2008--2009(15)数列(数列的综合应用)

1、高中数学第一轮复习学案 数 列第05讲 数列的综合问题（一）由数列的递推关系式求通项公式的常用方法广东高考考试大纲说明的具体要求：能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系与等比关系，并能用有关知识解决相应的问题【典型例题分析】（一）不完全归纳法：先求出数列的前几项，通过分析各项与项数的函数关系，归纳、猜想出数列的通项公式的方法。若为解答题，需再用数学归纳法给出严格的证明。例1.（2002全国理）设数列满足，（）当时，求，并由此猜想出的一个通项公式；（二）连续代入法：将前面的项的表达式整体代入递推关系式，写出后项的表达式（不要进行计算或化简），从中发现规律，猜想出的“表达式”，然后化简（求和）得

2、通项公式。例2. (2008四川文) 设数列中，则通项 _ .（三）迭加法：推导等差数列通项公式时使用的一种数学方法。 例3.(2003天津文、全国文)已知数列 （）求 （）证明小结：形如的形式的，要求an的通项公式，一般都用迭加法。（四）构造法：利用待定系数法、换元法等基本的数学方法，将已知递推关系式变形，构造出等差数列或等比数列等特殊的数列，从而求出数列的通项公式。例4.(2006福建理)已知数列a满足a=1,a=2a+1(nN)（）求数列a的通项公式；例5.（据2006江西理改编）已知数列an满足：a1，且an(1) 求数列an的通项公式；小结：几种常见的构造类型1. 已知a=q a+d

3、 （q1），可构造等比数列，变为a+=q(a+)的形式，其中。2. 已知 (),可构成等差数列,变为的形式。3. 已知 (),可构成等比数列,变为a+=q(a+)的形式。4. 已知 ,可构成等比数列,变为a+=k (a+)的形式。 基础训练1(2008江西文、理)在数列中，则（ ）A B C D2.（2006重庆理）在数列an中，若a1=1,an+1=2an+3 (n1),则该数列的通项an=_.3已知数列中，已知a1=1,，求数列的通项公式。4（2008安徽文）设数列满足其中为实数，且.()求数列的通项公式;5.(2008陕西理)已知数列的首项,.()求的通项公式;6(2008全国卷文)在数

4、列中，（）设证明：数列是等差数列； （）求数列的前项和7（2007辽宁文）已知数列，满足，且（）（I）令，求数列的通项公式； （II）求数列的通项公式及前项和公式8（2004全国卷理）已知数列的前项和满足.（1）写出数列的前三项； （2）求数列的通项公式；9. (2008福建文) 已知是整数组成的数列，且点在函数的图像上： （1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求证：10.（2007全国理）设数列an的首项a1 (0,1), an=，n=2,3,4（1）求an的通项公式；11(2008天津文)已知数列中，且（）设，证明是等比数列； （）求数列的通项公式；12. (2008广东文)设数列满足

5、（n=3,4,）,数列满足是非零整数,且对任意的正整数m 和自然数k，都有。 (1)求数列和的通项公式；第06讲 数列的综合问题（二）数列的求和 数列的综合应用一、an与Sn的关系式的应用：例1.(2006四川文)数列前n项和记为.()求的的通项公式； 例2（2004全国卷理）数列的前n项和记为Sn，已知证明：（）数列是等比数列； （）【基础训练一】1、（2006上海文）设数列的前项和为，且对任意正整数，。（1）求数列的通项公式； 2. (据2008山东文、理改编) 在数列中，为数列的前项和，且满足 （）证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；3.（2005北京文）数列an的前n项和为Sn，且

6、a1=1，n=1，2，3，求 （I）a2，a3，a4的值及数列an的通项公式； 4（2007重庆文、理）已知各项均为正数的数列的前n项和满足，且 （1）求的通项公式；5(2008全国卷理)设数列的前项和为已知，（）设，求数列的通项公式； （）若，求的取值范围二、数列的求和：常用方法有公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法。例1.（2006安徽文）在等差数列中，前项和满足条件， （）求数列的通项公式；（）记，求数列的前项和。例2.(2006湖北文)设数列的前n项和为,点均在函数y3x2的图像上.（）求数列的通项公式；()设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m.【基

7、础训练二】1.若数列的通项公式是，则它的前n项和Sn=_.2.若数列的通项公式是，则它的前n项和Sn=_.3.（2003北京理）已知数列是等差数列，且 （）求数列的通项公式； （）令求数列前n项和的公式.4.（2007天津文） 在数列中，（）证明数列是等比数列； （）求数列的前项和；（）证明不等式，对任意皆成立5（2005山东文）已知数列的首项前项和为，且（I）证明数列是等比数列；（II）令，求函数在点处的导数第07讲 数列的实际应用广东高考考试大纲说明的具体要求：能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系与等比关系，并能用有关知识解决相应的问题【典型例题分析】例1（2004福建文、理）某企业2

8、003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降。若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+)万元（n为正整数）。（）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；（）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？例2.某学校在高中二年级每周开设A,B两种选修课各一节，要

9、求全年级所有500名学生每人每周必选且只选其中的一种选修。调查资料表明,第一周选修A课程的人数比选修B课程的人数多128人，以后凡是在本周选A课程的人,下周会有25% 改选B课程;而本周选B课程的人,下星期会有25% 改选A课程.用分别表示在第周选A课程的人数和选B课程的人数. 设到第K周选修A课程的人数为整数且达到最小值，则从第K+1周起所有学生固定选修科目，不再进行科目调整。 （）求证数列an-bn为等比数列； () 求数列an 的通项公式和K的值；() 在前K周内参加A课程选修的共有多少人次？【巩固练习】1.(2007安徽文、理) 某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备

10、金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1r）n1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1r）n2，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.（）写出Tn与Tn1（n2）的递推关系式；（）求证：TnAnBn，其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列.2.在平面直角坐标系中,已知An(n,an)、Bn(n,bn)、Cn(n-1,0)(nN*)，满足向量与向量共线，

11、且点An(n,an) (nN*)都在斜率为2的同一条直线l上. 若a1=-3，b1=10.(1)求数列an与 bn 的通项公式；(2)求当n取何值时AnBnCn的面积Sn最小，并求出Sn的这个最小值。3.(2005上海文、理)假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房。预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%。另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米。那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价层的累计面积 (以2004年为累计的第一年) 将首次不少于4780万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的

12、比例首次大于85%？4.为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右图所示；由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数从左到右依次是等比数列的前四项，后6组的频数从左到右依次是等差数列的前六项.(1)求数列和bn的通项公式;(2)求视力不小于5.0的学生人数;(3)设,求数列的通项公式5. (2001全国理)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少. 本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上

13、年增加. ()设n年内（本年度为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元. 写出的表达式；()至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?6. 已知函数f(x)=lnx的图像是曲线. 是曲线上的一系列点,曲线C在点处的切线与轴交于点。若数列是公差为2的等差数列，且。 （）分别求出数列与数列的通项公式；（）设O为坐标原点，Sn表示OAnBn的面积，求数列Sn的前n项和Tn。第05讲 数列的综合问题（一）由数列的递推关系式求通项公式的常用方法（参考答案）【典型例题分析】例1解（I）由，得由，得由，得由此猜想的一个通项公式：（）例2【解】：由，得，且， 故应填；例3.解：（）（）由，得，所以，以上n个

14、式子相加，得=例4 . 解：an+1=2 an+1（nN）, an+1+1=2(an+1),| an+1| 是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列.an+1=2n， 既an=2n1(nN)。例5. 解：由，变形，得 所以数列为等差数列，且首项为，公差为2，所以，故.基础训练1A 2. _2n+1-3_.3解：由变形，得，所以数列是公差为2的等差数列，又首项为，所以数列的通项公式是.4解 (1) 当时，是首项为，公比为的等比数列. ，即 . 当时，仍满足上式. 数列的通项公式为 。5.解：（），又，是以为首项，为公比的等比数列，6解：（1），则为等差数列，（2）两式相减，得 7（）解：由题设

15、得，即,所以数列是公差为2，首项为的等差数列，（）解：由题设得，令，则.易知d是首项，公比为的等比数列，通项公式为d.由于解得a.求和得.8解：（）解：由由由（）解：当时，有 所以 经验证a1也满足上式，所以 9. 解：（1）由已知得：， 所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列；即（2）由（1）知所以：10. 解：（1）由整理得又，所以是首项为，公比为的等比数列，得，所以11解：（）证明：由题设，得，即又，所以是首项为1，公比为的等比数列（）解：由（）得，将以上各式相加，得所以当时，上式对显然成立12.解：（1）由得又，所以数列是以1为首项，公比为的等比数列，而；由 得由，得，同理可得当为偶

16、数时，；当为奇数时，因此第06讲 数列的综合问题（二）数列的求和 数列的综合应用（参考答案）一、an与Sn的关系式的应用：例1.解:（）由可得，两式相减得又 故是首项为，公比为得等比数列，所以例2解：（I）由an+1=Sn(n=1,2,3，)，又an+1=Sn+1-Sn(n=1,2,3，),知Sn+1-Sn=Sn(n=1,2,3，)，nSn+1=2(n+1)Sn, (n=1,2,3，). 又a1=1, 知,故数列是首项为1，公比为2的等比数列。（II）由（I）知，于是Sn+1=4(n+1)=4an(n)又a2=3S1=3,则S2=a1+a2=4=4a1,因此对于任意正整数n1都有Sn+1=4a

17、n.【基础训练一】1解(1) an+ Sn=4096, a1+ S1=4096, a1 =2048. 当n2时, an= SnSn1=(4096an)(4096an1)= an1an =，故数列是首项为2048，公比为的等比数列，其通项公式为 an=2048()n1=.2（）证明：由已知，当时，又，（）所以，即，所以，（），又所以数列是首项为1，公差为的等差数列故 ，即所以当时，因此3.【解】（I）由a1=1，n=1，2，3，得，由（n2），得（n2），又a2=，所以an=(n2), 数列an的通项公式为；4（）解：由，解得a11或a12，由假设a1S11，因此a12。又由an+1Sn+1-

18、Sn，整理，得，所以 an+1- an-30或an+1-an因an0，故an+1-an不成立，舍去。因此an+1- an-30。从而an是公差为3，首项为2的等差数列，故an的通项为an3n-2。5解：（）依题意，即，由此得 因此，所求通项公式为，（）由知，于是，当时，=，当时 又综上，所求的的取值范围是 二、数列的求和：常用方法有公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法。例1. 解：（）设等差数列的公差为,由得，又，解得，即，所以。（）由，得。所以，当时，；当时，故.例2. 解：（I）依题意得，即。当n2时， ;当n=1时，3-21=1=61-5所以。（II）由（I）得，故=。

19、因此，使得成立的m必须满足，即m10,故满足要求的最小整数m为10。【基础训练二】1. ； 2。 3.解：（）设数列公差为，则 又 所以（）令则由得 当时，式减去式，得 所以当时, 综上可得当时, 所以，4. 解：（）证明：由题设，得，又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列（）解：由（）可知，于是数列的通项公式为所以数列的前项和（）证明：对任意的，所以不等式，对任意皆成立5解：由已知，可得，两式相减得，即从而当时,，所以又所以，从而故总有，又，从而,即数列是以为首项，2为公比的等比数列；（II）由（I）知因为所以从而=-=.第07讲 数列的实际应用(参考答案)【典型例题分析】例1解：()依题

20、设，An=490n10n2；Bn=500(1+)+(1+)+(1+)600=500n100.() BnAn=(500n100)(490n10n2)=10n2+10n100=10n(n+1)10.设函数f(x)=x(x+1) 10, x（0，+），因为当x0时，,所以f(x)在(0，+)上为单调递增函数， 当1n3时，n(n+1) 1012100. 仅当n4时，BnAn.答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.例2.解：()依题意得，解得，又 ， ，- 得,所以数列an-bn是首项为128，公比为的等比数列.() 由() 得 , 又 联立、消去得：.显然

21、an 是递减数列，要使an的值为整数且最小，只需n=7，所以K=7。从第8周起所有学生固定选修科目，不再进行课目调整，前7周内参加A课程选修的总人次数为=1850+27-1=1877（人次）【巩固练习】1.解：（）我们有（） 在式两端同乘1+r，得 -，得 即如果记 则其中2.解：(1)点An(n,an) (nN*)都在斜率为2的同一条直线上，=2，即an+1-an=2,于是数列an是公差为2的等差数列，又a1=-3，故an= -3+2(n-1)=2n-5.共线.1(-an)-(-1)(bn+1 - bn )=0,即bn+1-bn=an 当n2时，bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+

22、+(bn-bn-1)=b1+a1+a2+a3+an-1=10+ (n-1)(n-5)=n2-6n+15当n=1时，上式也成立.。 所以bn= n2-6n+15(2) 显然，直线AnBnx轴，点Cn到直线AnBn的距离等于1.所以Sn=当n=4时，Sn取最小值，Sn的最小值为2.3. 解(1)设中低价房面积形成数列an,由题意可知an是等差数列, 其中a1=250,d=50,则Sn=250n+=25n2+225n, 令25n2+225n4750,即n2+9n-1900,而n是正整数, n10.到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.(2)设新建住房面积形成数列bn,由题意可知bn是等比数列,其中b1=400,q=1.08,则bn=400(1.08)n-1. 由题意可知an0.85