概率论与数理统计：4.1 随机变量函数的分布

1、4.1-4.2 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 问题问题：已知随机变量 X 的概率特性 分布 函数 或概率密度（分布律） Y = g ( X ) 求 随机变量Y 的概率特性 方法方法：将与 Y 有关的事件转化成 X 的事件 设随机变量 X 的分布律为 , 2 , 1,)(kpxXP kk 由已知函数 g ( x) 可求出随机变量 Y 的所有 可能取值，则 Y 的概率分布为 , 2 , 1,)( )(: ipyYP ik yxgk ki 离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布 定理1 设一维离散型随机变量 X 的分布律为 , ii pxXP , 2 , 1i 若对于 X , i

2、x 的取值 也不相同， 则随机变量 的分布律为 )(XgY ii yxg)( )(XgY )()()( iii xgXgPyxgYP ii pxXP , 2 , 1i (1)的不同取值 )(xgy 为连续函数,则 )(XgY 为随机变量. * )()()( 21 yxgxgxg k iii 则有 )()( *1* ygXPyXgPyYP k ik xXP k ik xXP (2) 若对于 X 有限个或可列无穷多个不同 的取值, 21 k iii xxx有 例例1 已知 X 的概率分布(分布律)为 X pk -1 0 1 2 2 1 4 1 8 1 8 1 求 Y 1= 2X 1 与 Y 2=

3、X 2 的分布律 解解 Y 1 pi -3 -1 1 3 2 1 4 1 8 1 8 1 Y 2 pi 1 0 1 4 2 1 4 1 8 1 8 1 Y 2 pi 0 1 4 2 1 8 3 8 1 例例2 已知 X 的概率分布为 , 2 , 1 , 0,) 2 (kpqkXP k 其中 p + q = 1, 0 p 0 时， )( 11 )(by a f a yf XY 当a 0 时， )( 1 )(by a XPyF Y )( 1 1by a FX )( 11 )(by a f a yf XY 故 )( 1 | 1 )(by a f a yf XY 例如，设 X N ( ,2) , Y

4、= a X +b, 则 )( 1 | 1 )(by a f a yf XY 22 2 2 )( |2 1 a aby e a y Y N ( a +b, a22 ) 特别地 ，若 X N ( , 2) , ) 1 , 0( N X Y 则 例例4 X 服从指数分布(参数为2), Y = 3X + 2, )(yfY 解解 )2( 3 1 |3| 1 )(yfyf XY 其他, 0 0 3 2 ,2 3 1 3 2 2 y e y 其他, 0 2, 3 2 3 )2(2 ye y 求 一般地 y x1x2x3 y = g(x) x xn y = g(x)不是严格单调函数,利用定理2 证明的方法,可

5、得到 其它, 0 ,| )(|)(| )(|)( )( 2211 Iyyhyhfyhyhf yfY 其中I*是使)( yhi 连续的y集合 例例5 已知 X N (0,1) , Y = X 2 , 求 f Y (y) 从分布函数出发 )()(yYPyF Y y )()( 2 yXPyF Y y yy 当y 0 时， )(yXyP )()(yFyF XX )(yF Y 0, 0y 0),()(yyFyF XX 故 )(yfY 0,0y 0,)()( 2 1 yyfyf y XX )(yfY 0, 0y 0, 2 1 2 2/1 ye y y 例例6 设 X 的概率密度函数为 其他, 0 0, 2

6、 )( 2 x x xf X XYsin 求的概率密度函数 解解 故当 y 0 或 y 1 时 f Y (y) = 0 y x )0(sinxxy 1 0 0.511.522.53 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y 由图可知, Y 的取 值范围为(0,1) y arcsiny - arcsiny 1 x )0(sinxxy 0 0.511.522.53 0.2 0.4 0.6 0.8 1 当0 y 1 时 222 )arcsin(2arcsin2 1 1 )( yy y yfY 2 1 2 y 故 其他, 0 10, 1 2 )( 2 y y yfY 注意注意：连续型随机变量的函数的分布函数 不一定是连续函数 例如例如：X U (0,2) 其他,0 20, 2 1 )( x xf X 1 10 0 , 1 , , 0 )( x x x xxg 令 Y = g ( X ) x y 1