极限的性质及运算法则（经典实用）

1、极限的运算法则极限的运算法则 . 0, )(lim )(lim )( )( lim)3( ;)(lim)(lim)()(lim)2( ;)(lim)(lim)()(lim) 1 ( ,)(lim,)(lim B B A xg xf xg xf BAxgxfxgxf BAxgxfxgxf BxgAxf Xx Xx Xx XxXxXx XxXxXx XxXx 其中 则设 极限的性质及运算法则极限的性质及运算法则 .)x( flim)x( f lim ,n,)x( flim: n Xx n Xx Xx 则则是是正正整整数数而而存存在在如如果果结结论论 . 5x3x 1x lim)1( 2 3 2x

2、解解)53(lim 2 2 xx x 5lim3limlim 22 2 2 xxx xx 5limlim3)lim( 22 2 2 xxx xx 5232 2 , 03 53 1 lim 2 3 2 xx x x )53(lim 1limlim 2 2 2 3 2 xx x x xx . 3 7 3 12 3 例例1 求下列极限求下列极限 极限的性质及运算法则极限的性质及运算法则 解解 例例3 3. 32 1 lim 2 2 1 xx x x 求求 .,1分母的极限都是零分母的极限都是零分子分子时时x .1后再求极限后再求极限因子因子先约去不为零的无穷小先约去不为零的无穷小 x )1)(3(

3、)1)(1( lim 32 1 lim 1 2 2 1 xx xx xx x xx 3 1 lim 1 x x x . 2 1 ) 0 0 (型型 (消去零因子法消去零因子法) 极限的性质及运算法则极限的性质及运算法则 例例4 4. 147 532 lim 23 23 xx xx x 求求 解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x )(型型 ., 3 再再求求极极限限分分出出无无穷穷小小去去除除分分子子分分母母先先用用x 3 3 23 23 14 7 53 2 lim 147 532 lim xx xx xx xx xx . 7 2 (无穷小因子分出法无穷小因子分出法)

4、 极限的性质及运算法则极限的性质及运算法则 小结小结 1.极限的四则运算法则及其推论极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法极限求法; a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限. 极限的性质及运算法则极限的性质及运算法则 思考题思考题 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限， 无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为 什么？什么？ )(xf

5、)(xg )()(xgxf 极限的性质及运算法则极限的性质及运算法则 思考题解答思考题解答 没有极限没有极限 假设假设 有极限，有极限，)()(xgxf )(xf 有极限，有极限， 由极限运算法则可知：由极限运算法则可知： )()()()(xfxgxfxg 必有极限，必有极限， 与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误 极限的性质及运算法则极限的性质及运算法则 ._ 1 sinlim5 2 0 x x x 、 ._ 3 3 lim1 3 2 x x x 、 一、填空题一、填空题: ._ 1 1 lim2 3 1 x x x 、 ._) 11 2)( 1 1(lim3 2 xxx x 、 ._ 5 )3)(2)(1( lim4 3 n nnn n 、 ._ cos lim6 xx x ee x 、 练练 习习 题题 极限的性质及运算法则极限的性质及运算法则 ._ 23 24 lim7 2 24 0 xx xxx x 、 ._ )12( )23()32( lim8 50 3020 x xx x 、 二、求下列各极限二、求下列各极限: ) 2 1 . 4 1 2 1 1(lim1 n n 、 h xhx h 22 0 )( lim2 、 ) 1 3 1 1 (lim3 3 1 xx x 、 极限的性质及运算法则极限的性质及运算法则 练习题答案练习题