2019-2020学年高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.2.1 单调性与最大（小）值（第1课时）函数的单调性课件 新人教A版必修1

1、-1- 第1课时函数的单调性 首页 课前篇 自主预习 一二 一、增函数和减函数的定义 1.(1)画出函数f(x)=x,f(x)=x2的图象,观察它们的图象,图象的升降 情况如何? 提示:根据列表法的三个步骤:列表描点连线得两函数的图 象如下. 函数f(x)=x的图象由左到右是上升的;函数f(x)=x2的图象在y轴左 侧是下降的,在y轴右侧是上升的;函数y=-x2的图象在y轴左侧是上 升的,在y轴右侧是下降的. 课前篇 自主预习 一二 (2)如何利用函数解析式f(x)=x2来描述随着自变量x值的变化,函 数值f(x)的变化情况? 提示:在(-,0上,随着自变量x值的增大,函数值f(x)逐渐减小;

2、在 (0,+)上,随着自变量x值的增大,函数值f(x)逐渐增大. (3)用x与f(x)的变化来描述当x在给定区间从小到大取值时,函数 值依次增大?如果是函数值依次减小呢? 提示:在给定区间上,x1,x2,且x1x2,则f(x1)f(x2).在给定区间 上,x1,x2且x1f(x2). (4)增函数的定义中,把“当x1x2时,都有f(x1)x2 时,都有f(x1)f(x2)”,这样可以吗? 提示:可以.增函数的定义:由于当x1x2时,都有f(x1)f(x2),即都是 相同的不等号“x2时,都有f(x1)f(x2)”也是相同 的不等号“”,步调也一致.因此我们可以简称为:步调一致增函数. 课前篇

3、自主预习 一二 2.填表 课前篇 自主预习 一二 3.做一做 (1)f(x)=-2x-1在(-,+)上是.(填“增函数”或“减函 数”) (2)f(x)=x2-1在区间0,+)上是.(填“增函数”或“减函 数”) 答案:(1)减函数(2)增函数 课前篇 自主预习 一二 二、函数的单调性与单调区间 1.(1)“函数y=f(x)在区间D上是增函数”与“函数y=f(x)的单调递增 区间为D”一样吗? 提示:不一样.“函数y=f(x)的单调递增区间为D”,说明区间D是函 数y=f(x)的所有单调递增区间;而“函数y=f(x)在区间D上是增函数”, 只要函数在区间D上递增即可,区间D是整个单调增区间的子

4、集. (2)函数y= 的定义域是(-,0)(0,+),图象在第一、三象限内分 别是单调递减的,能否说函数y= 的单调递减区间是(-,0)(0,+)? 提示:不能.不连续的单调区间必须分开写,中间用“,”或“和”连接, 不能用符号“”连接. 课前篇 自主预习 一二 (3)写一个函数的单调区间时,是否只能写成开区间? 提示:不是.对于某一个点而言,由于它的函数值是一个确定的常 数,无单调性可言,因此在写单调区间时,可以包括端点,也可以不包 括端点,但对于某些不在定义域内的区间端点,书写时必须去掉,因 此,书写单调区间时,不妨约定“能闭则闭,需开则开”. 2.填空 如果函数y=f(x)在区间D上单调

5、递增(或单调递减),那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调递 增(或减)区间. 课前篇 自主预习 一二 3.做一做 (1)若函数f(x)的定义域为(0,+),且满足f(1)f(2)f(3),则函数f(x) 在(0,+)上为() A.增函数B.减函数 C.先增后减D.不能确定 (2)函数y= 的单调递减区间是() A.0,+)B.(-,0) C.(-,0)和(0,+)D.(-,0)(0,+) (3)根据下图写出在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数. 课前篇 自主预习 一二 (1)解析:由于函数单调性的定义突出了x1,x2的任意性,所以仅凭区 间

6、内几个有限的函数值的关系,是不能作为判断单调性的依据的, 也就是说函数单调性定义的三个特征缺一不可.因此本题选D. 答案:D (2)解析:函数y= 在(-,0)和(0,+)上单调递减,故其单调递减区 间为(-,0)和(0,+). 答案:C (3)解:函数在-1,0上是减函数,在0,2上是增函数,在2,4上是减 函数,在4,5上是增函数. 课前篇 自主预习 一二 4.判断正误: (1)若函数f(x)在区间I上是减函数,且非空数集DI,则f(x)在D上 也是减函数.() (2)若函数f(x)在定义域a,b上是增函数,且f(x1)f(x2),则 ax10时,该函数 在R上是增函数;当k0时,该函数在

7、R上是减函数. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 (2)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的单调性以对称轴x=- 为分界线. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 延伸探究已知xR,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合 图象写出函数的单调区间. 由图象可知,函数的单调增区间为(-,1,2,+);单调减区间为 1,2. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 证明证明函数的单调性函数的单调性 例2求证:函数f(x)=x+ 在区间(0,1)内为减函数. 分析:x1,x2(0,1),且x1f(x2)即可. 0 x1x20,x

8、1x2-10,x1-x20,即f(x1)f(x2). 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 反思感悟反思感悟 利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 特别提醒作差变形的常用技巧: (1)因式分解.当原函数是多项式函数时,作差后的变形通常进行 因式分解.如f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1). (2)通分.当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分 子进行因式分解.如本例. (3)配方.当所得的差式是含有x1,x2的二次三项式时,可以考虑配方, 便于判断符号. (4)分子有理化.当原函数是根式函数时,作差后往

9、往考虑分子有 理化. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 延伸探究延伸探究判断并证明本例中的函数f(x)在区间1,+)上的单调性. 证明如下: x1,x21,+),且x1x2, 1x1x2,x1-x20,x1x20. f(x1)-f(x2)0,即f(x1)g(1-3t),求t 的取值范围. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 因混淆“单调区间”和“在区间上单调”两个概念而致错 典例 若函数f(x)=x2+2(a-1)x+4的单调递减区间是(-,4,则实数a 的取值集合是. 错解函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1-a,由于函数在区间(-,4 上单调递减,因

10、此1-a4,即a-3.故实数a的取值集合为a|a-3. 以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正? 如何防范? 提示:错解中把单调区间误认为是在区间上单调. 正解:因为函数的单调递减区间为(-,4,且函数图象的对称轴为 直线x=1-a,所以有1-a=4,即a=-3.故实数a的取值集合为-3. 答案:-3 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 纠错纠错心得心得 单调区间是一个局部概念,比如说函数的单调递减区 间是I,指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单 调,则是指该区间为相应单调区间的子集.所以我们在解决函数的 单调性问题时,一定要仔细读题,明确条件的含义. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 变式训练若函数f(x)=2x2+7(a-3)x+2在区间(-,5上单调递减,则 实数a的取值范围是. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 1.若函数f(x)的定义域为(0,+),且满足f(1)f(2)f(3),则函数f(x)在 (0,+)内() A.是增函数B.是减函数 C.先增后减D.单调性不能确定 解析:1,2,3不是任意取的值,不能作为判断函数单调性的依据. 答案:D 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练 2.函数y=f(x),x-4,4的图象如图所示,则函数y=f(x)的所有单调