2019-2020学年高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.4.1 对数函数的概念 4.4.2 对数函数的图象和性质课件 新人教A版必修1

1、-1- 4.4.1对数函数的概念对数函数的概念 4.4.2对数函数的图象和性质对数函数的图象和性质 首页 课前篇 自主预习 一二三 一、对数函数的定义 1.我们已经知道y=2x是指数函数,那么y=log2x(x0)是否表示y是x 的函数?为什么? 提示:是.由对数的定义可知y=log2x(x0)x=2y,结合指数的运算 可知,在定义域x|x0内对于每一个x都有唯一的y与之对应,故 y=log2x(x0)表示y是x的函数,其定义域为(0,+). 2.填空 一般地,函数y=logax(a0,且a1)叫做对数函数,其中x是自变量, 定义域是(0,+). 课前篇 自主预习 一二三 3.判断一个函数是不

2、是对数函数的依据是什么? 提示:对数函数的定义与指数函数类似,只有满足函数解析式 右边的系数为1;底数为大于0且不等于1的常数;真数仅有自变 量x这三个条件,才是对数函数.如:y=2logax;y=loga(4-x);y=logax2都 不是对数函数. 4.做一做: 下列函数是对数函数的是() A.y=logax+2(a0,且a1,x0) B.y=log2 (x0) C.y=logx3(x0,且x1) D.y=log6x(x0) 答案:D 课前篇 自主预习 一二三 二、对数函数的图象和性质 1. (1)在同一坐标系中,函数y=log2x与y= 的图象如图所示.你 能描述一下这两个函数的相关性质

3、(定义域、值域、单调性、奇偶 性)吗? 提示: 课前篇 自主预习 一二三 提示:关于x轴对称. 提示:在直线x=1的右侧,a1时,a越大,图象越靠近x轴,0a1时,a 越小,图象越靠近x轴. 课前篇 自主预习 一二三 2.填表 对数函数的图象和性质 课前篇 自主预习 一二三 3.做一做 (1)若函数y=logax的图象如图所示,则a的值可能是 () A.0.5 B.2C.eD. (2)下列函数中,在区间(0,+)内 不是增函数的是() A.y=5xB.y=lg x+2 C.y=x2+1D.y= (3)函数的f(x)=loga(x-2)-2x的图象必经过定点. 解析:(1)函数y=logax在(

4、0,+)上单调递减, 0a0且a1)和指数函数y=ax(a0且a1)互为反 函数.它们的图象关于直线y=x对称. 课前篇 自主预习 一二三 3.做一做 (2)函数g(x)=log8x的反函数是. (3)判断正误: 若函数y=f(x)的图象经过点(a,b),则其反函数的图象过(b,a). () 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五 对数函数对数函数的概念的概念 例1 (1)已知对数函数f(x)=(m2-3m+3)logmx,则m=. 求f(x)的解析式; 解方程f(x)=2. 分析:(1)根据对数函数的形式定义确定参数m所满足的条件求解 即可;(2)根据已知设出函数解析式,代入点的坐

5、标求出对数函数的 底数;然后利用指对互化解方程. 思想方法随堂演练 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五 (1)解析:由对数函数的定义可得m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,也就 是(m-1)(m-2)=0,解得m=1或m=2.又因为m0,且m1,所以m=2. 答案:2 (2)解:由题意设f(x)=logax(a0,且a1), 解得a=16,故f(x)=log16x. 方程f(x)=2,即log16x=2,所以x=162=256. 思想方法随堂演练 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五 反思反思感悟感悟 1.对数函数是一个形式定义: 2.对数函数解析式中只有一个参

6、数a,用待定系数法求对数函数 解析式时只须一个条件即可求出. 思想方法随堂演练 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五 变式训练1(1)若函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a=. (2)点A(8,-3)和B(n,2)在同一个对数函数图象上,则n=. (2)设对数函数为f(x)=logax(a0,且a1). 则由题意可得f(8)=-3,即loga8=-3, 思想方法随堂演练 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练 与对数函数有关的定义域、值域问题与对数函数有关的定义域、值域问题 例例2(1)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域

7、为() A.(-,0)(1,+) B.(-,01,+) C.(0,1) D.0,1 (2)已知函数f(x)= 的值域为-1,1,则函数f(x)的定义域是 . 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练 解析:(1)由题意得x2-x0, 解得x1或x1时“底大图 低”.实际上,作出直线y=1,它与各图象交点的横坐标即为各函数的底 数的大小,如图所示. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练 变式训练2作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定 义域、值域以及单调区间. 解:先画出函数y=lg x的图象(如图). 再将该函数图象向右

8、平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象 (如图). 图 图 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练 最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原 来在x轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图). 图 由图易知其定义域为(1,+),值域为0,+),单调递减区间为(1,2, 单调递增区间为(2,+). 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练 利用利用对数函数的性质比较大小对数函数的性质比较大小 例4 比较下列各组中两个值的大小: (1)log31.9,log32; (2)log23,lo

9、g0.32; (3)loga,loga3.141(a0,且a1). 分析:(1)构造函数f(x)=log3x,利用其单调性比较大小; (2)分别比较两个对数与0的大小; (3)分类讨论底数a的取值范围,再利用单调性比较大小. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练 解:(1)(单调性法)因为f(x)=log3x在(0,+)上是增函数,且1.92,所 以f(1.9)f(2),即log31.9log21=0,log0.32log0.32. (3)(分类讨论法)当a1时,函数y=logax在定义域内是增函数,则有 logaloga3.141; 当0a1时,函数y=logax

10、在定义域内是减函数,则有 loga1时,logaloga3.141; 当0a1时,loga0,且a1); (3)log30.2,log40.2; (4)log3,log3. 解:(1)因为函数y=ln x在定义域内是增函数,且0.32,所以ln 0.31时,函数y=logax在(0,+)上是增函数,又3.15.2,所以 loga3.1loga5.2; 当0a1时,函数y=logax在(0,+)上是减函数,又3.1loga5.2. 故当a1时,loga3.1loga5.2; 当0aloga5.2. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练 (3)(方法一)因为0log0.

11、23log0.24, (方法二)画出y=log3x与y=log4x的图象,如图所示, 由图可知log40.2log30.2. (4)因为函数y=log3x在定义域内是增函数,且3, 所以log3log33=1. 同理,1=loglog3,所以log3log3. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练 求求复合函数的单调区间复合函数的单调区间 例5求函数y=log0.2(x2-2x+2)的单调区间. 分析:利用复合函数法确定其单调区间. 解:令u=x2-2x+2,则u=(x-1)2+110. 当x1时,u=x2-2x+2是增函数, 又y=log0.2u是减函数, 所以y

12、=log0.2(x2-2x+2)在1,+)上是减函数. 同理可得函数y=log0.2(x2-2x+2)在(-,1上是增函数. 故函数y=log0.2(x2-2x+2)的单调增区间为(-,1,单调减区间为 1,+). 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练 变式训练 4求函数y=loga(a-ax)的单调区间. 解:(1)当a1时,y=logat是增函数,且t=a-ax是减函数,而a-ax0,即 axa,所以x1. 所以y=loga(a-ax)在(-,1)上是减函数. (2)当0a0,即 axa,所以x1时,函数y=loga(a-ax)在(-,1)上是减函数;当 0a1

13、时,函数y=loga(a-ax)在(-,1)上是增函数. 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练 与对数函数有关的图象变换问题 答案:(-,-2) 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练 答案: 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练 A.-1,3) B.(-1,3) C.(-1,3 D.-1,3 答案:C A.-1,0B.0,1 C.1,+)D.(-,-1 答案:A 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练 A.yx1B.xy1 C.1xyD.1y0,且a1)的图象恒过定点P,则点P的 坐标是. 解析:令x-1=1,得x=2.f(2)=2, f(x)的图象恒过定点(2,2). 答案:(2,2) 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练 5.若a=log0.20.3,b=log26,c=log0.24,则a,b,c的大小关系为. 解析:因为f(x)=log0.2x在定义域内为减函数,且0.20.31log0.20.3log0.21log0.24, 即1a0c. 同