学案2命题及其关系、充分条件与必要条件

1、学案2命题及其关系、充分条件与必要条件 导学目标： 1能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系 2理解必要条件、充分条件与充要条件的含义. 课前准备里 回扣戟封夯宴基硼 【自主梳理】 1 .命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫 做真命题，判断为假的语句叫做假命题. 2. 四种命题及其关系 （1）四种命题 一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p和q的否定, 于是四种命题的形式就是 原命题：若p则q（p? q）; 逆命题：若 q贝U p（q? p）; 否命题：若綈 p则綈q（綈p?綈q）; 逆否命题

2、：若綈 q则綈 p（綈 q? 綈 p）. （2）四种命题间的关系 （3）四种命题的真假性 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性. 两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系. 3. 充分条件与必要条件 若p? q,贝U p叫做q的充分条件；若 q? p，则p叫做q的必要条件；如果 p? q，则p 叫做q的充要条件. 自我检测】 1 . （2017湖南）下列命题中的假命题是（） A . ?x R, lg x= 0 3 C . ? x R , x 0 答案 C 解析对于C选项，当x= 0时， 2. （2017 陕西）a0”是 a|0 的（ A .充分不必要条件 C.充要条件 答案 A 解析

3、 a0? |a|0, |a|0= a0, B . ? x R, tan x= 1 x D . ? x R,2 0 03= 0，因此? x R , x30是假命题. ） B .必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 a0”是|a|0的充分不必要条件. 3. （2017 浙江）x0”是“xm 0”的（） A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 对于x0”？ “xm 0”，反之不一定成立，因此x0”是“xm 0”的充分而不必要 条件. 4 .若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s,则s是p的逆命题t的（） A .逆否命题B .

4、逆命题 C .否命题D .原命题 答案 C 解析 由四种命题逆否关系知，s是p的逆命题t的否命题. 5. （2017宜昌模拟）与命题“若a M，贝U b M”等价的命题是（） A . 若 a -一 M，贝U b M B . 若 b T M，贝U a M C .若 aM，贝U b M D . 若 b M，贝U a M 答案 D 解析因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可. 甕破考点研析热点 探究点一四种命题及其相互关系 【例1】写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假. （1）实数的平方是非负数； （2）等底等高的两个三角形是全等三角形； （3）弦的垂直平

5、分线经过圆心，并平分弦所对的弧. 解题导引给出一个命题，判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，如果直接判 断命题本身的真假比较困难，则可以通过判断它的等价命题的真假来确定. 解（1）逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数.真命题. 否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数.真命题. 逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数.真命题. （2）逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高.真命题. 否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等.真命题. 逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高.假命题. （3）逆命题：若一条直线经过圆

6、心， 且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线.真 命题. 否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧.真 命题. 逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分 线.真命题. 变式迁移1有下列四个命题： “若x + y= 0，则x, y互为相反数”的逆命题； “全等三角形的面积相等”的否命题； “若q 0,所以x2 + 2x+ q= 0有实根，其 逆否命题与原命题是等价命题，真； 的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假. 探究点二充要条件的判断 【例2 给出下列命题，试分别指出p是q的什么条件. p： x 2 =

7、 0; q： (x 2)(x 3) = 0. (2) p :两个三角形相似；q：两个三角形全等. (3) p： m 2; q：方程 x2 x m= 0 无实根. (4) p： 个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等. 解 (1) / x 2= 0? (x 2)(x 3) = 0; 而(x 2)(x 3) = 0 x 2 = 0. p是q的充分不必要条件. (2) 两个三角形相似两个三角形全等； 但两个三角形全等？两个三角形相似. p是q的必要不充分条件. (3) / m 2?方程 x x m= 0 无实根； 方程 x x m= 0无实根 -m 2. p是q的充分不必要条件. (4) 矩形的对角

8、线相等， p? q； 而对角线相等的四边形不一定是矩形， p是q的充分不必要条件. 变式迁移2 (2017邯郸月考)下列各小题中，p是q的充要条件的是() p: m6 ； q: y = x2+ mx+ m+ 3有两个不同的零点； p: f一x = 1 ； q： y= f(x)是偶函数； f(x) p: cos a= cos 3； q: tan a= tan 3； p: A A B = A； q： ?uB? uA. A . B . C . D . 答案 D 解析 q： y= x2 + mx + m+ 3 有两个不同的零点 ？ q： = m2 4(m+ 3)0? q: m6? p;当f(x) =

9、0时，由q护p;若a, 3= kn+才，k Z时，显然cos a= cos 3,但 tan a tan 3; p: AA B= A? p： A? B? q： ?uA? uB.故符合题意. 探究点三充要条件的证明 【例3】 设a, b, c ABC的三边，求证：方程 x2 + 2ax+ b2= 0与x2 + 2cx b2= 0有公 共根的充要条件是/ A= 90 解题导引有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件” ？ “结论”是证明命题的充分性，由“结论” ？ “条件”是证明命题的必要性证明要分两个 环节：一是充分性；二是必要性. 证明必要性：设方程 x2 + 2ax+ b

10、2= 0与x2 + 2cx b2= 0有公共根x。， 贝V x+ 2ax+ b = 0， x + 2cx b = 0， 两式相减可得x0= b ，将此式代入 x0 + 2ax+ b?= 0， c a 可得 b2 + c2= a2,故/ A = 90 (2)充分性：A= 90 b2+ c2= a2, b2= a2 c2. 将代入方程 x2+ 2ax+ b2= 0, 可得 x2 + 2ax+ a2 c2 = 0, 即(x+ a c)(x+ a + c) = 0. 将代入方程 x2+ 2cx b2= 0, 可得 x2+ 2cx+ c2 a2= 0,即(x + c a)(x+ c+ a)= 0. 故两

11、方程有公共根 x= (a + c). 所以方程x2 + 2ax+ b2= 0与x2 + 2cx b2= 0有公共根的充要条件是/A= 90 变式迁移3 已知abz 0,求证：a+ b= 1的充要条件是 a3+ b3 + ab a2 b2= 0. 证明必要性：I a+ b= 1 , a + b 1 = 0. a3+ b3 + ab a2 b2 =(a+ b)(a2 ab+ b2) (a2 ab+ b2) =(a+ b 1)(a2 ab+ b2)= 0. (2)充分性： / a3+ b3 + ab a2 b2 = 0, 即(a+ b 1)(a? ab+ b?)= 0. 又ab z 0，a工0且b工

12、0. a2 ab+ b2= (a b)2+ 40. - a + b 1 = 0，即卩 a+ b= 1. 综上可知，当 abz 0时，a + b= 1的充要条件是a3+ b3 + ab a2 b2= 0. 转化与化归思想的应用 【例】(12分)已知两个关于x的一兀二次方程 mx2 4x + 4= 0 和 x2 4mx + 4m2 4m 5 = 0，且m乙求两方程的根都是整数的充要条件. 【答题模板】 解 / mx2 4x+ 4= 0是一元二次方程， mz0.2 分 另一方程为x2 4mx+ 4m24m 5= 0,两方程都要有实根， A1 = 16(1 m0, 在 ABC 中，若 sin A= s

13、in B, 则A= B;在一元二次方程 ax2 + bx + c= 0中，若b2 4ac0,则方程有实数根.其中原命 题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是（） A .B .C.D . 答案 C 解析 对命题，其原命题和逆否命题为真，但逆命题和否命题为假；对命题，其原 命题和逆否命题为假，但逆命题和否命题为真；对命题，其原命题、逆命题、否命题、逆 否命题全部为真；对命题，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为假. nq 2. （2017 浙江）设 0 x2,则 “sin2x1 ”是 “sin x1 ”的（） A .充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充

14、分也不必要条件 答案 B n 解析 / 0 x2，- 0sin x1. xsin x1 ? xsin2x1，而 xsin2x1 于 xsin x1. 故选B. n 1 3. （2017 北京）“a= 6+ 2也约 Z）”是“ cos 2 a=才的（） A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由a= 2knK Z）可得到cos 2 a=1 6 2 由 cos 2 a= 2得 2 a= 2k n k Z）. 23 所以 cos 2 a= 不一定得到 a= 2k n k Z）. 2 6 4. （2017威海模拟）关于命题“若抛物

15、线y= ax2 + bx+ c的开口向下，贝V x|ax2+ bx + A .都真 C.否命题真 c0工？”的逆命题、否命题、逆否命题，下列结论成立的是（） B .都假 D .逆否命题真 答案 D 解析 本题考查四种命题之间的关系及真假判断. 对于原命题：“若抛物线y= ax2 + bx+ c的开口向下，贝U x|ax2 + bx+ c0丰?，这是 一个真命题，所以其逆否命题也为真命题，但其逆命题：“若x|ax2 + bx+ c0丰?，则抛物 线y= ax2 + bx+ c的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2 + bx+ c0，即抛物线的开口可以向上.因此否命题也是假命题. 5. (2

16、017 枣庄模拟)集合 A= x|XS 4, x R, B = x|x5 ”的() A .充分不必要条件B .必要不充分条件 C.充要条件D .既不充分也不必要条件 答案 B 解析 A = x| 4 w x4, a4J a5，但 a5? a4.故选 B. 二、填空题(每小题4分，共12分) 6. “ xi0 且 X20”是“ xi + X20 且 xix20 ”的条件. 答案充要 7. (2017 惠州模拟)已知 p： (x 1)(y 2) = 0, q： (x 1)2 + (y 2)2= 0,贝V p 是 q 的 条件. 答案必要不充分 解析 由(x 1)(y 2) = 0 得 x= 1 或

17、 y= 2，由(x 1)2+ (y 2)2 = 0 得 x= 1 且 y = 2,所 以由q能推出p，由p推不出q,所以填必要不充分条件. 又因为p(2)是真命题，所以4+ 4 m0, 解得m8.故实数m的取值范围是3 m8. 三、解答题(共 38分) 9. (12分)(2017许昌月考)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它 们的真假. 2 (1) 若q1，则方程x + 2x+ q = 0有实根； (2) 若 ab = 0,则 a= 0或 b= 0; 若x + y2 = 0，则x、y全为零. 解(1)逆命题：若方程x2 + 2x+ q = 0有实根，则q1，为假命题. 否命题：

18、若q1，则方程x2+ 2x+ q = 0无实根，为假命题. 逆否命题：若方程 x2 + 2x+ q = 0无实根，则q1,为真命题.(4分) 逆命题：若a = 0或b = 0,贝U ab= 0，为真命题. 否命题：若abz 0,贝U 0且b丰0,为真命题. 逆否命题：若 az 0且bz 0，贝y abz 0，为真命题.(8分) 逆命题：若x、y全为零，则x2 + y2= 0,为真命题. 否命题：若x2 + y2z 0,则x、y不全为零，为真命题. 逆否命题：若x、y不全为零，则x2 + y2z 0,为真命题.(12分) 10. (12 分)设 p：实数 x 满足 x2 4ax+ 3a20，其中 a0 ；q :实数 x 满足 x2 x 60,且綈p是綈q的必要不充分条件，求a的取值范围. 解 设 A = x|p = x|x2 4ax+ 3a20 , a0 = x|3axa, a0 = x|x2 x 60 =x| 2w xW 3 U xx2 =x|x 4 或 X一2 . (4