第三章 采样与量化（经典实用）

1、第三章 采样与量化 第三章 采样与量化 3.1 采样 3.2 量化 3.3 重构与内插 3.4 仿真采样频率 第三章 采样与量化 本课的主要目的是研究利用数字计算机对通信系统进行精确 的仿真所需的基本方法。在大多数的通信应用中，是通过要 研究的系统来产生和处理信号波形的。当然，计算机只能处 理所关心的表示信号波形的采样点的数值。另外，采样点的 值是经过量化的。因此，在所有的数字仿真中，采样和量化 都是基本的操作，其中每一个操作都会给仿真结果带来误差。 而完全消除这些误差是不可能的，故往往需要作折中。我们 所能做的顶多是使采样和量化对仿真精度的影响最小化。 第三章 采样与量化 3.1 采样 数字

2、信号是通过对模拟信号进行采样、量化和编码得到 的。 模拟信号：是时间和幅度都连续的信号，记作x（t）。 采样数据信号：对模拟信号采样，采样结果是产生幅 度连续而时间离散的信号， 数字信号：通过将时间采样值编码到一个有限的数值 集合，可由采样数据信号得到数字信号。 注意：在这些处理的每一步中都会引入误差。 第三章 采样与量化 3.1.1低通采样定理 从时间连续信号X(t)到数字信号转换第一步就是，对X(t) 进行等时间间隔采样，得到采样值 。 参数Ts是采样周期，其倒数就是采样频率fs。 采样操作的模型如下图所示。 ( )() ss x tx kTx k 第三章 采样与量化 第三章 采样与量化

3、采样操作和采样函数 采样信号Xs(t)是用信号X(t)乘以周期脉冲p(t)来产 生。也即 第三章 采样与量化 信号p(t)叫采样函数。假设采样函数为窄脉冲，其取 值为0或1。当p(t)=1时， Xs(t)= X(t)，当p(t)=0时Xs(t) =0， p(t)可以是任意的。 由于p(t)是周期信号，可以用傅里叶级数表 示为 式中的傅里叶系数由下式给出： 第三章 采样与量化 将式(3.2)带入式(3.1)中得采样后的信号为 采样信号的傅里叶变换为 交换上式中积分和求和的顺序，有 第三章 采样与量化 由于连续信号X(t)的傅里叶变换为 则由式(3.6)可得采样信号的傅里叶变换 第三章 采样与量化

4、 从上式可以看出，对时间连续信号的采样导致 了信号频谱在直流点（f=0）和所有采样点的 谐波（f=nfs）处产生重复。 由于假定采样是瞬时的，p(t)可定义为： 这就是所谓的冲击函数采样，其中采样的值由 冲击函数的权来表示，将式(3.9)代入式(3.3)有 第三章 采样与量化 应用 函数的移位特性，有 利用式（3.2）显示的结果，p(t)的傅里叶变换可写成 第三章 采样与量化 对脉冲函数采样，对所有的n，式 都成立。因此应用式(3.8)，采样后信号的 频谱变为 这个结果也可从下面的表达式得到 第三章 采样与量化 采样在频域表示 下图为由式(3.14)产生的带限信号的采样xs(f)的情况。 第三

5、章 采样与量化 重构：通过使用低通滤波器在n0附近提取xs(f) 的频谱，可以完成从xs(t)到x(t)信号的重构。 要求：要完成无差错的信号恢复，要求xs(f)在 f=fs附近的频谱与在f=0处的频谱没有重叠。 换句话说式(313)中的频谱必须是分离的。 第三章 采样与量化 定理一 如果采样频率如果采样频率fs大于大于2fh，那么带限信号就可以，那么带限信号就可以 无差错地通过其采样信号恢复，这里无差错地通过其采样信号恢复，这里fh表示被表示被 采样信号中出现的最高频率。采样信号中出现的最高频率。 注：这个定理通常指低通信号的采样定理，但 它对带通信号同样适用。 第三章 采样与量化 混叠：如

6、果fsW这种典型情况下，用宽 带信号所需的采样率对窄带信号进行采样，其结果将 导致仿真的时间过大，效率会很低。理想的是每个信 号的采样就采用适合本信号的采样率。 第三章 采样与量化 上采样和内插 上采样上采样 就是提高采样频率。上采样使得采样周期降低M 倍。因此，根据对应的连续时间信号x(t)，上采样过程从 原有的采样值 生成新采样 值 。作为例子，假定通过对重构信号 xr(t)在t=nTs/M处内插来构造一组新的采样，其中重构 信号xr(t)由式(3-49)给出。进行操作后为： 对sinc(.)进行截断有 第三章 采样与量化 对sinc(.)进行截断有 虽然不完美但是这是一个更实际的内插器，

7、增大L 就可以降低内插的误差。然而，由于每个内插采样 点需要2L+1个样点，对于大的L，计算负荷往往是 难以接受的。因此，在计算负荷和精度之间就有一 个折中，这种折中在我们的仿真研究中会多次碰到。 第三章 采样与量化 更实用的内插器是线性内插器，它比sinc()函数 内插所需的计算量要小得多。线性内插器的脉 冲响应定义为： 内插操作图如下： 第三章 采样与量化 很明显，上采样和下采样郡引入了很多的额外开 销。如果上采样倍数M适度，比方说是2或3，通 常最好用单采样频率开发仿真系统，从而窄带信 号的过采样会出现在系统中。然而，如果B和W相 差太多，那么通常最有效的方法是对仿真中每个 具有不同带宽

8、的信号采用合适的采样频率。 第三章 采样与量化 上采样和内插操作 第三章 采样与量化 下采样（抽值） 下采样下采样是频率降低的过程。 实现方法：实现方法：这个过程通过用单个采样代替M个采样来 完成，因此下采样比上采样简单得多。 下采样器输出的采样点是通过在采样过程中对采 样周期增加M倍来完成的，因而下采样器输出的采样点 记作 。由 给出。采样值由下式得到 第三章 采样与量化 3.4 仿真采样频率 开发仿真时要作的一个基本决定是选择多大的 采样频率。对于没有反馈的线性系统，必须的 采样频率是由可接受的混叠误差决定的，而这 又有赖于成型脉冲的功率谱密度。因为成形脉 冲对选择合适的采样频率很重要。

9、第三章 采样与量化 问题：问题： 从采样的研究得知，要完全消除混叠误差需 要无限的采样频率，这在实际中显然是不可 能的。 随着采样频率的增加，对每个通过系统的数 据符号都要处理更多的采样点，而这会增加 执行仿真所需时间。在实际中不可能消除混 叠现象，一个自然的策略就是选择合适的采 样频率，以便在混叠误差和仿真时间之间达 成折中。 第三章 采样与量化 表示数据随机序列。在二进制系统中，ak的典型取 值是十1和-1，P(t)是脉冲成形函数，T是符号周期， 而是在采样周期上的均匀随机变量，参数A是用于 确定传输信号功率的比例常量。假定 和 分别表示数据序列的均值和自相关 函数。 传输通用模型如下 其

10、中 3.4.1 通用开发 第三章 采样与量化 传输信号的自相关函数为： 式中 所需采样频率由传输信号的PSD确定。应用维 纳辛钦定理。 第三章 采样与量化 有： 我们目标是选择合适的采样频率，而这个采 样频率依赖于出现在仿真模型中的波形。 其中，G(f)是脉冲成形函数P(t)的能量谱密度， =G(f), P(f)是p(t)的付里叶变换 第三章 采样与量化 3.4.2 仿真采样率 现在回到将采样频率和给定脉冲成形相关的 问题上来。这种关联是通过考虑采样过程的信噪 比来完成的，其中的噪声功率来自于混叠。目标 是选择一个采样频率，使得混叠误差相对于所考 察的系统性能的降低是可以忽赂的。我们将看到，

11、所需的采样频率依赖于出现在仿真模型中的波形。 第三章 采样与量化 以每个符号六个采样的速率进行采样的矩形脉冲序列 第三章 采样与量化 如上图所示假设采样频率是符号频率的六倍， 数据序列的功率谱密度为： 以每个符号m个采样（fs=m/T）对数据序列进行采样有 即 第三章 采样与量化 由于混叠的信噪比可以表示为 信号功率： 噪声功率： 第三章 采样与量化 第三章 采样与量化 我们利用PSD是频率的偶函数这一事实。信 号功率可以通过在仿真带宽 内， 对 的n=0项作积分确定。混叠噪声的 功率是落在仿真带宽内的所有频率平移项 (n 0)的功率总和， 因此 第三章 采样与量化 矩形脉冲波形的信号混叠噪声比 第三章 采样与量化 注意到，对每个符号进行M10个采样的情况，(SNR)a 的值稍稍小于17dB而且(SNR)a的值随m的增加而增大。 然而，随着m的增加，它对 (SNR)a的影响减小。同时注 意到，对矩形成形脉冲，采样后信号的PSD以1f2减小。 对于三角成形脉冲，采样信号的PSD以1f4 减小。因此， 对于给定的m，三角成形脉冲的(SNR)a比矩形成形脉冲的 要大，矩