2018年福建省福州市高考数学一模试卷(文科)

1、2018 年福建省福州市高考数学一模试卷（文科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0 分）1.已知集合 A= x|x=2k+1 ，kZ ，B= x|-1 x，则集合 AB 中元素的个数为 （）A. 1B. 2C.3D.42.已知复数 z=，则 z 的虚部是（）A. -B. -C.D.3.若 ， 满足约束条件则的最小值为（）A.B.C.2D.64.已知单位向量， 的夹角为，则?（ +2 ）=（）A.B. 1+C.2D.1+5.已知等差数列 an2， a4， a7 成等比数列，则 an（） 的公差为1，且 a=A. 2n+1B. 2n+2C. n+1D. n+26.

2、 如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.7. “ b（ -1，3）”是“对于任意实数 k，直线 l：y=kx+b 与圆 C：x2+（ y-1）2 =4 恒有公共点”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件第1页，共 18页8. 如图程序框图是为了求出满足1+ + 1000 的最大正整数 n 的值，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A. “ S1000”和“输出 i -1”B. “ S 1000”和“输出 i -2”C. “ S 1000”和“输出 i -1”D. “ S 1

3、000”和“输出 i -2”9. 过抛物线 C： y2=2 px（ p0）的焦点 F 的直线交 C 于 A，B 两点，若 |AF|=3|BF|=3，则 p=（）A.3B.2C.D.110. 九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著， 书中将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑 已知四面体 ABCD 为鳖臑， AB 平面 BCD，AB =BD =CD=2，且该鳖臑的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（）A. 3B. 2C. 4D. 1211. 设函数 f（ x）=，则满足 f （ x2-2） f （ x）的 x 的取值范围是 （）A.C.（ -， -1） （ 2， +）（ -，

4、- ） （ 2， +）B.D.（ -， - ）（ ，+）（ -， -1） （ ， +）12. 在首项都为 3 的数列 an ， bn 中，an+1-an=3，b2=9，bn+1-bn 23n+ ，bn +2-bn 83n-1，且 bnZ，则数列 an+bn 的前 50项的和为（）A.B. 350+3825C.D. 351+3825二、填空题（本大题共4 小题，共 20.0分）13.函数 f （ x） =cos（ x+ ） +cos（ x- ）的最大值为 _14. 如图，在菱形 ABCD 中， AB=2， ABC=60 ，以该菱形的 4 个顶点为圆心的扇形的半径都为1若在菱形内随机取一点，则该点

5、取自黑色部分的概率是_15. 已知函数 f（ x）对任意的 xR 都满足 f（ x）+f （ -x）=0，f（ x+ ）为偶函数， 当 0 x时，（fx）=-x，则 （f2017）+f（ 2018） =_16. 已知 F 是双曲线 C： - =1（a 0，b 0）的右焦点， A 是 C 的虚轴的一个端点 若C 的左支上存在一点P，使得 |PA |+|PF| ,4 a，则 C 的离心率的取值范围为_三、解答题（本大题共7 小题，共82.0 分）第2页，共 18页17. ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 c（sinC-sinB）=（ a-b）（ sinA+sin B）（ 1）

6、求 A；（ 2）若 BC 边上的高h=， b=，求 ABC 的面积18. 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， ABC 为正三角形，AB=AA1 ，点 D 在棱 BC 上，且 CD =3BD，点 E， F分别为棱 AB， BB1 的中点（ 1）证明： DE 平面 BCC1B1；（ 2）若 AB=4 ，求点 C1 与平面 DEF 的距离19. 某技术公司新开发一种产品，分别由A， B 两条生产线生产为了检测该产品的某项质量指标值 （记为 Z），现随机抽取这两条生产线的产品各100 件，由检测结果得到如下频率分布直方图：（ 1）该公司规定： 当 Z76时，产品为正品； 当 Z 76 时，产品为次

7、品 试估计 A， B 两条生产线生产的产品正品率分别是多少？（ 2）分别估计A，B 两条生产线的产品质量指标值的平均数（同一组数据中的数据用 该组区间的中点值作代表），从平均数结果看，哪条生产线的质量指标值更好？（ 3）根据（ 2）的结果，能否认为该公司生产的产品符合“质量指标值不低于84的产品至少要占全部产品40% ”的规定？第3页，共 18页20.21.在 MAB 中，点 A（ -1，0）， B（1， 0），且它的周长为 6，记点 M 的轨迹为曲线E（ 1）求 E 的方程；（ 2）设点 D（ -2， 0），过点 B 的直线与 E 交于不同的两点 P、 Q， PDQ 是否可能为直角，并说明理

8、由已知函数f（ x） =（ex-1）（ x-a）+ax（ 1）当 a=1 时，求 f（ x）在 x=1 处的切线方程；（ 2）若当 x0 时， f（ x） 0，求 a 的取值范围22. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为cos（ - ） =2已知点Q 为曲线 C1 的动点，点P 在线段OQ 上，且满足 |OQ|?|OP |=4，动点 P 的轨迹为 C2（ 1）求 C2 的直角坐标方程；（ 2）设点 A 的极坐标为（ 2， ），点 B 在曲线 C2 上，求 AOB 面积的最大值23. 已知函数 f（ x） =x2-|x|+1（

9、 1）求不等式 f （x） 2x的解集；（ 2）若关于x 的不等式f（ x）在 0， +）上恒成立，求a 的取值范围第4页，共 18页第5页，共 18页答案和解析1.【答案】 B【解析】解：集合 A=x|x=2k+1 ，kZ ，B=-1 x，A B=1，3 集合 AB中元素的个数 为 2故选：B由交集定 义求出 AB=1 ，3 由此能求出集合 AB中元素的个数本题考查集合中元素个数的求法，考 查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基 础题2.【答案】 B【解析】解：z=，z 的虚部是故选：B直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考 查复

10、数的基本概念，是基 础题3.【答案】 B【解析】解：由x，y 满足约束条件，作出可行域如 图：联立，解得 O（0，0），化目标函数z=2x-y 为 y=2x-z由图可知，当直线 y=2x-z过 O 时，直线在 y 轴上的截距最小， z 有最小值为 0故选：B由约束条件作出可行域，化目 标函数为直线方程的斜截式，数形 结合得到最第6页，共 18页优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题4.【答案】 C【解析】解：单位向量，的夹角为，|=|=1，=| |?|?cos =?（+2 ）=+2=1+2 =2，故选：C根据向量的数量

11、 积公式计算即可本题考查了向量的数量 积公式，属于基础题5.【答案】 D【解析】解：等差数列a n 的公差为 1，且 a2，a4，a7 成等比数列，=（a +1）（a+6），11化为：a1=3an=3+（n-1）=n+2故选：D等差数列 a n 的公差为 1，且 a2，a4，a7 成等比数列，可得=（a1+1）（a1+6），解得a1本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性 质，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题6.【答案】 A【解析】【分析】本题考查了由几何体的三 视图求几何体的体 积；关键是正确还原几何体由三视图得到几何体是一个放倒的四棱柱与圆锥的组合体，根据图中数据计算体积即可【解

12、答】第7页，共 18页解：由题意，几何体如图：由特征数据得到体 积为：=3+ .故选 A.7.【答案】 A【解析】22解：直线 l ：y=kx+b 与圆 C：x+（y-1）=4 恒有公共点 ”222?2 为 4（1+k）（b-1），即（b-1）4，化 ：解得 -1b3，b对实线（-1，3）”是 “ 于任意数 k，直 l：y=kx+b与圆 C：x22”+（y-1）=4 恒有公共点 的充分不必要条件故选：A利用直线与圆有公共点的充要条件即可判断出结论本题考查了直线与圆的位置关系、点到直 线的距离公式、不等式的解法、简易逻辑 的判定方法，考查了推理能力与 计算能力，属于中档 题8.【答案】 D【解析

13、】解：由于程序框图是为了求出满足 1+ + +1000 的最大正整数 n 的值，故退出循 环的条件应为 S1000，由于满足1+ +时i值比程序要求的 i值执+ + 1000后，（此多一），又行了一次 i=i+1 ，故输出的应为 i-2的值故选：D第8页，共 18页通过要求 S1000时输出，由于满足 1+ +1000后，又执行了一次i=i+1 ，故输出的应为 i-2 的值 本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分9.【答案】 C【解析】解：设抛物线的准线于 x 轴交点为 P，过 A，B 作准线的垂线 AM ，BN，则 AM=AF=3 ，BN=BF=1 ，FP=p，设直线 AB 交准

14、线于 Q，设 BQ=a，由 QBNQFPQAM 可得：，解得 p=故选：C设 AB 交准线于 Q，过 A ，F，B 作准线的垂线，根据三角形相似列比列式即可得出 p 的值本题考查了抛物线的定义域性质，属于中档题10.【答案】 D【解析】解：由题意，四面体有四个面都 为直角三角形，四面体放到 长方体中，AB 平面 BCD ，AB=BD=CD=2 ，可得长方体的对角线为球 O的半径 R=2球 O 的表面积 S=4R=12故选：D将四个面都 为直角三角形的四面体放到长方体中，根据 AB=BD=CD=2 ，求解长方体对角线，可得球 O 的半径，从而求解球 O 的表面积 第9页，共 18页本题考查球的表

15、面 积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养11.【答案】 C【解析】【分析】本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分析函数的 单调性根据题意，由函数的解析式分析可得函数在（ 0，+）上为增函数，进而分析可得若f（x2-2）（），则有，解可得x的取值范围，即可得答案f x【解答】解：根据题意，函数 f （x）=，当 x0 时，f（x ）=ex-e-x ，其导数 f （x）=ex+e-x0，则函数在（0，+）上为增函数，若f （x2则，-2）f（x）， 有解可得：x-或 x2，则 x 的取值范围是（-，-）（2，+）；故选 C12.【答案】 C【解析】解：首项都为 3 的数列

16、 a n ，b n 中，an+1-an=3，an=3+3（n-1）=3n，bn+1-bn23n+，bn+2-bn+123n+1+，由 + 可得 bn+2-bn 83n+，又 bn+2-bn83n-1，83n-1bn+2-bn83n+，bnZ，bn+2-bn=83n，第10 页，共 18页当 n 为奇数时，b3-b1=831，b5-b3=833，b2k+1-b2k-1=832k-1，b2k+1-b1=8（3+33+35+32k-1）=8=3（9k-1）可得：b2k+1=39k=3n+2b2k-1 =bn=3n同理可得：当 n 为偶数时，b2k=32k=bn=3n数列 b n 为等比数列，首项为

17、3，公比为 3数列 an+bn 的前 50 项的和 =+=故选：C首项都为 3 的数列 a n ，b n 中，an+1-an=3，利用等差数列的通 项公式可得：an由 bn+1-bn23n+，可得 bn+2-bn+123n+1+，可得 bn+2-bn83n+，又 bn+2-bn83n-1，可得 83n-1 bn+2-bn83n+ ，根据bnZ，可得bn+2-bn=83n，对 n 分类讨论即可得出 bn再利用求和公式即可得出本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、不等式的性 质，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题13.【答案】【解析】解：f（x）=cos（x+）+cos（x-）=c

18、osxcos -sinxsin +cosxcos +sinxsin=2cosxcos =函数 f（x）=cos（x+）+cos（x-值为）的最大故答案为： 直接展开两角和与差的余弦即可求得答案本题考查三角函数的化简求值查础题，考 了两角和与差的余弦，是基第11 页，共 18页14.【答案】【解析】解：在菱形 ABCD 中，AB=2 ，ABC=60 ，以 A 和 C为圆心的扇形面积和为，以 B和 D为圆心的扇形面积和为 2=，菱形内空白部分的面 积为，则在菱形内 随机取一点，该点取自黑色部分的概率是故答案为：由已知求出菱形的面 积，再由扇形的面积公式求出菱形内空白部分的面积，由面积比得答案本题考

19、查几何概型，关键是熟记扇形的面 积公式，是中档题15.【答案】 -2【解析】解：f（x）+f（-x ）=0；f（-x ）=-f （x）；为偶函数，则：；f（x ）=-f（x+3）=f（x+6）；即 f（x）=f （x+6）；f（x ）的周期为 6；又时，f（x）=-x，则：f （2017）+f（2018）=f（1+3366）+f（2+3366）=f （1）+f （2）=f（1）-f （5）=f（1）-f （5-6）=2f（1）=-2故答案为：-2根据条件知 f （x）为奇函数，再由为偶函数即可得出f （x）=-f（x+3）=f（x+6），从而得出f （x）的周期为 6，从而可得出 f（2017

20、）+f（2018）=2f（1），而根第12 页，共 18页据 0时值的 f （x）解析式即可求出 f （1）的 ，从而得出答案考查奇函数、偶函数的概念，以及周期函数的定 义16.【答案】 （ 1，【解析】解：A （0，b），设双曲线的左焦点 为 F，则 |FP|-|PF|=2a，故而 |PA|+|PF|=2a+|PF |+|PA| 2a+|F，A|PA|+|PF|的最小值为 2a+|F A|=2a+，C 的左支上存在一点P，使得|PA|+|PF| ,4a，2a+ 4a，即 2a，222 ，2c -a 4a，即e，又e 1，离心率的取 值范围是（1，故答案为：（1， 根据双曲 线定义求出 |PA

21、|+|PF|的最小值 m，令m4a即可得出 e 的范围 本题考查了双曲线的性质，属于中档题17.【答案】 解：（ 1） ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为a， b， c，且 c（ sinC- sinB） =（a-b）（ sinA+sinB）利用正弦定理：，整理得：，由于： 0 A ，则：（ 2）由于： BC 边上的高 h=， b=，则：，解得： 2，即：由（1）得到：，故：由得：第13 页，共 18页故：【解析】（1）利用三角函数关系式的恒等 变换及余弦定理求出 结果（2）利用余弦定理和三角形的面 积公式求出 边 c，进一步求出 结果本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等 变换，正

22、弦定理和余弦定理的应用及三角形面 积公式的应用18.【答案】 证明：（ 1）取 BC 中点 G，连结 AG，E 是 AB 的中点，点D 在棱 BC 上，且 CD=3BD，AGED ，ABC 为正三角形， AGBC， ED BC，直三棱柱ABC-A1B1C1 中， BB1平面 ABC，又 DE? 平面 ABC， B1BDE ，BCBB1=B， BC? 平面 BB1C1C，DE 平面 BB1C1 C解：（ 2） AB=4， 四边形 BCC 1B1 是以 4 为边长的正方形，=-（）=5，由（ 1）知， DE平面 BCC1B1，三棱锥 E-C1DF 的体积= ，在 RtDEF 中， SDEF=，设点

23、 C1 与平面 DEF 的距离为h，=， =，解得 h=2，点 C1 与平面 DEF 的距离 2【解析】1BC中点G 连结AG则AG ED导AG BC EDBCBB1（）取，推出 ， ，从而进平面 ABC ， 而 B1BDE，由此能证明 DE平面 BB1C1C2）四边形 BCC1B1是以 4 为边长的正方形，=-（）=5，三棱锥 E-C1DF 的体积=设与平面 DEF 的距离为h，由=，能求出点 C1 与， 点C1平面 DEF 的距离第14 页，共 18页本题考查线面垂直的 证明，考查点到平面的距离的求法，考 查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基 础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思

24、想，是中档题19.【答案】 解：（ 1）由频率估计概率，A 生产线的产品为正品的概率为：（ 0.05375+0.035+0.01125 ） 8=0.8，B 生产线的产品为正品的概率为：（ 0.0625+0.03375+0.0025 ） 8=0.79（ 2）设 A 生产线的产品质量指标值的平均数为，B 生产线的产品质量指标值的平均数为，由频率分布直方图得：=64 0.05+72 0.15+80 0.43+88 0.28+96 0.09=81.68=64 0.05+72 0.16+80 0.5+88 0.27+96 0.02=80.4 ， ， A 生产线的产品质量指标更好（ 3）由（ 2）知， A

25、 生产线的产品质量指标更高，它不低于84 的产品所占比例的估计值为（ 0.035+0.01125） 8=0.37 0.4，B 生产线的产品质量指标值的估计值小于A 生产线的估计值，也小于0.4，故不能认为该公司生产的产品质量符合“质量指标值不低于的产品至少要占全部产品40%”的规定【解析】（1）由频率估计概率，能估计 A ，B 两条生产线生产的产品正品率（2）设 A 生产线的产品质量指标值的平均数 为 ，B 生产线的产品质量指标值的平均数 为 ，由频率分布直方 图分别求出两条生 产线的产品质量指标值的平均数，从而得到 A 生产线的产品质量指标更好（3）A 生产线的产品质量指标更高，它不低于 8

26、4 的产品所占比例的估 计值为0.370.4，从而 B 生产线的产品质量指标值的估计值也小于 0.4，由此不能认为该公司生产的产品质量符合 “质量指标值不低于的 产品至少要占全部 产品40%”的 规定本题考查频率分布直方 图、平均数、方差等基础知识，考查抽象概括能力、数第15 页，共 18页据处理能力、运算求解能力，考查统计与概率思想、函数与方程思想，是基 础题20.【答案】 （ 1）解：由题意得，|MA|+|MB |+|AB |=6，|MA |+|MB |=4 |AB|，则 M 的轨迹 E 是以 A（ -1， 0）， B（ 1， 0）为焦点，长轴长为 4 的椭圆，又由 M， A， B 三点不

27、共线， y0E 的方程为（y0）；2 2（ 2）证明：设直线 PQ 的方程为 x=my+1 ，代入 3x +4y =12，得（ 3m2+4 ） y2+6my-9=0 设 P（x1 ， y1）， Q（x2 ，y2），则，=（my12+1） +2121 2+1）（ my（ my +1+my+1） +4+ y y2= 0=（ m +1） y1 y2+3m（ y1+y2） +9=PDQ 不可能为直角【解析】（1）由题意得，|MA|+|MB|+|AB|=6 ，则|MA|+|MB|=4 |AB|，可得M 的轨迹 E 是以 A （-1，0），B（1，0）为焦点，长轴长为 4 的椭圆，则 E 的方程可求；（2

28、）设直线 PQ的方程为 x=my+1，与椭圆方程联立，化为关于 y 的一元二次方程，利用根与系数的关系 结合向量数量 积证明PDQ 不可能为直角本题考查定义法求椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系等基 础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化 归与转化思想等，是中档题21.【答案】 解：（ 1）当 a=1 时， f（ x） =（ex-1）（ x-1） +x=xex-ex+1，f（ x） =xex，k=f （ 1） =e，f（1） =1，f（x）在 x=1 处的切线方程为y-1= e（ x-1），即 ex-y-e+1=0 ；（ 2） f（ x）=（ 1+x-a）

29、 ex+（ a-1），令 g（ x）=（ 1+x-a） ex+（ a-1），g（ x） =（ 2+ x-a） ex，当 a2时， g（ x） 0，在（ 0，+）上恒成立，g（ x）在（ 0， +）上为增函数，g（ x） g（ 0） =1- a+a-1=0f（ x） 0 在（ 0， +）上恒成立，f（x）在（ 0，+）上为增函数，第16 页，共 18页f（x） f（ 0） =0，当 a2 时，当 x（ 0，a-2）时， g（ x） 0，函数 g（ x）为减函数，g（ 0） =（1-a） +（ a-1）=0 ，当 x（ 0，a-2）时， g（ x） 0，即 f（ x） 0，函数 f（ x）在（ 0，a-2）为减函数，f（0） =0，当 x（ 0， a-2）时， f（ x） 0，即 f（ x） 0 不是对一切 x 0 都成立，综