（福建专用）2019高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.6 空间向量及其运算课件 理 新人教A版

1、8 8. .6 6空间向量及其运算空间向量及其运算 -2- 知识梳理考点自测 1.空间向量的有关概念 (1)空间向量:在空间中,具有和的量叫做空间 向量,其大小叫做向量的或. (2)相等向量:方向且模的向量. (3)共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线_ 或,则这些向量叫做或,a 平行于b记作ab. (4)共面向量:平行于同一的向量叫做共面向量. 大小 方向 长度模 相同相等 平行 重合共线向量平行向量 平面 -3- 知识梳理考点自测 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b0),ab存在 R,使a=b. (2)共面向量定理:若两个向量a,b不共线,则

2、向量p与向量a,b共面 存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb. (3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任 一向量p,存在唯一的有序实数组x,y,z使得p=xa+yb+zc.其中 a,b,c叫做空间的一个基底. 3.两个向量的数量积 (1)ab=|a|b|cos. (2)ab (a,b为非零向量). (3)|a|2=. ab=0 a2 -4- 知识梳理考点自测 4.空间向量的坐标运算 (1)设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 a+b=. a-b=. a=. ab=. (a1+b1,a2+b2,a3+b3) (a1-b1,a2-b2,a3

3、-b3) (a1,a2,a3) a1b1+a2b2+a3b3 (x2-x1.y2-y1,z2-z1) -5- 知识梳理考点自测 -6- 知识梳理考点自测23415 1.下列结论正确的画“”,错误的画“”. (1)若A,B,C,D是空间任意四点,则有 (2)|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件.() (3)空间中任意两非零向量a,b共面.() (4)对于空间非零向量a,b,abab=0.() (5)对于非零向量b,由ab=bc,得a=c.() 答案 答案 关闭 (1)(2)(3)(4)(5) -7- 知识梳理考点自测23415 2.若x,yR,有下列命题: 若p=xa+yb,则p与a

4、,b共面; 若p与a,b共面,则p=xa+yb; 其中真命题的个数是() A.1B.2C.3D.4 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -8- 知识梳理考点自测23415 3.已知向量a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2),若ab,则与的值可以是( ) C.-3,2D.2,2 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -9- 知识梳理考点自测23415 4.若向量a=(2,-2,-2),b=(2,0,4),则a与b的夹角的余弦值为() 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -10- 知识梳理考点自测23415 5.如图,在一个60的二面角的棱上,有两个点A,B,AC,BD分别是在 这个二面角的两

5、个半平面内垂直于AB的线段,且AB=4,AC=6,BD=8, 则CD的长为. 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -11- 考点1考点2考点3考点4 -12- 考点1考点2考点3考点4 -13- 考点1考点2考点3考点4 -14- 考点1考点2考点3考点4 思考空间向量的线性运算与平面向量的线性运算有什么区别与 联系? 解题心得解题心得1.选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示 出指定的向量,这是用向量解决立体几何问题的基本要求,另外解 题时应结合已知和所求,观察图形,联想相关的运算法则和公式等, 就近表示所需向量. 2.空间向量问题可以转化为平面向量问题来解决,即把空间向量 转化到某

6、一个平面上,利用三角形法则或平行四边形法则来解决. -15- 考点1考点2考点3考点4 对点训练对点训练1在三棱锥O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G是 ABC的重心,用基向量 答案 答案 关闭 -16- 考点1考点2考点3考点4 例2已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的 中点,用向量方法证明: (1)E,F,G,H四点共面; (2)BD平面EFGH. -17- 考点1考点2考点3考点4 -18- 考点1考点2考点3考点4 思考共线定理、共面定理有哪些应用? -19- 考点1考点2考点3考点4 对点训练对点训练2如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1

7、,点M,N分别在AC1和 BC上,且满足 (2)直线MN是否与平面ABB1A1平行? 答案 答案 关闭 -20- 考点1考点2考点3考点4 例3已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|= ,若(a+b)c=7,则a与c 的夹角为() A.30 B.60 C.120D.150 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -21- 考点1考点2考点3考点4 思考空间向量用空间直角坐标系的坐标表示的主要用途有哪些? 解题心得解题心得空间向量的坐标表示主要应用于向量平行、向量垂直、 向量的模、向量的夹角,在研究几何问题中只要建立适当的坐标系, 把空间几何体中涉及的直线和平面用向量表示,就可

8、以使得几何证 明通过代数运算得到解决,这是使用空间向量研究立体几何问题的 基本思想. -22- 考点1考点2考点3考点4 对点训练对点训练3(2017广东中山模拟)已知向量a,b满足条件: |a|=2,|b|= ,且a与2b-a互相垂直,则a与b的夹角为. 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -23- 考点1考点2考点3考点4 例4如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的 三条棱长都为1,且两两夹角为60. (1)求AC1的长; (2)求证:AC1BD; (3)求BD1与AC夹角的余弦值. -24- 考点1考点2考点3考点4 -25- 考点1考点2考点3考点4 -2

9、6- 考点1考点2考点3考点4 思考空间向量的数量积主要有哪些应用? 解题心得解题心得空间向量数量积的应用 (1)求夹角.设向量a,b所成的角为,则 ,进而可求两异面 直线所成的角. (2)求长度(距离).运用公式|a|2=aa,可使线段长度的计算问题转化 为向量数量积的计算问题. (3)解决垂直问题.利用abab=0(a0,b0),可将垂直问题转化 为向量数量积的计算问题. -27- 考点1考点2考点3考点4 对点训练对点训练4如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯 形,ADBC,BAD=90,PA底面ABCD,且PA=AD=AB=1. (1)若BC=3,求异面直线PC与BD所成角的余弦值; (2)若BC=2,求证:平面BPC平面PCD. -28- 考点1考点2考点3考点4 -29- 考点1考点2考点3考点4 -30- 考点1考点2考点3考点4 1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用 的基础. 2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问 题;利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题. 3.利用向量解立体几何题的一般方法:把线段或角度转化为用向量 表示,用已知向量表示未知向量,