学而思第4讲盈亏问题教师版

1、第4讲盈亏问题教学目标本讲主要学习三种类型的盈亏问题：1. 理解掌握条件转型盈亏问题：2. 理解掌握矢系互换性盈亏问题；3. 理解掌握其他类型的盈亏问题，本节课要求老师首先上学生理解盈亏问题 其本公式的含义，在通过例题让学生掌握解答应困问题的其本技巧，培养学 生的思维分析能力。经典精讲盈亏问题，故名思意有剩下就叫盈，不够分就 叫亏，不同的方法分配物品时，经常会产程这种盈亏现象。盈亏问题的尖键 是专注两次分配时盈亏总量的变化。我们把盈亏问题分为三类：“一盈一 右、两盈 两亏 1 “盈亏”型例如：学而思学校四年级基础班的同学分糖果，如果每人分4 粒就多9粒，如果每人分5粒则少6粒，问：有多少位同学

2、分多少粒糖果?【分析】由题目条件知道，同学的人数与糖果的粒数不变，比较两种分配方 案，第一种没人分4粒就多9粒，第二种每人分5粒则少6粒，两种不 同方案一多一少差9+6=15 （粒），相差原理在于两种方案分配数不同，两 次分配数之差为15 115 （位），糖果的粒数为：4 15 9 69 （粒）。2 “盈盈”型例如：老猴子给小猴子分桃，每只小猴10个桃，就多出9个桃，每只小猴 分门个桃则多出2个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个 桃子？ 分析：老猴子的第一种方案盈9个桃子，第二种方案盈2个，所以盈亏综合 是9-2=7 （个），两次分配之差是11-10-1 （个）有盈亏问题公 式得，

3、有小 猴子：717 （只），老猴子有7 10 9 79 （个）桃子。3“亏亏”型例如：学而思学校新近一批书，将它们分给几位老师，如果每 人发10本，还差9本，每人发9本，还差9本，第二次就只差2本了呢？ 因为两次分配数量不一样，第一次分配时每人少发一本，也就是共有717（人）书有7 10961 （本）。根据以上具体题目的分析，可以得出盈亏问题 的基本尖系式：（盈+亏）两次分得之差=人数或单位数（盈-盈）两次分得之差=人数或单位数（亏-亏）两次分得之差=人数或单位数条件转化型的盈亏问题这种类型的题目不能直接计算，要将其中的一个条件转 化，使之成为普通盈亏问题。【例1】军队分配宿舍，如果每间住3人

4、，则多出20人；如果每间住6人，余下2人可以每人住一个房间，现在每间住10人，可以空 出多少个房间?【分析】每间住6人，余下2人可以每人各住一个房间，说明多出两个房间，同时多出两个人，也就是第二次分配少622 10 （人），那么两次分配 方案人数相差20+10=30 （人），即可以空出10-50 105 （间）房间。【铺垫】学校给一批新入学分配宿舍。如果每个房间住12人，则34人没有 位置；如果每个房间住14人，则空出4个房间。求学生宿舍有多少间，住宿学生有多少人?【分析】把“每个房间住14人，则空岀4个房间转化为“每间住14人， 则少14 4 56 （人）”这样两种方案就可以比较了。第一种方

5、案多出34人， 第二种方案少56人，90 2 45 （间），学生 数为：12 4534574 （人）例2妈妈买来一篮橘子分给全家人，如果其中两人分4个，其余人每人 分2个，则多出4个；如果其中一人分6人，其余人每人分4个，则缺少 12个，妈妈买来橘子多少个？全加共有多少人？【分析】由“其中两人分4 个，其余每人分2个，则多出4个，”转化为全家每人都分2个，这分4 个的两人每人都拿出2个，共拿出4个，结果就多了 4+4=8个：由“一人 分6个，其余每人分4个，则缺少12个”转化为全家每人都分4个，分 6个的人拿出2个。结果就 少了 12-2=10个，转变成了盈亏问题的一半类 型，则：全家的人数：

6、422 （122） （42） 1829 （人）橘子的个数：2 9 826 （个）铺垫】实验小学的少先队员去植树。如果每人种5棵还有3棵每人种； 如果其中2人各种4棵。其余的人各种6棵，这些树苗正好种完，问有多 少少先队员参加植树，一共iozhong多少课树苗？【分析】这是一道较难的 盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中2人各种4 棵，其余的人各种6棵，就恰好种完，这组条件中包含着两种种树的情况一 -2人各种4棵，其余的人各种6棵。如果我们把他们统一成一种情况，让 每人种六棵，那么，就可以多种树（64） 2 4 （棵）。因此，原问题就转 化为：如果每人各种5棵树苗，还有3棵没人种

7、；如果每人种6棵数树苗， 还缺4棵。问有多少少先队员，一共种多少树苗？人数：3+ （6-4） 2 （65） 7 （人），棵树：5 73 38 （棵）或6 7 4 38 （棵）【小结】盈亏问 题必须是将一定数量的物体平均分给固定对象，而本题中两次分橘子均不是 每人分别的橘子数相同。碰到此类似情况时，不需将其调整成两次都是平均 分，然后解答。【例2】学校规定上午8时到校，小明去上学如果每分钟走60米，可提早1 o分钟到校；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，求小明几时几分离家刚好8时到校？由家到学校的路程 是多少？【分析】小明每分钟走60米，可提早10分钟到校，即到校后还可多走60 10 600

8、米，如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，即到校后 还可多走50 8=400 （米），第一种情况比第二种情况每分钟多走60-50=10 （米），就可以夺走600-400=200 （米），从而可以求出 小明由家道校所需时间。1）10分钟走多少米？ 60 10 600 （米），2 ） 8分钟走多少米？ 50 8 400 （米）3）需要时间:（600-400） （60 50） 20 （分钟），所以小明7时40分离家刚好8时到校。4）由家到校的路程：60 （20 10） 600 （米）或50 （20 8） 600 （米）铺垫】童童从家到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；如果 每分钟60米，

9、就可以比上课时间提前2分钟夺走60-50=10 （米）， 就可以夺走150+120=270 （米），童童从家到 学校所用时间是：270 10 27 （分钟），加到学校的距离是：50 （27 3） 50 30 1500 （米）。例4】（第二届“华杯赛”试题）有一个半同学去划船。他们计算以下，如 果增加一条船，正好每条船作6人；跑如果减少一条船，正好每条船 坐6人。如果减少一条船，正好每条船坐9人。问：这个班共有多少 学生分析】先增加一条船，那么正好每条船坐6人。然后去掉两条船，就会余下6212 （名）同学。改为每条船9人，也就是说，每条船增加9-6=3（人），正好可以把余下的12名同学全部安 排

10、上去，所以现在还有 1234 （条）船，而全班同学的人数是9 436 （人）。【巩固】增加两条船，正好每条船坐6人，然后去掉四条船，就会余下6 424 （人），改为每只船9人，即每条船增加9-6=3 （人），正好可 以把余下的24人全部安排上去，所以现在船数为2438 （条），这 个班的人数为9 8 72 （人）。【小结】这部分的题目不能直接运用公式计算，首先需要将一定的条件转化，使之成为跟第一步分相似的题型，在运用公式计算。尖系互换型的盈亏问题这种题型中会出现两种物品，一半两者之间还存在数量矢系，如和差尖系、倍数尖系等，我们应该先利用数量矢系将已知条件转化为一种 物品的盈亏矢系，再根据盈亏问

11、题的解法计算。【例5 （2004 “走进美妙的数学花园”数学邀请赛）幼儿园老师把一袋糖 果分给下朋友。如果分给打扮的小朋友，每人5粒就缺6粒。如果分给小班 的小朋友，每人4粒。已知大班比小班少2个小朋友这袋糖果共有多少粒?【分析】如果大班增加2个小朋友，大、小班人数就相等了，变为“每人5粒缺16粒，每人4粒多4粒”的盈亏问题。小班有（16 4）（5 4） 20 （人）。这袋糖果有4 20 4 84 （粒）。【拓展】（2007年湖北省“创新杯”决赛）四（2）班举行“六一”联欢晚会，辅导员老师带着一笔钱取买糖果。如果买芒果13千克，还差4元;如果买奶糖15千克，则还剩2元。已知每千克芒果比奶糖贵2

12、元，那么，辅导员老师带了元钱.分析这笔钱买了 13千克芒果还差4元，若把13千克芒果换成奶糖就 会 多出13 226元，所以这笔钱买13千克奶糖会多出26-4=22元。而 这笔钱埋15千克奶糖会多出2元，所以每千克奶糖的价格为：（22-2 ）（1513） 10 （元）。辅导老师共带 了 10152152 （元）【例6】（2004南京市少年数学智力冬令营）甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信封与相同数量的信封，甲 每封信用2张信纸信纸，乙每封信用3张信纸，一段时间后，甲用完了 所有的信封还剩20张信封，乙用完所有信纸还剩下10个信封，则他们 每人各买了多少张信纸？【分析】由题意，如果乙用

13、完所有的信封，那么缺30张信纸。这是盈亏问 题，盈亏总额为（20+30）张信纸，两次分配的差为（3-2）张信纸，所有 的信封（20+30）（32） 50 （个），有信纸 25020 120）（张）【巩固】甲、乙两人的信纸一样多，信封也一样多，甲写一封信用一张信纸，乙写一封信用3张信纸。结果甲的信封用完时还剩50张信纸，乙的信 纸用完时还剩50个信封，原来他们各自有信封多少个？ 信纸多少张?【分析】乙要想用完剩余的50彳、信封，还需再多50 3=150 张信纸，也就是要用完同样多的信封，甲多50张信纸，乙少150张信纸。信封的个数：（50 3 50）（3 1） 100 （个）信纸的张数：100+

14、50=150 （张）【小结】不同的人，相同的物品，假设都用完同样多的信封，这就是“盈 亏”的尖联点，问题便于解决了。【例7】体育中心将一些乒乓球分给若干人，每人5个还多余10个乒乓 球，如果人数增加到3倍，那么每人分2个乒乓球还缺少8个，问有乒乓 球多少个？【分析】考虑人数增加3倍后，相当于按原人数每人给23 6 （个），每人 给5个与给6个，总数相差10+8=18 （个），所以原有人数18 （6 5） 18（人），乒乓球总数是51810100 （个）【拓展】卧龙自然保护区管理员把一些竹子分给若干只大熊猫，每只大熊猫 分5个还多余10棵竹子，如果大熊猫数增加到3倍还少5只大熊猫，那 么每只大熊

15、猫分2个还缺8棵竹子，问有大熊猫多少只，竹子多少课？注意】以上题型中会出现两种物品，一般两者之间还存在数量尖系 如和差尖系、倍数尖系等，我们应该先利用数量尖系将已知条件转化为一种物品的盈亏尖系，再根据普通盈亏问题的解法计算。【例8】幼儿园阿姨拿来水果糖和奶糖分给小朋友，且水果糖的个数是奶糖的2倍。如果每个小朋友分2个奶糖，就多余4个奶糖；如果 每个小朋友 分5个水果糖，则少2个水果糖。阿姨拿来了水果糖和奶糖个多少个?【分析】水果糖和奶糖的个数不相等，不能将两者直接比较，如果本题中水 果糖和奶糖一样多就好了。所以，我们可以假设水果糖和奶糖一样多，也就 是假设奶糖是实际数量的2倍，那么，分给同样多

16、的小朋友后，每个小朋友 可以分到2 2=4个，而多余的奶糖是4 2 8（个）、分到太奶糖和水果糖相 差8+2=10个，原因是每个小朋友多分了 5-4=1个，这样就可以求出小朋友 的人数，然后根据太烫和水果糖的实际分配情况，分别求出奶糖和水果糖的 个数，然后根据奶糖和水果糖的实际分配情况，分别求出奶糖和水果糖的个 数，即:（422）（522） 10 1 10 （个）小朋友的人数10 2 4 24 （个）奶糖的个数10 5 2 48 （个）水果糖的个数【注意】本题的解题矢键在于通过假设，使两种糖的个数变得同样多在解答 其他类型的盈亏问题盈亏问题有的题型不想普通的盈亏问题那么标准，它是 经过普通盈亏

17、问题的变形和拓展，解答这类问题也要利用其本盈亏问题解答 方法，根据不同的题型作出相应的应对。【例9幼儿园老师给小朋友分糖果。若每人分8快，还剩10快；若没人 分9块，左后一人分不到9块，但至少可分到一块。那么糖果 最多有多少 块？【分析】最后一人分不到9块，那么最多可以分到8块，即若每人分9块，还差1块。根据盈亏计算公式，人数有（1+10） （ 9-8） =11（人）5糖果最多有9 11 1 98 （块）；最后一人分不到9块，但至少可分 到一块，即最少是最后一人差8块，根据盈亏计算公式，人数有（8+10 ）（98） 18 （人），糖果最多有9 188 154 （块）；所以，这批糖果最多有154

18、 块。【拓展】有若干盒卡片，每盒中卡片数一样多。把这些卡片分给一些小朋友，如果只分一盒，每人均至少可得7张，但若都分8张则缺少5张。现 在把所有卡片都分完，每人都分到60张，而且还多出4张。问共有小朋友 多少人？【分析】60 7 84, 60 8 74，说明卡片的盒数是8盒，“若都分8张则还 缺少5张”，即如果我们每盒中加5张（8盒共加40张），每人就可以得 到8 8 64 （张），现在时机每人得到60张，即每人需要退4张，其中要有 4张式每人60张后多下来的，还有40张我们一开始借来的要还出去，即 要退出44张，44411 （人），说明有11人。【例10】妈妈给了红红一些钱去买贺年卡，有甲、

19、乙、丙三种贺年卡， 甲种卡每张1元，丙种卡片每张2元。用完这些钱买甲种卡要比乙种卡多买 8张，买乙种卡要比买丙种卡多买6张。妈妈给了红红多少钱？乙种卡每张 多少钱？【分析】“用这些钱买甲种卡要比买乙种卡多买8张，买乙种要比买丙种卡 多买6张”所以盈亏总额是：182 620 （元），单价相加2-1=1 （元）， 所以工可以买衣种卡20 1 20 （张），妈妈给红红的钱 数是：（20+8）1=28（元），乙种卡每张：28 20=1元4角。【拓展】乐乐有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中2分币比5分币多22 个;按钱数算，5分币比2分币多4角；另外，还有36个1分币。乐乐共 花了多少钱？【分析】假设去

20、掉22个2分币，那么按钱数算，5分币比2分币多8角4分，一个5分币比一个二分币多3分，所以5分币有：84 （5-2）=28个2分币有：28+22=50 （个）所以乐乐共存钱：5 28250 1 36 140 100 36 276 （分）。巩固精炼1 小明读一本书，如果每天读6页，还剩20页没有读完，如果每天读10也，书还少24页，这本书共有多少页，小明打算几天读完？【分析】在两种方法中，数的页数和打算读的天数没有改变，而第一种读法，书没读完，还剩20页；第二种读法，不仅可将余下的29页读完，如 果书还有24页也能恰好读完。两种不同读法总页数相差20+24=44页，造 成这个差异的原因就是每天多

21、读天了 10-6=4页。每 天多读4页就要多读 44页，因此打算毒的天数是44 4 11天，即：20+24）（ 10-6）=44 4=11 （天）6 114 20 86 （页）2. 阳光小学学生乘汽车到香L1J春游。如果每车坐65人，则有5人不能乘上车；如果没车多坐5人，恰好多于一辆车，问一共有几辆 汽车，有多少 学生？分析每车多坐5人，实际是每车可坐5+65=70 （人），恰好多余一辆 车，也就是还差一辆汽车的人，即70人，因而原因问题转化为：如果没车 坐65人，则多出5人无人乘坐；如果每车坐70人，还少70人，求有多少 人和多少辆车？车数是（5+5+65） 515 （辆）人数是65 15 5 980 （人）或（5+65）（15 1 ） 980 （人）3. 王老师由家里到学校，如果骑车每分钟每分钟500米，上课就要 迟到3 分钟；如果骑车每分钟600米，就可以比上课时间提前2分钟到校。王 老师家到学校的路程是多少米？【分析】迟到3分钟转化成米数：500 3=1500 （米），提前两分钟到校转化成米数：600 2=120