n=9，则 a=9，c=77，所以椭圆的离心率 为：故选：B对函数进行求导，根据函数 f（x）在x=

16、-1 有极值 0，可以得到 f（-1）=0，f （-1）=0，代入求解即可本题主要考查函数在某点取得极 值的性质：若函数在取得极值? f （x0）=0反之结论不成立，即函数有 f （x 0）=0，函数在该点不一定是极 值点，（还得加上在两侧有单调性的改变），属中档题12.【答案】 B【解析】解：，3（ ?+?）=3（ +）?=3（ +）?（ -）=3（|2-|2）=2|2，即 3（a2-b2）=2c2，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，3（c2-2bccosA）=2c2，6bccosA=c2，即 6bcosA=c，6sinBcosA=sinC=sin（A+B ）=sinAcosB

17、+cosAsinB，5sinBcosA=sinAcosB，tanA=5tanB，A ，B 是三角形的内角，tanA0，tanB0，=5tanB+2=2，当且仅当 tanA=，tanB=时取等号，的最小值为 2，第11 页，共 19页故选：B根据向量的加减的几何意义可得 3（a2-b2）=2c2，再根据余弦定理和正弦定理可得 6sinBcosA=sinC，化简整理可得 tanA=5tanB，再根据基本不等式即可求出最小值本题考查了向量的加减的运算以及正余弦定理，三角函数的化简和基本不等式，属于中档题13.【答案】 52【解析】解：根据题意，5 位评委评分情况分 别为 76，77，88，90，94

18、，其平均数 =85；222222则其方差 s = （76-85）+（77-85）+（88-85）+（90-85）+（94-85）=52；故答案为：52根据题意，由数据计算可得甲同学得分平均数，由方差的 计算公式计算可得答案本题考查数据的方差 计算，关键是掌握方差的 计算公式14.【答案】【解析】【分析】本题考查三角函数的化 简求值，考查利用换元法求最 值，是基本知识的考查利用平方关系化正弦 为余弦，然后利用换元法转化为二次函数求最 值【解答】解：函数=-sin2x+sinx-1，令 t=sinx，x0，t=sinx0，1，则原函数化 为 y=-t2+-1，其对称轴方程为 t=，第12 页，共

19、19页当 t=时，y 有最大值为：-故答案为-15.【答案】【解析】解：数列a n 的通项公式，根据sin，可知其周期 T=6，那么：，a3=3 sin ，=0，a6=6 sin2 =6，0=0那么：S2018=a1+a2+a2018=（a1+a7+a2017）+（a2+a8+a2018）+（a3+a9+a2013）+（a4+a10+a2014）+（a5+a11 +a2015）+a）=+（6+a12+a2016=+=，故答案为：根据 sin，可知其周期 T=6，那么 a1 和 a7 的 sin的值相同，利用分组求和法即可得解本题主要考查数列通项公式和前 n 项和的求解，利用周期系数以及分 组求

20、和法是解决本 题的关键16.【答案】【解析】解：如图：F 是抛物线 C：y2=8x 的焦点，则 F（2，0），点A 的坐标为（2，6），其准线方程为 x=-2，当点 p1 与 A 在同一直 线上时，此第 13时 |PF|-|PA|取得最大 值，由，解得 x=，y=6，即 P1（ ，6），当点 p2 与 A 在同一直 线上时，此时|PF|-|PA|取得最小 值，由，解得 x=2，y=-4，即 P2（2，-4），则 |P1P2|=，故答案为：当点 p1 与 A 在同一直 线上时，此时|PF|-|PA|取得最大 值，当点 p2 与 A 在同一直线上时，此时|PF|-|PA|取得最小 值，分别求出点

21、P1，P2 的坐标，即可求出答案本题考查了抛物线的简单性质，考查了运算能力和 转化能力，属于中档题17.【答案】 解：（ ） +sin2（ 3+x）=sinxcosx+sin2x=sin2x-cos2x+=sin （2x- ） + ，最小正周期 T=；由 2x- =k，kZ，解得：对称中心为（， ）， kZ（ ）由，得 sin（ 2C- ） + = ，sin（2C- ） =1，0 C ，可得： - 2C- ，可得： 2C- = ，C= ，sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，可得： 3= a2 +b2-2abcos ，由解得a=1， b=2【解

22、析】（）利用三角函数恒等变换的应用可求 f（x）=sin（2x-）+，根据正弦函数的性质可求最小正周期及 对称中心第14 页，共 19页（）由已知可求sin（2C-结的范围可求 C的值，由正弦定理可得）=1， 合 C2 2联值b=2a，由余弦定理可得：3=a +b -2abcos， 立即可解得 a，b 的本题主要考查了三角函数恒等 变换的应用，正弦函数的性质，正弦定理，余弦定理在解三角形中的 综合应用，考查了转化思想和数形 结合思想的 应用，属于中档 题18.105 分的频率为 0.35【答案】 解：（ ）理科数学成绩的频率分布表中，成绩小于 0.5，成绩大于120 分的频率为 0.25 0.

23、5，故理科数学成绩的中位数的估计值为105+15 =110.625 分（ ）根据数学成绩的频率分布表得如下列联表：数学成绩 120分数学成绩 120 分合计理科2575100文科2278100合计47153200 0.250 2.706，故没有 90%的把握认为数学成绩与文理科有关【解析】（）由图表求出理科数学成 绩的频率分布表中成 绩小于 105 分的频率和成绩大于 120 分的频率，由 105+15得答案；（）根据题目所给的数据填写 22 列联表即可，计算 K 的观测值 K 2，对照题目中的表格，得出统计结论 本题考查独立性检验，考查学生读取图表的能力，是中档题19.【答案】 （ ）证明：

24、连接BD 交 AC 于 F ，连接 EF，四边形 ABCD 为菱形，F 为 BD 的中点，又 E 是 DP 的中点，EF PB，又 EF? 平面 ACE，PB ? 平面 ACE，PB平面 ACE（ ）解：取AB 的中点 O，连接 PO， CO，四边形 ABCD 为菱形，且 ABC =60 ，ABC 为正三角形， COAB，AP=PB=， AB=PC=2， CO=， APPB ， POAB，PO= AB=1，第15 页，共 19页222PO +OC =PC ，即 POOC，又 ABOC=O，PO 平面 ABCD ，E 是 PD 的中点，= VP-ACD=1= VC- PAE【解析】（I）连接 B

25、D 交 AC 于 F，连接 EF，由中位线定理可得 EFPB，故而 PB平面ACE ；（II ）取AB 的中点 O，连接 PO，CO，根据勾股定理逆定理可得 PO平面 ABCD ，于是 V C-PAE=V P-ACD 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题20.【答案】 （ ）解：由题设知|MF 1|+|MF 2|=4，则根据椭圆的定义得：动点 M 的轨迹 E 是以定点F1（ -1， 0）和 F2（ 1，0）为焦点的椭圆，且 2a=4，c=1，222a=2， b =a -c =3，可得动点 M 的轨迹 E 的方程为=1；（ ）证明：由题设可设直线l 1 和 l2 的参数方程分别为

26、l 1：，（ t 为参数）；l 2：，（ t 为参数）将直线 l1 和 l 2 的参数方程分别和椭圆=1 联立后整理得：222=12；（222t-9=0 ，（ 3cos +4sin） t3cos +4sin） t +（ 6cos ）则由参数 t 的几何意义、根与系数的关系及椭圆的对称性有：|OA|OB|=|OA|2=tn2=，其中 tn 为点 A 对应参数，|F2C|F 2D|=|t1t2|=，其中 t1 ，t2 分别为点 C，D 对应参数，故=【解析】（）根据椭圆的定义即可得到 动点 M 的轨迹 E 的方程；（）由题设可设直线 l 1 和 l2 的参数方程分 别为 l1：，（t为参数）；l：

27、2，（t为参数），分别与椭圆联立，根据参数 t 的几何意 义、根与系数的关系及 椭圆的对称性，即可求出第16 页，共 19页-，+）， f （ x）=（2x2 +2x-3） ex，本题考查了点的轨迹方程和直 线的参数方程，考查了运算能力和 转化能力，属于中档 题21.【答案】 解：（ ）函数 f（ x）的定义域为（故 h（ x） =exf（ x） +exf（ x） =4（x+1）（ x-1）e2 x，令 h（ x） =0 ，得 x=-1 或 x=1 ，当 x（ -， -1）时， h（ x） 0， h（ x）在（ -， -1）上为单调增函数，当 x（ -1，1）时， h（ x） 0， h（ x）

28、在（ -1， 1）上为单调减函数，当 x（ 1，+）时， h（ x） 0， h（ x）在（ 1， +）上为单调增函数，故函数 h（x）在（ -， -1）上单增，在（ -1， 1）上单减，在（ 1， +）上单增2x-1）=h（ x） +-（ x-1），（ ）函数 T（ x）=（ x-1）（ 2xe由（ ）得函数 h（x）在（ -， -1）上单增，在（ -1， 1）上单减，在（1， +）上单增，x -1 时， h（ x） 0，而 h（ 1） =-ex 0，故函数 h（x）的最小值为 -e2，令 r（ x） = -（x-1），得 r （ x） =-1=，当 x（ -， 1）时， r（ x） 0， r（ x）在（ -， 1）上为单调减函数，当 x（ 1，+）时， r（ x）， r（ x）在（ 1，+）上为单调增函数，函数 r（ x）的最小值为r（ 1） =1，2故当 x=1 时，函数T（ x）的最小值为1-e 导导单调与导数的关系，即可判断单调性；（）求 ，根据