理论力学-动力学：d-ch5 Lagrange方程C

1、5-45-4、哈密顿方程、哈密顿方程 5-45-4、哈密顿方程简介、哈密顿方程简介 ), 2 , 1( , ), 2 , 1( , kj q H p kj p H q j j j j 第二类第二类LagrangeLagrange方程习题课方程习题课 2021-5-41 5-45-4、哈密顿方程、哈密顿方程 一、主动力为有势力系统的拉格朗日方程一、主动力为有势力系统的拉格朗日方程 设：设：LT-V （拉格朗日函数）（拉格朗日函数）), 2 , 1(, 0 d d kj q L q L t jj 拉格朗日方程是关于广义坐标的二阶微分方程组拉格朗日方程是关于广义坐标的二阶微分方程组 x A B gm

2、 gm 0sin 2 1 cos 2 1 2 5 2 mLmLxm 0sin 2 1 3 1 cos 2 1 2 mgLmLxmL 非线性常微分方程组通常用数值方法求解非线性常微分方程组通常用数值方法求解 将二阶微分方程组降阶成一阶微分方程组将二阶微分方程组降阶成一阶微分方程组 便于数值计算且可提高计算精度。便于数值计算且可提高计算精度。 2021-5-42 5-45-4、哈密顿方程、哈密顿方程 二、哈密顿方程简介二、哈密顿方程简介 ), 2 , 1( , ), 2 , 1( , kj q H p kj p H q j j j j 对于具有理想约束的质点系，其主动力为有势力，若设：对于具有理想

3、约束的质点系，其主动力为有势力，若设： 11 1 ,(1,2, ), (, ) j j k jjkk j T pjk q Hp qLH pp qq t 哈密顿方程是关于广义坐标和广义动量的一阶微分方程组。哈密顿方程是关于广义坐标和广义动量的一阶微分方程组。 则系统的则系统的Hamilton方程为：方程为： 2021-5-43 5-45-4、哈密顿方程、哈密顿方程 对于对于定常约束定常约束的质点系，若主动力为有势力，则哈密顿函数的质点系，若主动力为有势力，则哈密顿函数 H就是系统的动能与势能之和，即：就是系统的动能与势能之和，即： 2 HTV 哈密顿方程为数值计算提供了很好的微分哈密顿方程为数值

4、计算提供了很好的微分-代数结构，在此代数结构，在此 基础上建立的基础上建立的辛算法辛算法可保持长期数值计算的稳定性。可保持长期数值计算的稳定性。 20 TTV 2 HTV 1 ,(1,2, ), k jjj jj T pjkHp qL q 1 k j jj T HqL q 21210 2()TTTTTV 210 1 () k j jj TTT qL q 对于对于定常约束定常约束的质点系，有：的质点系，有： 0 0T 2021-5-44 5-45-4、哈密顿方程、哈密顿方程 mgzppp m H zyx 2 1 222 m p z m p y m p x z y x , 例：例：求自由质点在重力

5、作用下的哈密顿函数和哈密顿方程求自由质点在重力作用下的哈密顿函数和哈密顿方程 x y z gm 1、系统的广义坐标：、系统的广义坐标：zyx, 2、系统的动能、系统的动能)( 2 1 222 zyxmT zmp ymp xmp z y x 系统的哈密顿函数系统的哈密顿函数 H=T+V )3 , 2 , 1(, j q T p j j ), 2 , 1( , ), 2 , 1( , kj q H p kj p H q j j j j mgppp zyx , 0, 0 mgzmymxm , 0, 0 2021-5-45 5-45-4、哈密顿方程、哈密顿方程 例：例：图示机构在铅垂面内运动，均质杆图

6、示机构在铅垂面内运动，均质杆AB用光滑铰链与滑块连接。杆与用光滑铰链与滑块连接。杆与 滑块用刚度系数为滑块用刚度系数为k1的扭簧连接的扭簧连接时扭簧无变形时扭簧无变形求系统哈密顿方求系统哈密顿方 程（用矩阵形式给出）。程（用矩阵形式给出）。AB2L x g 1 m g 2 m A B 0 l k , T xq x LmLm Lmmm xT 2 2 3 4 2 221 cos cos , 2 1 22 22 2 21 3 2 cos)( 2 1 LmLxmxmmT 2 1 2 2 )( 2 1 2 1 )cos1 (kkxgLmV , T xq 2 2 3 4 2 221 cos cos LmL

7、m Lmmm M qMq T 2 1 T M是正定对称矩阵，是广义坐标的函数是正定对称矩阵，是广义坐标的函数 2021-5-46 5-45-4、哈密顿方程、哈密顿方程 qMpqMq T 2 1 T q p T )2 , 1(, j q T p j j pMp 1T 2 1 VTH q fA 2 1 p fpMq V T 1 1 1 系统的哈密顿函数系统的哈密顿函数 H=T+V ), 2 , 1( , ), 2 , 1( , kj q H p kj p H q j j j j 2 1 2 2 )( 2 1 2 1 )cos1 (kkxgLm q M q M q M A k qqq 21 用矩阵形

8、式描述方程，便于并行计算，可提高计算速度。用矩阵形式描述方程，便于并行计算，可提高计算速度。 2021-5-47 5-45-4、哈密顿方程、哈密顿方程 x g 1 m g 2 m A B 0 l k 0102030405060708090 100 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 s/ t 050100150200250300 -1 0 1 2 3 4 5 6 m/)(tx rad/)(t摆杆的运动摆杆的运动 滑块的运动滑块的运动 现象：现象：不同的初始条件，系不同的初始条件，系 统的动力学行为不同。统的动力学行为不同。 算例的数值仿真结果算例的数值仿真结果 2021-5-48 5

9、-45-4、哈密顿方程、哈密顿方程 0 0.10.1 3.2 0.4 m/x rad/ 不稳定区域不稳定区域 2021-5-49 5-45-4、哈密顿方程、哈密顿方程 问题：问题： 研究保守系统动力学方程长期数值计算的稳定性有什么意义？研究保守系统动力学方程长期数值计算的稳定性有什么意义？ 研究太阳系中行星的轨道动力学问题属于保守系统的动力学问题研究太阳系中行星的轨道动力学问题属于保守系统的动力学问题 2021-5-410 地球太平吗？地球太平吗？ 地球并不太平。天文学家们经过观测发现，在火星的外侧和木星的内侧地球并不太平。天文学家们经过观测发现，在火星的外侧和木星的内侧 有一个由有一个由数目

10、众多的小行星数目众多的小行星构成的小行星带。构成的小行星带。 它们一般都是按照正常轨道运行，但是总会有小行星进入近地轨道，给它们一般都是按照正常轨道运行，但是总会有小行星进入近地轨道，给 地球带来威胁。地球带来威胁。1989年年曾有一颗小行星与地球擦肩而过，引起人们一阵紧张。曾有一颗小行星与地球擦肩而过，引起人们一阵紧张。 2021-5-411 地球太平吗？地球太平吗？ 当时国外科学家曾预当时国外科学家曾预 测：测：2014年或年或2017年，地年，地 球有可能遭到小行星的撞球有可能遭到小行星的撞 击。击。 2021-5-412 彗星撞击木星的彗星撞击木星的“预测预测” 19941994年年7

11、 7月月1616日至日至2222日，一日，一 颗命名为苏梅克颗命名为苏梅克列维列维9 9号的号的 彗星断裂成彗星断裂成2121个碎块（其中个碎块（其中 最大的一块宽约最大的一块宽约4 4公里），以公里），以 60km/s60km/s速度向木星撞去。速度向木星撞去。 “伽利略伽利略”号木星探测器号木星探测器 2021-5-413 木星简介 木星：是太阳系行星中最大的一个星球木星：是太阳系行星中最大的一个星球 半径：半径：71300公里公里，是地球的，是地球的12倍倍； 质量：质量：是地球的是地球的318倍倍，相当于其它，相当于其它8大行星总质量的大行星总质量的2.5倍倍 体积：体积：是地球的是地

12、球的1316倍倍 公转周期：公转周期：约约29.5年年 自转周期：自转周期：10小时小时14分分 2021-5-414 太阳系哈密顿系统 在研究星球的运动轨道时，太阳系可视为哈密顿系统，在研究星球的运动轨道时，太阳系可视为哈密顿系统， 其动力学方程可表示成：其动力学方程可表示成： ), 2 , 1( , ), 2 , 1( , kj q H p kj p H q j j j j 问题：问题：如何精确地计算行星的运动轨迹，准确预测行星位置如何精确地计算行星的运动轨迹，准确预测行星位置? 解决问题的方法：解决问题的方法：提高计算方法提高计算方法精度精度和速度、通过数值仿真预和速度、通过数值仿真预

13、测行星的运动轨迹和位置，从而估计小行星撞击地球的可能性。测行星的运动轨迹和位置，从而估计小行星撞击地球的可能性。 k=3n, n为行星的个数为行星的个数(=9大行星大行星+近百个小行星近百个小行星) 2021-5-415 哈密顿系统的辛算法 冯冯 康康(1920.91993.8) 数学与物理学家、计数学与物理学家、计 算数学家。算数学家。1944年毕业于重庆中央大学物理年毕业于重庆中央大学物理 系。系。19511953年赴前苏联进修。年赴前苏联进修。 曾任中国数学会理事，计算数学分会副曾任中国数学会理事，计算数学分会副 理事长，中国计算机学会副主任等职。理事长，中国计算机学会副主任等职。 19

14、80 年被选为中国科学院学部委员年被选为中国科学院学部委员(数学物理学部数学物理学部 院士院士)。 在拓扑代数、广义函数和计算数学等领在拓扑代数、广义函数和计算数学等领 域取得多方面首创性成就，并对我国计算机域取得多方面首创性成就，并对我国计算机 事业的创建和发展做出了重要贡献。事业的创建和发展做出了重要贡献。 20世纪世纪80 年代，他提出年代，他提出 了哈密顿系统了哈密顿系统 的辛算法。该的辛算法。该 算法可保持长算法可保持长 期数值计算的期数值计算的 稳定性。稳定性。 2021-5-416 例题的数值仿真 对角隐式辛对角隐式辛RK算法算法 显式显式RK算法算法 CPU-time:142s

15、 CPU-time:7737s(变步长) x g 1 m g 2 m A B 0 l k 1994年用当时的年用当时的PIII计算机（主频计算机（主频266M）计算的结果）计算的结果 2021-5-417 预测结果预测结果 20世纪世纪90年代末，中国科学院计算数学研究所，秦孟兆年代末，中国科学院计算数学研究所，秦孟兆 院士领导的课题组，用院士领导的课题组，用Hamiltom系统的辛算法，预测小行系统的辛算法，预测小行 星撞击地球的可能性是：星撞击地球的可能性是： 50年内不会发生年内不会发生 5050年后，即使有小行星年后，即使有小行星 撞击地球的可能性，那时侯撞击地球的可能性，那时侯 人类

16、的科技手段一定能够阻人类的科技手段一定能够阻 止灾难的发生。止灾难的发生。 2021-5-418 习习 题题 课课 第二类第二类LagrangeLagrange方程方程 2021-5-419 第二类拉格朗日方程的总结第二类拉格朗日方程的总结 对于具有对于具有完整理想约束完整理想约束的质点系，若系统的自由度为的质点系，若系统的自由度为k， 则系统的动力学方程为：则系统的动力学方程为： 其中：其中：VTLT：为系统的动能，为系统的动能，V：为系统的势能为系统的势能 d d j jj Q q L q L t ), 1(kj j Q：为对应于广义坐标：为对应于广义坐标 的非有势力的广义力的非有势力的广

17、义力j q 当系统为保守系统时，有：当系统为保守系统时，有： 1：若系统存在循环坐标：若系统存在循环坐标 ，则：，则： qconst. p q T q L 2：若系统的拉格朗日函数不显含时间：若系统的拉格朗日函数不显含时间t，则：，则：const. 02 VTT 2021-5-420 习习 题题 课课 例：例：系统如图所示，已知：系统如图所示，已知： 为弹簧原长。为弹簧原长。 求滑块的拉格朗日方程首次积分。求滑块的拉格朗日方程首次积分。 0 ,const.,lkm 解：解：系统（滑块）的广义坐标为系统（滑块）的广义坐标为q 0 l q k m 2 a 2 1 mvT ),(qqLVTL拉格朗日

18、函数拉格朗日函数 中不显含时间中不显含时间t const. 02 VTT 则则Lagrange方程有方程有广义能量积分广义能量积分 2 2 1 kqV )( 2 1 222 qqm)( 2 1 2 r 2 e vvm Ckqqmqm 2222 2 1 )( 2 1 2 1 -T0为牵连惯性力的势能为牵连惯性力的势能 2 ek mqFFmqkq reC m aFFF 2021-5-421 习习 题题 课课 例：例：系统如图所示，求系统动力学方程；维持系统如图所示，求系统动力学方程；维持AB匀角速匀角速 转动所需的控制力偶转动所需的控制力偶M。已知：已知： 为弹簧原长。为弹簧原长。 0 ,lJkm

19、 z 0 l x k m z J AB M g )( 2 1 2 1 2222 xxmJT z 解：解：系统的广义坐标为系统的广义坐标为, x MQQx , 0 d d x Q x L x L t 0 2 kxmxxm d d Q LL t MxmxmxJ z 2)( 2 当当 时时 xmxM2 2 2 1 kxV 问题：问题：该题还可以用什么方法求解？该题还可以用什么方法求解？ 2021-5-422 习习 题题 课课 例：例：在图示机构中，均质圆盘在地面上纯滚动，均质杆在图示机构中，均质圆盘在地面上纯滚动，均质杆AB用光滑铰链与圆盘用光滑铰链与圆盘 连接。初始时，杆水平，系统静止。求连接。初

20、始时，杆水平，系统静止。求系统在图示位置时系统在图示位置时，杆的，杆的角速度角速度、角角 加速度以及加速度以及A点的速度和加速度点的速度和加速度；。；。AB=L x A B gm gm A v c CA v 2222 2 1 2 1 2 1 2 1 ABCCAAA JmvJmvT 解：解：系统的主动力均为有势力系统的主动力均为有势力 cos 2 1 6 1 4 5 222 LxmmLxm )cos1 (5 . 0LmgV),( x LL CmLxm x T cos 2 1 2 5 cos 2 1 6 1 4 5 222 LxmmLxmELmg)cos1 (5 . 0 ? ? ? ? x x 2

21、021-5-423 习习 题题 课课 CmLxm x T cos 2 1 2 5 cos 2 1 6 1 4 5 222 LxmmLxmELmg)cos1 (5 . 0 mgEC5 . 0, 0 cos 2 cos 20 1 6 1 22 L g 当：当： ,90 0 0, 0 x ) 1 (cos 5 1 Lx sin 2 sincos 10 1 cos 20 1 6 1 2 22 L g 上式对时间求导得：上式对时间求导得： x ）式求代入（ 1 sin 5 1 cos 5 1 2 LLx x （1）式对时间求导：）式对时间求导： 2021-5-424 习习 题题 课课 例：例： 在图示机

22、构中，均质圆盘在地面上纯滚动，均质杆在图示机构中，均质圆盘在地面上纯滚动，均质杆AB用光滑铰链与用光滑铰链与 圆盘连接。图示瞬时系统初速度为零。求该瞬时地面的圆盘连接。图示瞬时系统初速度为零。求该瞬时地面的约束力约束力。AB=L，R x A B gm gm 解：解：系统的主动力均为有势力系统的主动力均为有势力 0sin 2 1 cos 2 1 2 5 2 mLmLxm 0sin 2 1 3 1 cos 2 1 2 mgLmLxmL 0 45 gxg L17 3 , 17 215 0 450 2222 2 1 2 1 2 1 2 1 ABCCAAA JmvJmvT cos 2 1 6 1 4 5

23、 222 LxmmLxm )cos1 (5 . 0LmgV),( x LL 2021-5-425 习习 题题 课课 求地面的法向力求地面的法向力: 研究整体研究整体 gFFaa CA mmm NABA 2 求摩擦力求摩擦力: 研究圆盘研究圆盘 mgFmay NCA 245sin: 0t FRJ AA xR A x A B gm gm 0 45 F N F gxg L17 3 , 17 215 nt CACAA aaaaC t CAA aaaC t CA a A a gFFaaaAmmm NCAAABA 2)( t 0 AB mgF L my N 245sin 2 : 0 F N F 2021-5-426 习习 题题 课课 例：例：系统如图所示，不计质量的绳索绕在均质圆盘上（无相对系统如图所示，不计质量的绳索绕在均质圆盘上（无相对 滑动），另一端悬挂在滑动），另一端悬挂在A点。求系统的运动微分方程。点。求系统的运