2019年四川省遂宁市高考数学三诊试卷(理科)

1、2019 年四川省遂宁市高考数学三诊试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0分）1.已知集合，B= y|-2y 2AB=（），则A. -2 ， -11， 2B. ?C. 1D. X2.已知复数 z满足 iz=1+2i，则 z 的虚部是（）A. -iB. -1C. 2D. 2-i3. 麻团又叫煎堆，呈球形，华北地区称麻团，东北地区称麻圆，海南又称珍袋，广西又称油堆，是一种古老的中华传统特色油炸面食，寓意团圆制作时以糯米粉团炸起，加上芝麻而制成，有些包麻茸、豆沙等馅料，有些没有已知一个麻团的正视图，侧视图和俯视图均是直径为 4（单位： cm）的圆（如图），则

2、这个几何体的体积为（单位：3）为（）cmA.B. 16C. 64D.4.二项式的展开式中含 x2 项的系数是（）A. 1120B. -160C. -448D.2245.，则=（）已知角 在第二象限，若A.B.C.D.06.已知随机变量XN 111所示， 若向正方形OABC （， ），其正态分布密度曲线如图中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为M，随即运行如图2 中相应的程序，则输出的结果是（）第1页，共 20页2附：若随机变量 X N（ ，），则 P（ - X +）=0.6826，P（-2 X +2） =0.9544， P（ -3 X +3）=0.9974A. 1B.C

3、.D.7.将函数的图象向左平移tt0）个单位长度，所得图象对应的（ 函数为奇函数，则t 的最小值为（）A.B.C.D.8.ABC中，角ABC的对边分别为ab，c，且a=3，sinC=2sinB，则在 ， ，ABC 的周长为（）A. 3+2B.C.D.9.已知抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为 ，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.10.已知点 P 的坐标（ x， y）满足，过点 P 的直线 l 与圆22C： x +y =16 相交于 A， B 两点，则 |AB|的最小值是（）A. 2B.C. 4D. 211.已知长方体ABCD -A1 111 中，B111B C DC 与 C D 所

4、成角的余弦值为，B C 与底面 ABCD所成角的正弦值为，则 C1D 与底面 ABCD 所成角的余弦值为（）A.B.C.D.第2页，共 20页2，x），?a1 ，2，f x =x，若? x13 +xx212. 已知函数 （ ） +alnx+12 ，），（ 1则实数 m 的最小值为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13.设两个非零平面向量）叫做向量 在向量 方向上的与 的夹角为 ，则将（投影已知平面向量，则向量 在向量 方向上的投影为_14.曲线在点（4 2_， ）处的切线的斜率为15.已知函数，则方程的根的个数为 _16.已知 F 是抛物线 x2=4y 的焦点，

5、 P 为抛物线上的动点，且点A 的坐标为（ 0 ，-1 ），则的最大值是 _三、解答题（本大题共7 小题，共82.0 分）17.已知函数（ xR）的所有正数的零点构成递增数列 an（nN*）（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）设，求数列 bn 的前 n 项和 Tn18. 九章算术是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种，成于公元一世纪左右其作者已不可考一般认为它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，其时大体已成定本最后成书最迟在东汉前期，现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年 （ 263 年），刘徽为九章算术所作的注本在注本中，称

6、底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马现有一阳马的具体情况是：在四棱锥P-ABCD 中，底面 ABCD 是邻边相等的矩形，侧棱PD 底面 DABC ， PD =DC， E 是 PC 的中点（ 1）判断直线 PA 与 EB 的位置关系（不需证明）；（ 2）证明： PBED ；（ 3）求二面角 E-PB-A 的平面角的余弦值第3页，共 20页19. 福建电视台少儿频道的少儿竞技类节目-2005年6月创办， 节目宝贝向前冲 于内容丰富，形式多样，栏目的特色在于开发和推广简单的、有趣的校园或家庭挑战游戏项目，并最大限度地利用电视手段将简单的游戏制作成吸引观众的电视节目近日宝贝向前冲节目组举办了一

7、个共有五关的闯关节目，只有通过五关才能获得奖金， 规定前三关若有失败即结束， 后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的机会（后两关总共只有一次机会），已知某人前三关每关通过的概率都是，后两关每关通过的概率都是（ 1）求该人获得奖金的概率；（ 2）设该人通过的关数为 X，求随机变量 X 的分布列及数学期望20. 已知A，BC的左右顶点，P点为椭圆C上一点，点P是椭圆：关于 x 轴的对称点为H，且22C 的标准方程；（ 1）若椭圆 C 经过了圆 x +（ y-1） =4 的圆心，求椭圆（ 2）在（1）的条件下，抛物线D ： y2=2px（ p 0）的焦点 F 与点关于 y轴上某点对称，且抛

8、物线D 与椭圆 C 在第四象限交于点Q，过点 Q 作抛物线 D 的切线，求该切线方程并求该直线与两坐标轴围成的三角形面积21.已知函数f（ x） =lnx-ax2，（ 1）设曲线y=g（ x）在 x=1 处的切线的斜率为k，且 ak=3e2求 a 的值；（ 2）当 a=1 时求 f （ x）的单调区间；求证： f（ x） g（ x）第4页，共 20页22. 以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1 的极坐标方程为，又在直角坐标系 xOy 中，曲线 C2 的参数方程为（ t 为参数）（ 1）求曲线 C1 的直角坐标方程和曲线C2 的普通方程；（ 2）已知点 P 在曲线 C

9、1 上，点 Q 在曲线 C2 上，若，求此时点 P 的直角坐标23.已知函数（ 1）解不等式f （x）；（ 2）若正数a， b， c，满足 a+2b+4 c=f（ ） +2，求的最小值第5页，共 20页答案和解析1.【答案】 C【解析】解：集合=1 ，B=y|- 2 y 2，A B=1 故选：C分别求出集合 A ，B，由此能求出 AB本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.【答案】 B【解析】解：由iz=1+2i ，得 z=，z 的虚部是 -1故选：B把已知等式 变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考 查复数的

10、基本概念，是基 础题3.【答案】 A【解析】解：由题意可知：几何体是球，半径为 2，cm，所以几何体的体 积为：=（cm3）故选：A由三视图可知几何体是球，利用球的体 积公式求解即可本题考查三视图求解几何体的体 积，是基本知识的考查4.【答案】 C【解析】解：由二项式的展开式的通 项 T8-r-rr r8-2r，r+1=）2xx （=（-1令 8-2r=2 得 r=3，即二项式的展开式中含 x2 项的系数是 -23=-448，第6页，共 20页故选：C项项得：T8-r（-rr r8-2r，令8-2r=2 得 r=3，由二式定理及其通r+1=x） （ ）x= -12即二项式的展开式中含 x2 项

11、的系数是 -23=-448，得解本题考查了二项式定理，属中档题【答案】 C5.【解析】解：角 在第二象限，sin=，=故选：C由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin ，利用二倍角公式化 简所求即可计算得解本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数化简求值中的综合应查了计算能力和转化思想，属于基础题用，考6.【答案】 B【解析】解：由题意 P（0X1）=0.6826P（阴影）=1-P（0 X1）=1-0.6826=1-0.3413=0.6587，则落入阴影部分点的个数的估计值为 M=10000 0.6587=6587模拟程序的运行，可得k=1，a=，b=0满足条件1，执行循环

12、体，b=，k=2，a=，满足条件执行循环体，b=，k=3，a=，1，满足条件执行循环体，b=，k=4，a=，1，此时，不满足条件1，退出循环，输出 b 的值为 故选：B第7页，共 20页由题意 P（0X1）=0.6826P（阴影）=1-P（0X1），即可得出M 的值，模拟程序的运行，可求 b 的值 本题考查正态分布曲线的特点及曲 线所表示的意 义，考查正态分布中两个量和 的应用，考查曲线的对称性，考查程序框图的应用问题，属于中档题【答案】 B7.【解析】解：将函数的图单长度，可得象向左平移 t（t0）个 位y=2cos（2x+2t+图）的 象；所得 图象对应的函数为奇函数，2t+=k + ，求

13、得 t=+ ，kZ，则 t 的最小值为 ，故选：B由题意利用函数 y=Asin （x+）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得 t 的最小值本题主要考查函数 y=Asin （x+）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题8.【答案】 C【解析】解：在ABC 中，sinC=2sinB，由正弦定理可得：c=2b，又 a=3，2222，由余弦定理可得：9=b +c -bc=b +（2b）-b?2b，解得：b=c=2，ABC 的周长为 a+b+c=3+2=3+3故选：C由已知利用正弦定理可得： c=2b，利用余弦定理可得 9=b2+c2-bc，联立解得 b，c 的值，即可得解ABC 的

14、周长本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题第8页，共 20页【答案】 A9.【解析】线的焦点为（-，0），解：抛物双曲线的一条渐近线为 bx+ay=0，则焦点到渐近线的距离 d=，即有 2b=a，则 c=a，即有双曲 线的离心率 为：故选：A求出抛物 线的焦点坐 标，双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得 a，b 的关系，再由离心率公式，计算即可得到本题考查抛物线和双曲线的方程和性 质，考查渐近线方程的运用，考查点到直线的距离公式，考查离心率的求法，属于中档 题10.【答案】 D【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如 图由图象可知，当 P 点在直线 x=1 与

15、 x+y=4 的交点时圆远线与圆相，与 心距离最，作出直交的弦短P的坐标为圆为d=，（1，3）， 心到 P点距离根据公式 |AB|=2，可得：|AB|=2 故选：D作出不等式 组对应的平面区域，画出以原点 为圆心，半径是 4 的圆，利用数形结合即可得到在哪一个点的直线与圆相交的弦最短本题主要考查线性规划的应用，通过数形结合观察出通过哪一个点的弦最短是解决本 题的关键属于基础题第9页，共 20页11.【答案】 B【解析】解：设 AB=a，BC=b，AA 1=c，则 AB 1=，AC=，B1C=，AB 1C1D，BB 1平面 ABCD ，AB 1C 是 B1C 与 C1D 所成角（或所成角的补角）

16、，BCB 1 是 B1C 与底面 ABCD 所成角，长方体 ABCD-A 1B1C1D1 中，B1C 与 C1D 所成角的余弦 值为，B1C 与底面 ABCD 所成角的正弦 值为，解得 a=c=，CC1平面 ABCD ，C1DC 是 C1D 与底面 ABCD 所成角，D1C=CC1，D1CCC1，C1DC=45，C1D 与底面 ABCD 所成角的余弦 值为故选：B设 AB=a，BC=b，AA 1=c，推导出 AB 1C 是 B1C 与 C1D 所成角（或所成角的补角），BCB 1 是 B1C 与底面 ABCD 所成角，由 B1C 与 C1D 所成角的余弦 值为B值为组求出 a=c=，由， 1C

17、 与底面 ABCD 所成角的正弦，列方程此能求出 C1D 与底面 ABCD 所成角的余弦 值本题主要考查线 面角的余弦 值的求法，考查 空间中线线 、线 面、面面间 的位置关系等基 础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题12.【答案】 A【解析】第10 页，共 20页解：不妨设 x1x2，? f（x1）-f（x2）m（x2-x1）? f（x1）+mx1f（x2）+mx2，x，x3x），a1，2，又 ?，+），x（2?121?x1，x23，+），?a1，2，f （x1）+mx1f （x2）+mx2令 F（x）=f（x）+mx，x3，+），由题可知，?a1，2使得 y=F（x）在x3

18、，+）为增函数，又 ，?x3，+），?a1，2，?x3，+），?a1，2，?x3，+），?a1，2，2x2+mx-a?x3，+），2x2+mx-2?x3，+），故选：A利用等价 转化思想来判断构造的新函数的单调性，然后将不等式恒成立 问题转化为函数最值问题来解答本题考查了函数的 单调性的运用，不等式恒成立 问题可转化为函数的最 值问题来解决13.【答案】【解析】解：当平面向量，则向量在向量方向上的投影 为=，故答案为：-由平面向量的数量 积公式及投影的定 义得：平面向量，第11 页，共 20页则向量在向量方向上的投影 为=，得解本题考查了平面向量的数量 积公式及投影的定 义，属中档题14.【答

19、案】【解析】线的导数为y=，解：曲可得曲线处线的斜率：k=，在点（4，2） 的切故答案为： 运用函数的导数运算法则线的导导数的几何意义，代，可得曲数，再由入 x=4，即可得到所求斜率本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意复合函数的 导数的运算法 则，考查运算能力，属于基础题15.【答案】 4【解析】解：方程的根即为两函数y=f （x）与y=图象交点的横坐 标，作出函数图图 结合图象可得方程的根的个数为4象，如 ，故答案为：4作出对应的图象，利用数形结合即可得到 结论本题主要考查方程根的个数的判断，利用 换元法以及数形 结合是解决本 题的关键属于中档题16.【答案】 3【解析】第12 页，共 2

20、0页解：如图：设 P（x0，y0），过 P 作准线的垂线 PM，垂足为 M ，记PAM= ，当 PA 为抛物线的切线时，取得最小值，sin 取得最小 值，=+1=+1取得最大 值，x2=4y，y=，y=，kPA=，又 kPA=， =，解得 x0=2，|PA|=2，|PM|=+1=2，sin =，原式的最大 值为+1=2+1=3故答案为 3如图：设 P（x0，y0），过 P 作准线的垂线 PM，垂足为 M ，记 PAM= ，当PA 为抛物线的切线时，取得最小 值，sin 取得最小 值，=+1=+1 取得最大 值 根据导数的几何意 义求得 PA 为切线时，P 的坐标从而可求得 结果本题考查了抛物线

21、的性质，属中档题17.【答案】 解：（ 1）因为，所以由题意有，这就是函数f（ x）的全部零点又由已知函数f（ x）的所有正数的零点构成递增数列 an ，所以 an 是以 为首项， 1 为公差的等差数列，第13 页，共 20页所以 an=n- ；（ 2）=n?（ ）n，则前 n 项和 Tn=1 ?（ ） 1+2 ?（ ） 2+n?（ ） n，Tn=1?（ ） 2+2?（ ） 3+n?（ ）n+1，相减可得Tn=（ ） +（ ） 2+（ ） n-n?（ ） n= -n?（ ） n，化简可得Tn=2- （ n+2） ?（ ） n【解析】简），令f（x）=0，求得零点，可得数列a是以为首项， 为公差

22、的（1）化 f （xn1等差数列，可得所求通 项公式；（2）求得n=n?（ ），由数列的错位相减法和等比数列的求和公式，可得所求和本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，三角函数的恒等变换，考查数列的求和方法：错位相减法，化简整理的运算能力，属于中档题18.【答案】 解：（ 1）直线 PA 与 EB 是异面直线（ 2） PD平面 ABCD ， DC ? 平面 ABCD ， PDDC 同理可证 PD BC PD=DC 可知 PDC 是等腰直角三形， 而 E 是斜边 PC 的中点，DE PC底面 ABCD 是邻边相等的矩形，即四边形ABCD 为正方形 BCDC，又 PD BC，PD

23、DC=D ，BCPDC，又DE? 平面PDC， 平面BC DE ，又 DE PC，且 PCBC=C，DE 平面 PBC，又 PB? 平面 PBCPBED .（ 3） PD底面 ABCD ，而底面ABCD 是邻边相等的矩形，即底面ABCD 是正方形，DA ， DC， DP 两两互相垂直，建立空间直角坐标系D -xyz 如图所示，设 AD=1 ，又由于 PD =DC，且底面 ABCD 是正方形， AD=AB=BC=CD =PD =1，所以 A（ 1， 0，0）， B（ 1， 1， 0）， C（ 0， 1， 0）， D（ 0， 0， 0）， P（ 0， 0， 1），设平面 PAB 的法向量为，第14

24、 页，共 20页则，令 x1=1，则 z1=1， y1=0，又设平面 EBP 的法向量为，则，令 y2=1，则 z2=1 ，x2=0， ,又 二面角 E-PB-A 的平面角是一个钝角，二面角 E-PB-A 的平面角的余弦值为.【解析】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考 查空间想象能力以及 计算能力（1）判断直线 PA 与 EB 是异面直 线（2）证明 PDDCPDBC，可得 DEPC证明 BC平面 PDC，得到BCDE，结合 DEPC，推出DE平面 PBC，即可证明 PBED（3）DA ，DC，DP 两两互相垂直，建立空 间直角坐标系 D-xyz 如图所示，设AD

25、=1 ，求出平面 PAB 的法向量，设平面 EBP 的法向量，利用空间向量的数量第15 页，共 20页积求解即可19.【答案】 （本小题满分12 分）解：（ 1）设事件Ai 为“第 i 关通过”，事件A 为“获得奖金”，该人获得奖金的概率：= （5 分）（ 2） X 的取值为0， 1， 2，3， 4， 5，P（ X=0） =P（）= ，P（ X=1） =P（） = ，P（ X=2） =P（） =，P（ X=3） =P（）=（ ） 3（ ） 2=，P（ X=5） =P（ A） =，P（ X=4） =1- P（ X=0） +P（ X=1 ） +P（X=2）+P（ X=3 ） +P（ X=5）=，X

26、 的分布列为：X012345P （11 分） （12 分）【解析】（1）设事件 A i 为“第 i 关通过”，事件 A 为“获得奖金”，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出 该人获得奖金的概率（2）X 的取值为 0，1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数学期望本题考查概率的取 值范围的求法，考查离散型随机 变量的分布列、数学期望的求法及 应用，考查对立事件概率 计算公式、相互事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档 题20.【答案】 解：（ 1）设 P（ x， y），因为 A（ -a， 0）， B（ a， 0），则点 P 关于 x 轴的对称点H （x

27、， -y），因为，第16 页，共 20页=2Cx2+ y-1 2=40 14a2=2 b2=1C52Dx=1x=-27 =0 10x=0y=0x=-1 12（1）根据条件和椭圆 C 过圆心，建立方程组求解；（2）先求出抛物线的方程，然后联立方程组求出 Q 点坐标，再利用相切求出切线方程即可本题主要考查椭圆、抛物线的性质以及直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题目x21.1g x=x+1e +aak=3e22e+a a=3 e2a2+2ea-3e2=0a=e a=-3 e2a=1f x =lnx-x2 x 0f x =0f x0f x0第17 页，共 20页函数 f（ x）的单调递增区间为；单调递

28、减区间为证明：当a=1 时，设 h（ x）=xex+x2+x-lnx则只需证明，又设，则，（ x）在（ 0， +）上单调递增，（ ） = 0， （ ）=0，存在，使得 （ x0）=0，且当 x（ 0，x0）时， （ x） 0，当 x（ x0，+）时， （ x） 0当 x（0， x0）时， h（ x） 0， h（ x）单调递减；当x（ x0，+）时， h（ x）0， h（ x）单调递增，由，得，=，设 t（ x） =x2-x+1-ln x， x（）， t （ x） =2 x-1- =，当时， t（ x） 0， t（ x）在单调递减，h（ x0） =t（ x0） t（ ） = ，因此，即 f（ x） g（ x）得证【解析】（1）求出原函数的导函数，由 g（1）=2e+a，得k=2e+a，代入 ak=3e2，得a=e